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15. 已知方程:①$5x^2 + x -1=0$；②$\frac{x}{2}+\frac{2x^2}{3}=1$；③$\frac{3}{x+1}+\frac{7}{5-x}=\frac{1}{10}$；④$\frac{1}{x}=0$；⑤$\frac{1}{y-z}+\frac{1}{x-y}=\frac{1}{x-z}$；⑥$\frac{1}{\sqrt{x-1}}+\frac{2}{\sqrt{x+1}}=3$。其中分式方程有。（填序号）
答案
解：分式方程的定义为分母中含有未知数的有理方程，据此逐一判断：
方程①是整式方程，不符合要求；
方程②的分母均为常数，是整式方程，不符合要求；
方程③的分母中含有未知数x，属于分式方程；
方程④的分母中含有未知数x，属于分式方程；
方程⑤的分母中含有未知数，属于分式方程；
方程⑥的根号内含有未知数，是无理方程，不属于分式方程。
因此分式方程有③④⑤。
方程①是整式方程，不符合要求；
方程②的分母均为常数，是整式方程，不符合要求；
方程③的分母中含有未知数x，属于分式方程；
方程④的分母中含有未知数x，属于分式方程；
方程⑤的分母中含有未知数，属于分式方程；
方程⑥的根号内含有未知数，是无理方程，不属于分式方程。
因此分式方程有③④⑤。
16.将分式$\frac{xy}{x+y}$中的x和y都扩大为原来的10倍，那么分式的值变为原来的倍。
答案
解：将分式中的x和y都替换为10x、10y，可得新的分式为：
$\frac{(10x)·(10y)}{10x + 10y} = \frac{100xy}{10(x+y)} = \frac{10xy}{x+y} = 10·\frac{xy}{x+y}$
因此分式的值变为原来的$\boldsymbol{10}$倍。
$\frac{(10x)·(10y)}{10x + 10y} = \frac{100xy}{10(x+y)} = \frac{10xy}{x+y} = 10·\frac{xy}{x+y}$
因此分式的值变为原来的$\boldsymbol{10}$倍。
17.若分式$\dfrac{|x|-3}{x-3}$的值为0，则$x$的值为。
答案
解：
由分式的值为0的条件，得
$\begin{cases}|x| - 3 = 0 \\x - 3 ≠ 0\end{cases}$
由$|x|-3=0$，得$|x|=3$，即$x=3$或$x=-3$。
由$x-3≠0$，得$x≠3$。
综上，$x=-3$。
由分式的值为0的条件，得
$\begin{cases}|x| - 3 = 0 \\x - 3 ≠ 0\end{cases}$
由$|x|-3=0$，得$|x|=3$，即$x=3$或$x=-3$。
由$x-3≠0$，得$x≠3$。
综上，$x=-3$。
18.若关于$x$的分式方程$\frac{5}{x-1}-\frac{3}{x+1}=\frac{(m+1)^2}{x^2-1}+\frac{6}{x^2-1}$无解，则$m$的值为。
答案
解：
方程两边同乘$(x^2-1)$，得：
$5(x+1)-3(x-1)=(m+1)^2+6$
去括号整理：
$5x+5-3x+3=(m+1)^2+6$
$2x=(m+1)^2-2$
解得：
$x=\frac{(m+1)^2-2}{2}$
原分式方程无解，说明方程的解为增根，即分母$x^2-1=0$，得增根为$x=1$或$x=-1$。
1. 当增根为$x=1$时，代入得：
$$\frac{(m+1)^2-2}{2}=1$ 化简得$(m+1)^2=4$，解得$m=1$或$m=-3$。2. 当增根为$x=-1$时，代入得： $$\frac{(m+1)^2-2}{2}=-1$
化简得$(m+1)^2=0$，解得$m=-1$。
综上，$m$的值为$\boldsymbol{-3}$或$\boldsymbol{-1}$或$\boldsymbol{1}$。
方程两边同乘$(x^2-1)$，得：
$5(x+1)-3(x-1)=(m+1)^2+6$
去括号整理：
$5x+5-3x+3=(m+1)^2+6$
$2x=(m+1)^2-2$
解得：
$x=\frac{(m+1)^2-2}{2}$
原分式方程无解，说明方程的解为增根，即分母$x^2-1=0$，得增根为$x=1$或$x=-1$。
1. 当增根为$x=1$时，代入得：
