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7. 如图，$CA ⊥ BE$于点$A$，$AD ⊥ BF$于点$D$，下列说法错误的是（
A.$α = ∠ ACD$
B.$α$的邻补角是$∠ DAE$
C.$∠ ACD$是$α$的余角
D.$α$与$∠ ACF$互补
C
）.A.$α = ∠ ACD$
B.$α$的邻补角是$∠ DAE$
C.$∠ ACD$是$α$的余角
D.$α$与$∠ ACF$互补
答案
7. C
解析
【分析】
解题时先根据题干给出的两个垂直关系得到相关直角，再结合余角、补角、邻补角的定义，逐个判断四个选项的正误，最终选出错误的选项即可。
【解析】
已知$CA ⊥ BE$，可得$∠ BAC = ∠ CAE = 90°$；$AD ⊥ BF$，可得$∠ ADB = ∠ ADC = 90°$。
对选项A：在$Rt△ ABD$中，$∠ α + ∠ B = 90°$；在$Rt△ ABC$中，$∠ ACD + ∠ B = 90°$，根据同角的余角相等，得$∠ α = ∠ ACD$，A说法正确，不符合题意。
对选项B：$∠ α$和$∠ DAE$有公共顶点A，公共边AD，另一边AB和AE互为反向延长线，且$∠ α + ∠ DAE = ∠ BAE = 180°$，符合邻补角的定义，B说法正确，不符合题意。
对选项C：由选项A可知$∠ α = ∠ ACD$，仅当$∠ α = 45°$时两者和为$90°$（互余），一般情况下$∠ α + ∠ ACD ≠ 90°$，所以$∠ ACD$不是$∠ α$的余角，C说法错误，符合题意。
对选项D：$∠ ACD + ∠ ACF = 180°$，结合$∠ α = ∠ ACD$，得$∠ α + ∠ ACF = 180°$，两者互补，D说法正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
余角和补角；邻补角定义；垂直的性质
【点评】
本题主要考查角的相关概念和性质，需要准确区分余角、补角、邻补角的定义，结合垂直给出的直角关系推导角的数量关系，注意不要混淆角相等和角互余的条件。
【难度系数】
0.7
解题时先根据题干给出的两个垂直关系得到相关直角，再结合余角、补角、邻补角的定义，逐个判断四个选项的正误，最终选出错误的选项即可。
【解析】
已知$CA ⊥ BE$，可得$∠ BAC = ∠ CAE = 90°$；$AD ⊥ BF$，可得$∠ ADB = ∠ ADC = 90°$。
对选项A：在$Rt△ ABD$中，$∠ α + ∠ B = 90°$；在$Rt△ ABC$中，$∠ ACD + ∠ B = 90°$，根据同角的余角相等，得$∠ α = ∠ ACD$，A说法正确，不符合题意。
对选项B：$∠ α$和$∠ DAE$有公共顶点A，公共边AD，另一边AB和AE互为反向延长线，且$∠ α + ∠ DAE = ∠ BAE = 180°$，符合邻补角的定义，B说法正确，不符合题意。
对选项C：由选项A可知$∠ α = ∠ ACD$，仅当$∠ α = 45°$时两者和为$90°$（互余），一般情况下$∠ α + ∠ ACD ≠ 90°$，所以$∠ ACD$不是$∠ α$的余角，C说法错误，符合题意。
对选项D：$∠ ACD + ∠ ACF = 180°$，结合$∠ α = ∠ ACD$，得$∠ α + ∠ ACF = 180°$，两者互补，D说法正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
余角和补角；邻补角定义；垂直的性质
【点评】
本题主要考查角的相关概念和性质，需要准确区分余角、补角、邻补角的定义，结合垂直给出的直角关系推导角的数量关系，注意不要混淆角相等和角互余的条件。
【难度系数】
0.7
8. 如图，$OA ⊥ OC$，$OB ⊥ OD$，$∠ AOD = 125°$，则$∠ BOA$的度数是（
A.$35°$
B.$45°$
C.$55°$
D.$65°$
A
）.A.$35°$
B.$45°$
C.$55°$
D.$65°$
答案
8. A
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手，首先由OA⊥OC、OB⊥OD可得∠AOC和∠BOD都是90°的直角，再结合已知的∠AOD=125°，观察角的组成关系可知∠AOD由∠AOB和∠BOD组成，直接用∠AOD减去∠BOD就能求出∠BOA的度数；也可以先求出∠COD的度数，再利用余角性质推导∠BOA的度数。
【解析】
解：
∵OB⊥OD，根据垂直的定义，
∴∠BOD=90°，
