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8. 已知按从小到大的顺序排列的两组数据：
甲组:27,30,37,a,40,50,52.
乙组:24,b,33,44,48,52,55.
若这两组数据的第25百分位数对应相等,第50百分位数也对应相等,则$a+b=$（
A.70
B.72
C.72.5
D.74
甲组:27,30,37,a,40,50,52.
乙组:24,b,33,44,48,52,55.
若这两组数据的第25百分位数对应相等,第50百分位数也对应相等,则$a+b=$（
D
）A.70
B.72
C.72.5
D.74
答案
8.D
解析
【分析】
要解决本题，首先需要明确百分位数的计算规则：对于n个按从小到大顺序排列的数据，计算i=n×对应百分率，若i不是整数，将i向上取整，取整后对应的位置的数据就是该百分位数；若i是整数，则该百分位数为第i项和第i+1项数据的平均值。本题先分别计算两组数据第25、50百分位数对应的位置，再根据两组对应百分位数相等列等式求a、b的值，最后计算a+b即可。
【解析】
两组数据都有7个数据，即n=7：
1. 计算第25百分位数的位置：$7×25\%=1.75$，1.75不是整数，向上取整为2，因此第25百分位数是每组数据的第2个数据。
已知两组第25百分位数相等，甲组第2个数据是30，乙组第2个数据是b，因此$b=30$。
2. 计算第50百分位数的位置：$7×50\%=3.5$，3.5不是整数，向上取整为4，因此第50百分位数是每组数据的第4个数据。
已知两组第50百分位数相等，乙组第4个数据是44，甲组第4个数据是a，因此$a=44$。
3. 计算$a+b$：$a+b=44+30=74$。
【答案】
D
【知识点】
百分位数计算，中位数求解
【点评】
本题核心考查百分位数的计算规则，解题的关键是准确计算百分位数对应的位置，注意位置非整数时需向上取整，再匹配对应位置的数据即可求解，整体计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先需要明确百分位数的计算规则：对于n个按从小到大顺序排列的数据，计算i=n×对应百分率，若i不是整数，将i向上取整，取整后对应的位置的数据就是该百分位数；若i是整数，则该百分位数为第i项和第i+1项数据的平均值。本题先分别计算两组数据第25、50百分位数对应的位置，再根据两组对应百分位数相等列等式求a、b的值，最后计算a+b即可。
【解析】
两组数据都有7个数据，即n=7：
1. 计算第25百分位数的位置：$7×25\%=1.75$，1.75不是整数，向上取整为2，因此第25百分位数是每组数据的第2个数据。
已知两组第25百分位数相等，甲组第2个数据是30，乙组第2个数据是b，因此$b=30$。
2. 计算第50百分位数的位置：$7×50\%=3.5$，3.5不是整数，向上取整为4，因此第50百分位数是每组数据的第4个数据。
已知两组第50百分位数相等，乙组第4个数据是44，甲组第4个数据是a，因此$a=44$。
3. 计算$a+b$：$a+b=44+30=74$。
【答案】
D
【知识点】
百分位数计算，中位数求解
【点评】
本题核心考查百分位数的计算规则，解题的关键是准确计算百分位数对应的位置，注意位置非整数时需向上取整，再匹配对应位置的数据即可求解，整体计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.7
9. 如图是甲、乙两名同学射击成绩的箱线图,下列说法正确的是
（
A.甲成绩的方差大于乙成绩的方差
B.甲成绩的中位数大于乙成绩的中位数
C.甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数
D.甲成绩的众数大于乙成绩的众数
（
A
）A.甲成绩的方差大于乙成绩的方差
B.甲成绩的中位数大于乙成绩的中位数
C.甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数
D.甲成绩的众数大于乙成绩的众数
答案
9.A
解析
【分析】
解决这道题首先要明确箱线图的含义：箱线图中，中间的横线代表中位数，箱体上下边界分别是上四分位数和下四分位数，两端的横线分别是最大值和最小值。数据越分散，对应的方差越大。我们需要先从两个箱线图中提取甲、乙成绩的相关信息，再逐一判断四个选项的正误。
