4. （★★）如图，在 $ △ A B C $中， $ A B=A C, A D $是BC边上的中线，点E在DA的延长线上，连接BE，过点C作CF//BE交AD的延长线于点 F，连接BF，CE.求证：四边形BECF是菱形.

4.
∵ $AB=AC$,AD是BC边上的中线,
∴ AD垂直平分BC,$BD=CD$.
∵ E,F在直线AD上,
∴ $EB=CE,BF=FC$.
∵ $CF// BE$,
∴ $∠ BED=∠ CFD,∠ EBD=∠ FCD$.
∵ $BD=CD$,
∴ $△ EBD≌△ FCD(\mathrm{AAS})$.
∴ $BE=FC$.
∴ $EB=BF=FC=CE$.
∴ 四边形BECF是菱形.

 5. （★★）如图，已知点A,D,C,B在同一条直线上，且 AD=BC，AE=BF，CE=DF.
（1）求证：AE//BF；
（2）若 DF=FC，求证：四边形 DECF是菱形.

5. (1)
∵ $AD=BC$,
∴ $AD+CD=BC+CD$.
∴ $AC=BD$.
∵ $AE=BF,CE=DF$,
∴ $△ AEC≌△ BFD(\mathrm{SSS})$.
∴ $∠ A=∠ B$.
∴ $AE// BF$.
(2)
∵ $△ AEC≌△ BFD$,
∴ $∠ ECA=∠ FDB$.
∴ $CE// DF$.
∵ $CE=DF$,
∴ 四边形DECF是平行四边形.
∵ $DF=FC$,
∴ $□ DECF$是菱形,即四边形DECF是菱形.

 6. （★★）如图，在菱形ABCD中，对角线 AC，BD交于点O，过点A作AE $ \bot $ BC于点E，延长BC到点F，使CF=BE，连接DF.
(1)求证：四边形AEFD是矩形；
(2)连接DE，若AD=4，EC=1，求DE的长度.

6. (1)
∵ 四边形ABCD是菱形,
∴ $DC=AB,DC// AB,AD// BC$.
∴ $∠ DCF=∠ ABE,∠ EAD=∠ AEB$.
∵ $CF=BE$,
∴ $△ DCF≌△ ABE(\mathrm{SAS})$.
∴ $∠ F=∠ AEB$.
∵ $AE⊥ BC$,
∴ $∠ AEB=∠ AEF=90°$.
∴ $∠ AEF=∠ F=∠ EAD=90°$.
∴ 四边形AEFD是矩形.
(2)
∵ 四边形ABCD是菱形,
∴ $AB=BC=AD=4$.
∵ $EC=1$,
∴ $BE=BC-EC=4-1=3$.
∴ $AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}$.
∵ 四边形AEFD是矩形,
∴ $DF=AE=\sqrt{7},EF=AD=4$.
∴ $DE=\sqrt{DF^2+EF^2}=\sqrt{(\sqrt{7})^2+4^2}=\sqrt{23}$.