又
∵∠AOD=125°，且∠AOD=∠AOB + ∠BOD，
∴∠AOB=∠AOD - ∠BOD=125° - 90°=35°。
【答案】
A
【知识点】
垂直的定义，角的和差计算
【点评】
本题考查角度的基础计算，解题的关键是准确识别图中各角的位置关系，结合垂直得到的直角进行和差运算即可求解，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手，首先由OA⊥OC、OB⊥OD可得∠AOC和∠BOD都是90°的直角，再结合已知的∠AOD=125°，观察角的组成关系可知∠AOD由∠AOB和∠BOD组成，直接用∠AOD减去∠BOD就能求出∠BOA的度数；也可以先求出∠COD的度数，再利用余角性质推导∠BOA的度数。
【解析】
解：
∵OB⊥OD，根据垂直的定义，
∴∠BOD=90°，
又
∵∠AOD=125°，且∠AOD=∠AOB + ∠BOD，
∴∠AOB=∠AOD - ∠BOD=125° - 90°=35°。
【答案】
A
【知识点】
垂直的定义，角的和差计算
【点评】
本题考查角度的基础计算，解题的关键是准确识别图中各角的位置关系，结合垂直得到的直角进行和差运算即可求解，难度较低。
【难度系数】
0.8
9. 小花、小艳、小婷、小勇四位同学在研究时钟的时针与分针互相垂直的时刻时，发生了争执. 小花说是3点和3点30分，小艳说是9点和12点15分，小婷说是3点和9点，小勇说是6点15分和6点45分. 你认为说法正确的是(
A.小花
B.小艳
C.小婷
D.小勇
C
).A.小花
B.小艳
C.小婷
D.小勇
答案
9. C
解析
【分析】
要判断哪位同学的说法正确，核心是验证他们提到的时刻时针与分针的夹角是否为90°（垂直的定义）。首先明确钟面角度计算规则：钟面一圈为360°，共12个大格，每个大格对应30°；分针每分钟转动6°（360°÷60），时针每分钟转动0.5°（30°÷60）。接下来依次计算每位同学提到的所有时刻的时针与分针夹角，若该同学说的所有时刻都满足夹角为90°，即为正确答案。
【解析】
我们逐个验证四位同学提到的时刻：
1. 3点整：时针指向3，分针指向12，夹角=3×30°=90°，符合垂直要求；
2. 3点30分：分针转动角度=30×6°=180°，时针转动角度=3×30°+30×0.5°=105°，夹角=180°-105°=75°≠90°，不垂直，小花说法错误；
3. 9点整：时针指向9，分针指向12，夹角=3×30°=90°，符合垂直要求；
4. 12点15分：分针转动角度=15×6°=90°，时针转动角度=15×0.5°=7.5°，夹角=90°-7.5°=82.5°≠90°，不垂直，小艳说法错误；
5. 6点15分：分针转动角度=15×6°=90°，时针转动角度=6×30°+15×0.5°=187.5°，夹角=187.5°-90°=97.5°≠90°，不垂直；
6. 6点45分：分针转动角度=45×6°=270°，时针转动角度=6×30°+45×0.5°=202.5°，夹角=270°-202.5°=67.5°≠90°，两个时刻都不垂直，小勇说法错误。
只有小婷提到的3点和9点都满足时针与分针垂直，说法正确。
【答案】
C
【知识点】
1. 钟面角度计算
2. 垂直的定义
【点评】
这道题的易错点是计算夹角时忽略整点后时针会随时间继续转动，不能仅通过分针的位置直接判断夹角，需分别算出时针、分针的实际转动角度后求差，再判断是否符合垂直要求。
【难度系数】
0.7
要判断哪位同学的说法正确，核心是验证他们提到的时刻时针与分针的夹角是否为90°（垂直的定义）。首先明确钟面角度计算规则：钟面一圈为360°，共12个大格，每个大格对应30°；分针每分钟转动6°（360°÷60），时针每分钟转动0.5°（30°÷60）。接下来依次计算每位同学提到的所有时刻的时针与分针夹角，若该同学说的所有时刻都满足夹角为90°，即为正确答案。
【解析】
我们逐个验证四位同学提到的时刻：
1. 3点整：时针指向3，分针指向12，夹角=3×30°=90°，符合垂直要求；
2. 3点30分：分针转动角度=30×6°=180°，时针转动角度=3×30°+30×0.5°=105°，夹角=180°-105°=75°≠90°，不垂直，小花说法错误；
3. 9点整：时针指向9，分针指向12，夹角=3×30°=90°，符合垂直要求；
4. 12点15分：分针转动角度=15×6°=90°，时针转动角度=15×0.5°=7.5°，夹角=90°-7.5°=82.5°≠90°，不垂直，小艳说法错误；
