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7.若点$(m-2,-1-2m)$关于x轴的对称点在第二象限，且m为整数，则关于x的分式方程$\frac{x-1}{m-x}=1$的解的情况是 （）
A.$x=\frac{1}{2}$或无解
B.$x=1$或无解
C.$x=\frac{1}{2}$或$x=1$
D.$x=0$
A.$x=\frac{1}{2}$或无解
B.$x=1$或无解
C.$x=\frac{1}{2}$或$x=1$
D.$x=0$
答案
A
解析
1. 求点$(m-2,-1-2m)$关于x轴的对称点坐标：关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数，得对称点为$(m-2,1+2m)$。
2. 由对称点在第二象限，第二象限点的坐标满足横坐标＜0，纵坐标＞0，列不等式组：
$\begin{cases}m-2＜0 \\1+2m＞0\end{cases}$
解得$-\frac{1}{2}＜m＜2$，结合m为整数，得m=0或m=1。
3. 解分式方程$\frac{x-1}{m-x}=1$，去分母得$x-1=m-x$，整理得$x=\frac{m+1}{2}$。
4. 分情况验证：
①当m=0时，$x=\frac{0+1}{2}=\frac{1}{2}$，代入分母$m-x=-\frac{1}{2}≠0$，$x=\frac{1}{2}$是有效解；
②当m=1时，$x=\frac{1+1}{2}=1$，代入分母$m-x=0$，x=1是增根，此时方程无解。
综上，分式方程的解为$x=\frac{1}{2}$或无解。
2. 由对称点在第二象限，第二象限点的坐标满足横坐标＜0，纵坐标＞0，列不等式组：
$\begin{cases}m-2＜0 \\1+2m＞0\end{cases}$
解得$-\frac{1}{2}＜m＜2$，结合m为整数，得m=0或m=1。
3. 解分式方程$\frac{x-1}{m-x}=1$，去分母得$x-1=m-x$，整理得$x=\frac{m+1}{2}$。
4. 分情况验证：
①当m=0时，$x=\frac{0+1}{2}=\frac{1}{2}$，代入分母$m-x=-\frac{1}{2}≠0$，$x=\frac{1}{2}$是有效解；
②当m=1时，$x=\frac{1+1}{2}=1$，代入分母$m-x=0$，x=1是增根，此时方程无解。
综上，分式方程的解为$x=\frac{1}{2}$或无解。
8. 对于实数 $ m,n $，定义一种新运算“※”：$ m※n=\frac{n}{m-n^2} $，这里等式右边是实数运算。例如：$ 3※5=\frac{5}{3-5^2}=-\frac{5}{22} $。则方程 $ x※2=\frac{3}{x-4}-1 $ 的解是（）
A.$ x=2 $
B.$ x=3 $
C.$ x=4 $
D.$ x=5 $
A.$ x=2 $
B.$ x=3 $
C.$ x=4 $
D.$ x=5 $
答案
D
解析
根据新运算定义，将$x※2$转化为常规运算：$x※2=\frac{2}{x-2^2}=\frac{2}{x-4}$，代入原方程得：
$\frac{2}{x-4}=\frac{3}{x-4}-1$
方程两边同乘$(x-4)$去分母，得：
$2=3-(x-4)$
化简计算：$2=7-x$，解得$x=5$。
检验：当$x=5$时，$x-4=1≠0$，故$x=5$是原方程的解。
$\frac{2}{x-4}=\frac{3}{x-4}-1$
方程两边同乘$(x-4)$去分母，得：
$2=3-(x-4)$
化简计算：$2=7-x$，解得$x=5$。
检验：当$x=5$时，$x-4=1≠0$，故$x=5$是原方程的解。
9.若实数$m$，$n$，$t$满足$m＞n＞0$且$t＞0$，则$\frac{n}{m}$与$\frac{n+t}{m+t}$的大小关系是（）
A.$\frac{n}{m}＞\frac{n+t}{m+t}$
B.$\frac{n}{m}＜\frac{n+t}{m+t}$
C.$\frac{n}{m}=\frac{n+t}{m+t}$
D.无法确定
A.$\frac{n}{m}＞\frac{n+t}{m+t}$
B.$\frac{n}{m}＜\frac{n+t}{m+t}$
C.$\frac{n}{m}=\frac{n+t}{m+t}$
D.无法确定
答案
B
解析
用作差法比较两个分式的大小：
计算$\frac{n}{m}-\frac{n+t}{m+t}$，通分可得：
$\frac{n(m+t)-m(n+t)}{m(m+t)}=\frac{nm+nt-mn-mt}{m(m+t)}=\frac{t(n-m)}{m(m+t)}$
已知$m＞n＞0$，$t＞0$，则$n-m＜0$，$m＞0$，$m+t＞0$，因此$\frac{t(n-m)}{m(m+t)}＜0$，即$\frac{n}{m}-\frac{n+t}{m+t}＜0$，可得$\frac{n}{m}＜\frac{n+t}{m+t}$。
计算$\frac{n}{m}-\frac{n+t}{m+t}$，通分可得：
$\frac{n(m+t)-m(n+t)}{m(m+t)}=\frac{nm+nt-mn-mt}{m(m+t)}=\frac{t(n-m)}{m(m+t)}$
已知$m＞n＞0$，$t＞0$，则$n-m＜0$，$m＞0$，$m+t＞0$，因此$\frac{t(n-m)}{m(m+t)}＜0$，即$\frac{n}{m}-\frac{n+t}{m+t}＜0$，可得$\frac{n}{m}＜\frac{n+t}{m+t}$。