【解析】
首先解读甲、乙的箱线图信息：
1. 甲的射击成绩：最小值为3环，下四分位数5环，中位数7环，上四分位数8.5环，最大值10环，数据整体分布较分散，中间50%的成绩跨度为$8.5-5=3.5$环。
2. 乙的射击成绩：最小值为3环，下四分位数7.5环，中位数9环，上四分位数10环，最大值10环，数据整体分布更集中，中间50%的成绩跨度为$10-7.5=2.5$环。
逐一分析选项：
A. 方差反映数据的波动程度，数据越分散方差越大。甲的成绩波动明显大于乙，因此甲成绩的方差大于乙成绩的方差，该选项正确。
B. 甲成绩的中位数是7环，乙成绩的中位数是9环，甲的中位数小于乙的，该选项错误。
C. 甲的成绩大多集中在5~8.5环，乙的成绩大多集中在7.5~10环，显然乙的平均成绩更高，该选项错误。
D. 众数是一组数据中出现次数最多的数，仅通过箱线图无法直接确定两组数据的众数，也不存在甲众数大于乙的情况，该选项错误。
【答案】
A
【知识点】
箱线图的认识；方差的意义；中位数的概念
【点评】
本题考查统计图表的识别与统计量的应用，解题关键是熟练掌握箱线图各部分代表的统计意义，结合不同统计量的特点分析数据特征。
【难度系数】
0.7
解决这道题首先要明确箱线图的含义：箱线图中，中间的横线代表中位数，箱体上下边界分别是上四分位数和下四分位数，两端的横线分别是最大值和最小值。数据越分散，对应的方差越大。我们需要先从两个箱线图中提取甲、乙成绩的相关信息，再逐一判断四个选项的正误。
【解析】
首先解读甲、乙的箱线图信息：
1. 甲的射击成绩：最小值为3环，下四分位数5环，中位数7环，上四分位数8.5环，最大值10环，数据整体分布较分散，中间50%的成绩跨度为$8.5-5=3.5$环。
2. 乙的射击成绩：最小值为3环，下四分位数7.5环，中位数9环，上四分位数10环，最大值10环，数据整体分布更集中，中间50%的成绩跨度为$10-7.5=2.5$环。
逐一分析选项：
A. 方差反映数据的波动程度，数据越分散方差越大。甲的成绩波动明显大于乙，因此甲成绩的方差大于乙成绩的方差，该选项正确。
B. 甲成绩的中位数是7环，乙成绩的中位数是9环，甲的中位数小于乙的，该选项错误。
C. 甲的成绩大多集中在5~8.5环，乙的成绩大多集中在7.5~10环，显然乙的平均成绩更高，该选项错误。
D. 众数是一组数据中出现次数最多的数，仅通过箱线图无法直接确定两组数据的众数，也不存在甲众数大于乙的情况，该选项错误。
【答案】
A
【知识点】
箱线图的认识；方差的意义；中位数的概念
【点评】
本题考查统计图表的识别与统计量的应用，解题关键是熟练掌握箱线图各部分代表的统计意义，结合不同统计量的特点分析数据特征。
【难度系数】
0.7
10. 已知用符号$ A $表示一组数据$ 21,22,23,24,25 $，记为$ A=(21,22,23,24,25) $，加入一个数据$ a $后，用符号$ B $表示，记为$ B=(21,22,23,24,25,a) $。有下列说法：
①若$ a=22 $，则$ A $的平均数大于$ B $的平均数；
②若$ a=23 $，则$ A $的方差等于$ B $的方差；
③若$ a=24 $，则$ A $的离差平方和小于$ B $的离差平方和。
其中说法正确的是________。（填序号）
①若$ a=22 $，则$ A $的平均数大于$ B $的平均数；
②若$ a=23 $，则$ A $的方差等于$ B $的方差；
③若$ a=24 $，则$ A $的离差平方和小于$ B $的离差平方和。
其中说法正确的是________。（填序号）
答案
10.①③
解析
【分析】
解题前先计算原数据组A的平均数、离差平方和、方差作为基准量，再分别对应三个说法中给定的a值，计算新数据组B的对应统计量，逐一对比即可判断说法是否正确。具体步骤：第一步先求A的三个核心统计量；第二步分别代入①②③的a值计算B的对应统计量，对比后判定正误。
【解析】
首先计算数据组A的相关统计量：
A的平均数：$\bar{x}_A=\frac{21+22+23+24+25}{5}=23$
A的离差平方和：$S_A=(21-23)^2+(22-23)^2+(23-23)^2+(24-23)^2+(25-23)^2=4+1+0+1+4=10$