5. 6点15分：分针转动角度=15×6°=90°，时针转动角度=6×30°+15×0.5°=187.5°，夹角=187.5°-90°=97.5°≠90°，不垂直；
6. 6点45分：分针转动角度=45×6°=270°，时针转动角度=6×30°+45×0.5°=202.5°，夹角=270°-202.5°=67.5°≠90°，两个时刻都不垂直，小勇说法错误。
只有小婷提到的3点和9点都满足时针与分针垂直，说法正确。
【答案】
C
【知识点】
1. 钟面角度计算
2. 垂直的定义
【点评】
这道题的易错点是计算夹角时忽略整点后时针会随时间继续转动，不能仅通过分针的位置直接判断夹角，需分别算出时针、分针的实际转动角度后求差，再判断是否符合垂直要求。
【难度系数】
0.7
10. 如图，$∠ ACB=90°$，$CD ⊥ AB$于D，则下面的结论中，正确的是（ ）.
① AC与BC互相垂直；
② CD和BC互相垂直；
③ 点B到AC的垂线段是线段CA；
④ 点C到AB的距离是线段CD的长度；
⑤ 线段AC的长度是点A到BC的距离.
A.①④⑤
B.①②④
C.①③⑤
D.②④⑤
① AC与BC互相垂直；
② CD和BC互相垂直；
③ 点B到AC的垂线段是线段CA；
④ 点C到AB的距离是线段CD的长度；
⑤ 线段AC的长度是点A到BC的距离.
A.①④⑤
B.①②④
C.①③⑤
D.②④⑤
答案
10. A
解析
【分析】
解答本题需先明确垂直、垂线段、点到直线的距离的核心概念，再结合已知条件逐个判断5个结论的正误：首先根据∠ACB=90°判断AC和BC的位置关系，再根据CD⊥AB判断CD的垂直对象，接着结合垂线段、点到直线距离的定义分别判断③④⑤的对错，最后选出全部正确的选项即可。
【解析】
已知∠ACB=90°，CD⊥AB于D，逐个分析结论：
① 因为∠ACB=90°，根据垂直的定义，可得AC⊥BC，即AC与BC互相垂直，故①正确；
② CD⊥AB，说明CD与AB互相垂直，CD和BC的夹角不为90°，因此CD和BC不垂直，故②错误；
③ 点B到AC的垂线段是从点B向AC作垂线，点B到垂足之间的线段，不是线段CA，故③错误；
④ 点到直线的距离是指该点到直线的垂线段的长度，点C到AB的垂线段是CD，因此点C到AB的距离是线段CD的长度，故④正确；
⑤ 因为AC⊥BC，点A到BC的垂线段是AC，因此线段AC的长度是点A到BC的距离，故⑤正确。
综上，正确的结论为①④⑤，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
垂直的定义，垂线段的定义，点到直线的距离
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点在于混淆垂线段和点到直线的距离的概念，以及判断垂线段时搞错端点的位置，只要准确掌握相关概念就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.7
解答本题需先明确垂直、垂线段、点到直线的距离的核心概念，再结合已知条件逐个判断5个结论的正误：首先根据∠ACB=90°判断AC和BC的位置关系，再根据CD⊥AB判断CD的垂直对象，接着结合垂线段、点到直线距离的定义分别判断③④⑤的对错，最后选出全部正确的选项即可。
【解析】
已知∠ACB=90°，CD⊥AB于D，逐个分析结论：
① 因为∠ACB=90°，根据垂直的定义，可得AC⊥BC，即AC与BC互相垂直，故①正确；
② CD⊥AB，说明CD与AB互相垂直，CD和BC的夹角不为90°，因此CD和BC不垂直，故②错误；
③ 点B到AC的垂线段是从点B向AC作垂线，点B到垂足之间的线段，不是线段CA，故③错误；
④ 点到直线的距离是指该点到直线的垂线段的长度，点C到AB的垂线段是CD，因此点C到AB的距离是线段CD的长度，故④正确；
⑤ 因为AC⊥BC，点A到BC的垂线段是AC，因此线段AC的长度是点A到BC的距离，故⑤正确。
综上，正确的结论为①④⑤，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
垂直的定义，垂线段的定义，点到直线的距离
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点在于混淆垂线段和点到直线的距离的概念，以及判断垂线段时搞错端点的位置，只要准确掌握相关概念就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.7
三、解答题
11. 如图，要测量两堵墙所形成的$∠AOB$的度数，但人不能进入围墙，要如何测量？请你写出两种不同的测量方法，并说明几何道理.
