1. （★★）如图，在矩形ABCD中，E是BC上一点，DF $ \bot $ AE于点F，AE=BC，求证：CE= EF.

1. 如图,连接DE:

∵ 四边形ABCD是矩形,
∴ $AD// BC,AB=DC,∠ B=90°$.
∴ $∠ DAF=∠ AEB$.
∵ $DF⊥ AE$,
∴ $∠ AFD=∠ B=90°$.
在$△ ABE$和$△ DFA$中,
$\begin{cases}∠ DAF=∠ AEB, \\∠ AFD=∠ B, \\AD=AE,\end{cases}$
∴ $△ ABE≌△ DFA(\mathrm{AAS})$.
∴ $AB=DF$.
∴ $DC=DF$.(另法:
∵ $S_{△ ADE}=\frac{1}{2}DF· AE,S_{△ ADE}=\frac{1}{2}DA· DC$,又
∵ $AD=AE$,
∴ $DC=DF$)
∵ $∠ DFE=∠ C=90°$,
∴ 在$\mathrm{Rt}△ DFE$和$\mathrm{Rt}△ DCE$中,
$\begin{cases}DE=DE, \\DF=DC,\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ DFE≌\mathrm{Rt}△ DCE(\mathrm{HL})$.
∴ $CE=EF$.

 2. （★★）在矩形纸片ABCD中，已知 AD= 8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，求AB的长.

2.
∵ 四边形ABCD是矩形,$AD=8$,
∴ $BC=8$.
∵ $△ AEF$是$△ AEB$翻折而成,
∴ $BE=EF=3,AB=AF$,$△ CEF$是直角三角形.
∴ $CE=BC-BE=8-3=5$.
在$\mathrm{Rt}△ CEF$中,$CF=\sqrt{CE^2-EF^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$.
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$AC^2=AB^2+BC^2$,即$(AB+4)^2=AB^2+8^2$.
解得$AB=6$,即AB的长是6.

 3. （★★）如图，在 $ △ A B C $中，D，E分别是 AB，AC的中点，连接 ED并延长至点 F，使 DF=DE，连接 AF，BF，BE.
（1）求证： $ △ A D E≌ △ B D F; $（2）若 $ ∠ A B E=∠ C B E $ ，求证：四边形 AFBE是矩形.

3. (1)
∵ D是AB的中点,
∴ $AD=BD$.
在$△ ADE$和$△ BDF$中,
$\begin{cases}AD=BD, \\∠ ADE=∠ BDF, \\DE=DF,\end{cases}$
∴ $△ ADE≌△ BDF(\mathrm{SAS})$.
(2)
∵ $AD=BD,DF=DE$,
∴ 四边形AFBE是平行四边形.
∵ D,E分别是AB,AC的中点,
∴ DE是$△ ABC$的中位线.
∴ $DE// BC$.
∴ $∠ DEB=∠ CBE$.
∵ $∠ ABE=∠ CBE$,
∴ $∠ DEB=∠ ABE$.
∴ $DB=DE$.
∵ $AB=2DB,EF=2DE$,
∴ $AB=EF$.
∴ $□ AFBE$是矩形,即四边形AFBE是矩形.