A的方差：$s_A^2=\frac{S_A}{5}=2$
逐一判断三个说法：
①若$a=22$，B的平均数$\bar{x}_B=\frac{115+22}{6}=\frac{137}{6}\approx22.83＜23$，即A的平均数大于B的平均数，①正确；
②若$a=23$，B的平均数$\bar{x}_B=\frac{115+23}{6}=23$，B的离差平方和$S_B=10+(23-23)^2=10$，B的方差$s_B^2=\frac{10}{6}\approx1.67≠2$，即A、B方差不相等，②错误；
③若$a=24$，B的离差平方和$S_B=10+(24-23)^2=11$，$10＜11$，即A的离差平方和小于B的离差平方和，③正确。
【答案】
①③
【知识点】
平均数计算，方差计算，离差平方和
【点评】
本题考查基础统计量的计算与应用，解题核心是先算出原数据组的统计量作为参照，再代入新数据计算对比即可，计算时注意统计量的对应公式不要混淆。
【难度系数】
0.7
解题前先计算原数据组A的平均数、离差平方和、方差作为基准量，再分别对应三个说法中给定的a值，计算新数据组B的对应统计量，逐一对比即可判断说法是否正确。具体步骤：第一步先求A的三个核心统计量；第二步分别代入①②③的a值计算B的对应统计量，对比后判定正误。
【解析】
首先计算数据组A的相关统计量：
A的平均数：$\bar{x}_A=\frac{21+22+23+24+25}{5}=23$
A的离差平方和：$S_A=(21-23)^2+(22-23)^2+(23-23)^2+(24-23)^2+(25-23)^2=4+1+0+1+4=10$
A的方差：$s_A^2=\frac{S_A}{5}=2$
逐一判断三个说法：
①若$a=22$，B的平均数$\bar{x}_B=\frac{115+22}{6}=\frac{137}{6}\approx22.83＜23$，即A的平均数大于B的平均数，①正确；
②若$a=23$，B的平均数$\bar{x}_B=\frac{115+23}{6}=23$，B的离差平方和$S_B=10+(23-23)^2=10$，B的方差$s_B^2=\frac{10}{6}\approx1.67≠2$，即A、B方差不相等，②错误；
③若$a=24$，B的离差平方和$S_B=10+(24-23)^2=11$，$10＜11$，即A的离差平方和小于B的离差平方和，③正确。
【答案】
①③
【知识点】
平均数计算，方差计算，离差平方和
【点评】
本题考查基础统计量的计算与应用，解题核心是先算出原数据组的统计量作为参照，再代入新数据计算对比即可，计算时注意统计量的对应公式不要混淆。
【难度系数】
0.7
11. 甲、乙两名学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩（单位：分）中随机抽取9次，记录如下：
甲:82,81,79,78,95,88,93,84,85.
乙:92,95,80,75,83,80,90,85,85.
(1)分别求甲、乙两名学生成绩的平均数、中位数、方差.
(2)现要从中选派一名学生参加数学竞赛，从统计学的角度(在平均数、方差或标准差中选两个)考虑，你认为选派哪名学生参加比较合适？请说明理由.
甲:82,81,79,78,95,88,93,84,85.
乙:92,95,80,75,83,80,90,85,85.
(1)分别求甲、乙两名学生成绩的平均数、中位数、方差.
(2)现要从中选派一名学生参加数学竞赛，从统计学的角度(在平均数、方差或标准差中选两个)考虑，你认为选派哪名学生参加比较合适？请说明理由.
答案
11.解:(1)由题意,得甲成绩的平均数$\overline{x}_甲=85$分,中位数为84分,方差$s_甲^2\approx31.56$;乙成绩的平均数$\overline{x}_乙=85$分,中位数为85分,方差$s_乙^2\approx36.44$.
(2)甲.理由:由(1)可知$\overline{x}_甲=\overline{x}_乙,s_甲^2＜s_乙^2$,所以甲的成绩比较稳定,所以选派甲参加比较合适.
(2)甲.理由:由(1)可知$\overline{x}_甲=\overline{x}_乙,s_甲^2＜s_乙^2$,所以甲的成绩比较稳定,所以选派甲参加比较合适.