11. 如图，要测量两堵墙所形成的$∠AOB$的度数，但人不能进入围墙，要如何测量？请你写出两种不同的测量方法，并说明几何道理.
答案
11. 方法一：延长AO到C，测量$∠ BOC$，利用邻补角的数量关系求$∠ AOB$.方法二：延长AO到C，延长BO到D，测量$∠ DOC$，利用对顶角相等求$∠ AOB$
解析
【分析】
我们无法进入围墙直接测量∠AOB的度数，因此需要借助已学的角的性质，将∠AOB转化为围墙外可直接测量的角来求解。结合学过的邻补角、对顶角的性质，有两种转化思路：一是构造∠AOB的邻补角，测量邻补角度数后利用邻补角和为180°计算∠AOB；二是构造∠AOB的对顶角，利用对顶角相等的性质，直接测量对顶角的度数得到∠AOB的度数。
【解析】
方法1：
① 延长AO至围墙外的点C；
② 用量角器测量∠BOC的度数；
③ 因为∠AOB和∠BOC互为邻补角，满足∠AOB + ∠BOC = 180°，因此∠AOB = 180° - ∠BOC，即可算出∠AOB的度数。
方法2：
① 延长AO至围墙外的点C，延长BO至围墙外的点D；
② 用量角器测量∠DOC的度数；
③ 因为∠AOB和∠DOC互为对顶角，根据对顶角相等的性质，可得∠AOB = ∠DOC，即可得到∠AOB的度数。
【答案】
方法一：延长AO到C，测量$∠ BOC$，利用邻补角的数量关系求$∠ AOB$。方法二：延长AO到C，延长BO到D，测量$∠ DOC$，利用对顶角相等求$∠ AOB$
【知识点】
邻补角的性质；对顶角的性质
【点评】
本题结合生活实际场景，考查邻补角、对顶角性质的灵活应用，核心是将不可直接测量的角转化为可测量的角求解，有助于锻炼学生的知识迁移能力和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
我们无法进入围墙直接测量∠AOB的度数，因此需要借助已学的角的性质，将∠AOB转化为围墙外可直接测量的角来求解。结合学过的邻补角、对顶角的性质，有两种转化思路：一是构造∠AOB的邻补角，测量邻补角度数后利用邻补角和为180°计算∠AOB；二是构造∠AOB的对顶角，利用对顶角相等的性质，直接测量对顶角的度数得到∠AOB的度数。
【解析】
方法1：
① 延长AO至围墙外的点C；
② 用量角器测量∠BOC的度数；
③ 因为∠AOB和∠BOC互为邻补角，满足∠AOB + ∠BOC = 180°，因此∠AOB = 180° - ∠BOC，即可算出∠AOB的度数。
方法2：
① 延长AO至围墙外的点C，延长BO至围墙外的点D；
② 用量角器测量∠DOC的度数；
③ 因为∠AOB和∠DOC互为对顶角，根据对顶角相等的性质，可得∠AOB = ∠DOC，即可得到∠AOB的度数。
【答案】
方法一：延长AO到C，测量$∠ BOC$，利用邻补角的数量关系求$∠ AOB$。方法二：延长AO到C，延长BO到D，测量$∠ DOC$，利用对顶角相等求$∠ AOB$
【知识点】
邻补角的性质；对顶角的性质
【点评】
本题结合生活实际场景，考查邻补角、对顶角性质的灵活应用，核心是将不可直接测量的角转化为可测量的角求解，有助于锻炼学生的知识迁移能力和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