$$\frac{(m+1)^2-2}{2}=1$ 化简得$(m+1)^2=4$，解得$m=1$或$m=-3$。2. 当增根为$x=-1$时，代入得： $$\frac{(m+1)^2-2}{2}=-1$
化简得$(m+1)^2=0$，解得$m=-1$。
综上，$m$的值为$\boldsymbol{-3}$或$\boldsymbol{-1}$或$\boldsymbol{1}$。
三、解答题
19. 解分式方程：
(1)$\frac{3}{x-2}=\frac{1}{x-3}$；
(2)
19. 解分式方程：
(1)$\frac{3}{x-2}=\frac{1}{x-3}$；
(2)
答案
解：
(1) 方程两边同乘最简公分母$(x-2)(x-3)$，得
$3(x-3) = x-2$
去括号，得$3x - 9 = x - 2$
移项、合并同类项，得$2x = 7$
系数化为1，得$x = \frac{7}{2}$
检验：当$x=\frac{7}{2}$时，$(x-2)(x-3) ≠ 0$，
所以原分式方程的解为$x=\frac{7}{2}$。
(2) 原方程整理为$\frac{2}{x+1} - \frac{6}{(1-x)(1+x)} = \frac{3}{1-x}$，
方程两边同乘最简公分母$(1-x)(1+x)$，得
$2(1-x) - 6 = 3(1+x)$
去括号，得$2 - 2x - 6 = 3 + 3x$
移项、合并同类项，得$-5x =7$
系数化为1，得$x = -\frac{7}{5}$
检验：当$x=-\frac{7}{5}$时，$(1-x)(1+x) ≠ 0$，
所以原分式方程的解为$x=-\frac{7}{5}$。
(1) 方程两边同乘最简公分母$(x-2)(x-3)$，得
$3(x-3) = x-2$
去括号，得$3x - 9 = x - 2$
移项、合并同类项，得$2x = 7$
系数化为1，得$x = \frac{7}{2}$
检验：当$x=\frac{7}{2}$时，$(x-2)(x-3) ≠ 0$，
所以原分式方程的解为$x=\frac{7}{2}$。
(2) 原方程整理为$\frac{2}{x+1} - \frac{6}{(1-x)(1+x)} = \frac{3}{1-x}$，
方程两边同乘最简公分母$(1-x)(1+x)$，得
$2(1-x) - 6 = 3(1+x)$
去括号，得$2 - 2x - 6 = 3 + 3x$
移项、合并同类项，得$-5x =7$
系数化为1，得$x = -\frac{7}{5}$
检验：当$x=-\frac{7}{5}$时，$(1-x)(1+x) ≠ 0$，
所以原分式方程的解为$x=-\frac{7}{5}$。
20. 先化简：$(1 - \dfrac{1}{x - 1}) ÷ \dfrac{x^2 - 4x + 4}{x^2 - 1}$，再从$-2, -1, 1, 2$中选一个合适的数代入并求值。
答案
解：
先化简原式：
$\begin{aligned}(1 - \frac{1}{x-1}) ÷ \frac{x^2 - 4x + 4}{x^2 - 1}&= \frac{x-1 - 1}{x-1} ÷ \frac{(x-2)^2}{(x+1)(x-1)} \\&= \frac{x-2}{x-1} · \frac{(x+1)(x-1)}{(x-2)^2} \\&= \frac{x+1}{x-2}\end{aligned}$
要使分式有意义，需满足：
$x-1≠0$，$x^2-1≠0$，$x^2-4x+4≠0$，
解得$x≠1$，$x≠-1$，$x≠2$。
因此只能选取$x=-2$代入：
当$x=-2$时，
$\frac{x+1}{x-2} = \frac{-2 + 1}{-2 - 2} = \frac{1}{4}$
先化简原式：
$\begin{aligned}(1 - \frac{1}{x-1}) ÷ \frac{x^2 - 4x + 4}{x^2 - 1}&= \frac{x-1 - 1}{x-1} ÷ \frac{(x-2)^2}{(x+1)(x-1)} \\&= \frac{x-2}{x-1} · \frac{(x+1)(x-1)}{(x-2)^2} \\&= \frac{x+1}{x-2}\end{aligned}$
要使分式有意义，需满足：
$x-1≠0$，$x^2-1≠0$，$x^2-4x+4≠0$，
解得$x≠1$，$x≠-1$，$x≠2$。
因此只能选取$x=-2$代入：
当$x=-2$时，
$\frac{x+1}{x-2} = \frac{-2 + 1}{-2 - 2} = \frac{1}{4}$