解析
【分析】
本题分为两小问，解题思路如下：(1)计算三个统计量：①平均数：将两人各自的9次成绩求和，再除以数据总个数9即可；②中位数：先把两人的成绩分别按从小到大的顺序排列，因为数据个数是9（奇数），排在第5位的数就是该组数据的中位数；③方差：先算出每个数据与平均数的差的平方，再求这些平方值的平均数，就是方差。(2)选派参赛人员时，先比较两人的平均数判断平均水平，再比较方差判断成绩的稳定性，综合选择即可。
【解析】
(1) 计算甲的相关统计量：
首先将甲的成绩从小到大排序：78，79，81，82，84，85，88，93，95
①平均数：$\overline{x}_甲=\frac{78+79+81+82+84+85+88+93+95}{9}=\frac{765}{9}=85$（分）
②中位数：排序后第5个数据是84，故中位数为84分
③方差：$s_甲^2=\frac{(78-85)^2+(79-85)^2+(81-85)^2+(82-85)^2+(84-85)^2+(85-85)^2+(88-85)^2+(93-85)^2+(95-85)^2}{9}=\frac{49+36+16+9+1+0+9+64+100}{9}=\frac{284}{9}\approx31.56$
计算乙的相关统计量：
首先将乙的成绩从小到大排序：75，80，80，83，85，85，90，92，95
①平均数：$\overline{x}_乙=\frac{75+80+80+83+85+85+90+92+95}{9}=\frac{765}{9}=85$（分）
②中位数：排序后第5个数据是85，故中位数为85分
③方差：$s_乙^2=\frac{(75-85)^2+(80-85)^2+(80-85)^2+(83-85)^2+(85-85)^2+(85-85)^2+(90-85)^2+(92-85)^2+(95-85)^2}{9}=\frac{100+25+25+4+0+0+25+49+100}{9}=\frac{328}{9}\approx36.44$
(2) 选派甲参赛比较合适，理由如下：
由(1)的计算结果可知，$\overline{x}_甲=\overline{x}_乙=85$，说明两人的平均成绩水平相当；又$s_甲^2＜s_乙^2$，方差越小说明数据的波动越小，成绩越稳定，因此甲的成绩更稳定，选派甲参加更合适。
【答案】
(1) 甲的平均数为85分，中位数为84分，方差约为31.56；乙的平均数为85分，中位数为85分，方差约为36.44。
(2) 选派甲参加比较合适，理由是甲乙平均成绩相同，甲的方差更小，成绩更稳定。
【知识点】
平均数的计算；中位数的计算；方差的应用
【点评】
本题侧重考察统计基础量的计算和实际应用，需要熟练掌握平均数、中位数、方差的计算规则，理解方差反映数据稳定性的特征，计算时注意细心避免运算错误即可。
【难度系数】
0.7
本题分为两小问，解题思路如下：(1)计算三个统计量：①平均数：将两人各自的9次成绩求和，再除以数据总个数9即可；②中位数：先把两人的成绩分别按从小到大的顺序排列，因为数据个数是9（奇数），排在第5位的数就是该组数据的中位数；③方差：先算出每个数据与平均数的差的平方，再求这些平方值的平均数，就是方差。(2)选派参赛人员时，先比较两人的平均数判断平均水平，再比较方差判断成绩的稳定性，综合选择即可。
【解析】
(1) 计算甲的相关统计量：
首先将甲的成绩从小到大排序：78，79，81，82，84，85，88，93，95
①平均数：$\overline{x}_甲=\frac{78+79+81+82+84+85+88+93+95}{9}=\frac{765}{9}=85$（分）
②中位数：排序后第5个数据是84，故中位数为84分
③方差：$s_甲^2=\frac{(78-85)^2+(79-85)^2+(81-85)^2+(82-85)^2+(84-85)^2+(85-85)^2+(88-85)^2+(93-85)^2+(95-85)^2}{9}=\frac{49+36+16+9+1+0+9+64+100}{9}=\frac{284}{9}\approx31.56$
计算乙的相关统计量：
首先将乙的成绩从小到大排序：75，80，80，83，85，85，90，92，95
①平均数：$\overline{x}_乙=\frac{75+80+80+83+85+85+90+92+95}{9}=\frac{765}{9}=85$（分）
②中位数：排序后第5个数据是85，故中位数为85分
③方差：$s_乙^2=\frac{(75-85)^2+(80-85)^2+(80-85)^2+(83-85)^2+(85-85)^2+(85-85)^2+(90-85)^2+(92-85)^2+(95-85)^2}{9}=\frac{100+25+25+4+0+0+25+49+100}{9}=\frac{328}{9}\approx36.44$
(2) 选派甲参赛比较合适，理由如下：
由(1)的计算结果可知，$\overline{x}_甲=\overline{x}_乙=85$，说明两人的平均成绩水平相当；又$s_甲^2＜s_乙^2$，方差越小说明数据的波动越小，成绩越稳定，因此甲的成绩更稳定，选派甲参加更合适。
【答案】
(1) 甲的平均数为85分，中位数为84分，方差约为31.56；乙的平均数为85分，中位数为85分，方差约为36.44。
(2) 选派甲参加比较合适，理由是甲乙平均成绩相同，甲的方差更小，成绩更稳定。
【知识点】
平均数的计算；中位数的计算；方差的应用
【点评】
本题侧重考察统计基础量的计算和实际应用，需要熟练掌握平均数、中位数、方差的计算规则，理解方差反映数据稳定性的特征，计算时注意细心避免运算错误即可。
【难度系数】
0.7