10. 李老师在多媒体上展示了一个关于$x$的方程$\frac{k}{2x - 4} - 1 = \frac{x}{x - 2}$，甲、乙、丙三名同学分别得出了自己的结论：
甲:当$k=0$时，此方程的解为$x=1$；
乙:若此方程有增根，则$k=4$；
丙:当此方程的解是非负数时，$k$的取值范围是$k≥ -4$。
下列判断正确的是 （）
A.甲、乙对，丙错
B.甲、丙对，乙错
C.乙、丙对，甲错
D.甲、乙、丙都对
甲:当$k=0$时，此方程的解为$x=1$；
乙:若此方程有增根，则$k=4$；
丙:当此方程的解是非负数时，$k$的取值范围是$k≥ -4$。
下列判断正确的是 （）
A.甲、乙对，丙错
B.甲、丙对，乙错
C.乙、丙对，甲错
D.甲、乙、丙都对
答案
A
解析
先将原分式方程去分母，两边同乘$2(x-2)$，得：
$k - 2(x-2) = 2x$，整理得$4x = k+4$，即$x=\frac{k+4}{4}$。
1. 验证甲：当$k=0$时，$x=\frac{0+4}{4}=1$，代入原方程分母$2x-4=-2≠0$，$x=1$是方程的解，甲的结论正确。
2. 验证乙：分式方程的增根满足分母为0，即$2x-4=0$，得增根$x=2$，将$x=2$代入整式方程，得$k=4$，乙的结论正确。
3. 验证丙：方程的解为非负数，需满足$x=\frac{k+4}{4}≥0$，解得$k≥-4$，同时解不能为增根$x=2$，即$\frac{k+4}{4}≠2$，得$k≠4$，因此$k$的取值范围是$k≥-4$且$k≠4$，丙的结论错误。
综上甲、乙对，丙错。
$k - 2(x-2) = 2x$，整理得$4x = k+4$，即$x=\frac{k+4}{4}$。
1. 验证甲：当$k=0$时，$x=\frac{0+4}{4}=1$，代入原方程分母$2x-4=-2≠0$，$x=1$是方程的解，甲的结论正确。
2. 验证乙：分式方程的增根满足分母为0，即$2x-4=0$，得增根$x=2$，将$x=2$代入整式方程，得$k=4$，乙的结论正确。
3. 验证丙：方程的解为非负数，需满足$x=\frac{k+4}{4}≥0$，解得$k≥-4$，同时解不能为增根$x=2$，即$\frac{k+4}{4}≠2$，得$k≠4$，因此$k$的取值范围是$k≥-4$且$k≠4$，丙的结论错误。
综上甲、乙对，丙错。
11. 分式$\frac{2x}{3y}$的分子和分母同时乘2，得到。
答案
$\frac{4x}{6y}$
解析
解：
将分式$\frac{2x}{3y}$的分子和分母同时乘2，可得：
$\frac{2x × 2}{3y × 2} = \frac{4x}{6y}$
将分式$\frac{2x}{3y}$的分子和分母同时乘2，可得：
$\frac{2x × 2}{3y × 2} = \frac{4x}{6y}$
12.某超市近日用800元购进了一批新品种苹果，由于销售良好，又用900元二次购进了该品种苹果，但第二次进货价比第一次的进货价低10%，且进货量比第一次多40 kg，求第一次购进苹果的单价。设第一次购进苹果的单价为x元/kg，则可列方程为。
答案
解：
设第一次购进苹果的单价为$x$元/kg，
则第一次购进苹果的质量为$\frac{800}{x}\ \mathrm{kg}$，
第二次的进货单价为$(1-10\%)x$元/kg，第二次购进苹果的质量为$\frac{900}{(1-10\%)x}\ \mathrm{kg}$，
根据第二次进货量比第一次多40kg，可列方程：
$\frac{900}{(1-10\%)x} - \frac{800}{x} = 40$
设第一次购进苹果的单价为$x$元/kg，
则第一次购进苹果的质量为$\frac{800}{x}\ \mathrm{kg}$，
第二次的进货单价为$(1-10\%)x$元/kg，第二次购进苹果的质量为$\frac{900}{(1-10\%)x}\ \mathrm{kg}$，
根据第二次进货量比第一次多40kg，可列方程：
$\frac{900}{(1-10\%)x} - \frac{800}{x} = 40$
13. $( \dfrac{x^2}{y} )^3 ÷ ( \dfrac{-x}{y^2} )^2 = $
答案
$\boldsymbol{x^4 y}$
解析
解：
原式$=\frac{(x^2)^3}{y^3} ÷ \frac{(-x)^2}{(y^2)^2}$
$=\frac{x^6}{y^3} ÷ \frac{x^2}{y^4}$
$=\frac{x^6}{y^3} · \frac{y^4}{x^2}$
$=x^4 y$
最终
原式$=\frac{(x^2)^3}{y^3} ÷ \frac{(-x)^2}{(y^2)^2}$
$=\frac{x^6}{y^3} ÷ \frac{x^2}{y^4}$
$=\frac{x^6}{y^3} · \frac{y^4}{x^2}$
$=x^4 y$
最终
14. 化简：$(1 - \dfrac{2}{x - 1}) ÷ \dfrac{x - 3}{x^2 - 1} =$ 。
答案
解：
原式$=( \dfrac{x-1}{x-1} - \dfrac{2}{x-1} ) ÷ \dfrac{x-3}{(x+1)(x-1)}$
$=\dfrac{x-3}{x-1} · \dfrac{(x+1)(x-1)}{x-3}$
$=x+1$
原式$=( \dfrac{x-1}{x-1} - \dfrac{2}{x-1} ) ÷ \dfrac{x-3}{(x+1)(x-1)}$
$=\dfrac{x-3}{x-1} · \dfrac{(x+1)(x-1)}{x-3}$
$=x+1$
