登录
13. 已知点 $ P(m-n,c) $ 在第一象限，用“＜”或“＞”填空.
(1)$ m-2 $ ______ $ n-2 $;
(2)$ 3m-4 $ ______ $ 3n-4 $;
(3)$ 7-cm $ ______ $ 7-cn $;
(4)$ m+2n $ ______ $ 2m+n $.
(1)$ m-2 $ ______ $ n-2 $;
(2)$ 3m-4 $ ______ $ 3n-4 $;
(3)$ 7-cm $ ______ $ 7-cn $;
(4)$ m+2n $ ______ $ 2m+n $.
答案
13.(1)＞ (2)＞ (3)＜ (4)＜
解析
【分析】
首先根据第一象限内点的坐标特征（横、纵坐标均大于0），可得出两个核心结论：$m-n＞0$即$m＞n$，且$c＞0$。接下来4个小问均以$m＞n$为基础，结合不等式的基本性质对不等式进行变形，即可比较出两边式子的大小关系，变形时要注意区分乘的是正数还是负数，判断不等号方向是否改变。
【解析】
解：
∵点$P(m-n,c)$在第一象限，
∴横坐标$m-n＞0$，纵坐标$c＞0$，即$m＞n$，$c＞0$。
(1) 对不等式$m＞n$两边同时减2，根据不等式的性质1（不等式两边加/减同一个数或整式，不等号方向不变），可得$m-2 ＞ n-2$；
(2) 先对不等式$m＞n$两边同时乘正数3，根据不等式的性质2（不等式两边乘/除以同一个正数，不等号方向不变），得$3m＞3n$，再两边同时减4，根据不等式的性质1，可得$3m-4 ＞ 3n-4$；
(3) 先对不等式$m＞n$两边同时乘$-c$，
∵$c＞0$，
∴$-c＜0$，根据不等式的性质3（不等式两边乘/除以同一个负数，不等号方向改变），得$-cm ＜ -cn$，再两边同时加7，根据不等式的性质1，可得$7-cm ＜ 7-cn$；
(4) 对两个要比较的式子，两边同时减去整式$m+n$，根据不等式的性质1，不等号方向不变：
左边：$(m+2n)-(m+n)=n$，右边：$(2m+n)-(m+n)=m$，
∵$m＞n$，
∴$n ＜ m$，即$m+2n ＜ 2m+n$。
【答案】
(1)＞ (2)＞ (3)＜ (4)＜
【知识点】
象限点的坐标特征；不等式的基本性质；代数式大小比较
【点评】
本题是不等式性质的基础应用类题目，解题的关键是先从已知的象限坐标条件中推导得到m与n的大小关系、c的符号，再准确运用不等式性质变形即可，需格外注意不等式两边乘负数时不等号方向要改变。
【难度系数】
0.85
首先根据第一象限内点的坐标特征（横、纵坐标均大于0），可得出两个核心结论：$m-n＞0$即$m＞n$，且$c＞0$。接下来4个小问均以$m＞n$为基础，结合不等式的基本性质对不等式进行变形，即可比较出两边式子的大小关系，变形时要注意区分乘的是正数还是负数，判断不等号方向是否改变。
【解析】
解：
∵点$P(m-n,c)$在第一象限，
∴横坐标$m-n＞0$，纵坐标$c＞0$，即$m＞n$，$c＞0$。
(1) 对不等式$m＞n$两边同时减2，根据不等式的性质1（不等式两边加/减同一个数或整式，不等号方向不变），可得$m-2 ＞ n-2$；
(2) 先对不等式$m＞n$两边同时乘正数3，根据不等式的性质2（不等式两边乘/除以同一个正数，不等号方向不变），得$3m＞3n$，再两边同时减4，根据不等式的性质1，可得$3m-4 ＞ 3n-4$；
(3) 先对不等式$m＞n$两边同时乘$-c$，
∵$c＞0$，
∴$-c＜0$，根据不等式的性质3（不等式两边乘/除以同一个负数，不等号方向改变），得$-cm ＜ -cn$，再两边同时加7，根据不等式的性质1，可得$7-cm ＜ 7-cn$；
(4) 对两个要比较的式子，两边同时减去整式$m+n$，根据不等式的性质1，不等号方向不变：
左边：$(m+2n)-(m+n)=n$，右边：$(2m+n)-(m+n)=m$，
∵$m＞n$，
∴$n ＜ m$，即$m+2n ＜ 2m+n$。
【答案】
(1)＞ (2)＞ (3)＜ (4)＜
【知识点】
象限点的坐标特征；不等式的基本性质；代数式大小比较
【点评】
本题是不等式性质的基础应用类题目，解题的关键是先从已知的象限坐标条件中推导得到m与n的大小关系、c的符号，再准确运用不等式性质变形即可，需格外注意不等式两边乘负数时不等号方向要改变。
【难度系数】
0.85
14.下列说法中：
①若$a ＞ b$，则$ac ＞ bc$；②若$am^2 ＞ bm^2$，则$a ＞ b$；③若$a ＞ b$，$c ＞ d$，则$a + c ＞ b + d$；④若$a ＞ b$，$c ＞ d ＞ 0$，则$ac ＞ bd$。
正确的有
①若$a ＞ b$，则$ac ＞ bc$；②若$am^2 ＞ bm^2$，则$a ＞ b$；③若$a ＞ b$，$c ＞ d$，则$a + c ＞ b + d$；④若$a ＞ b$，$c ＞ d ＞ 0$，则$ac ＞ bd$。
正确的有
②③
（填序号）。答案
14.②③
解析
【分析】
本题需要逐个判断4个关于不等式的说法是否正确，解题时可结合不等式的基本性质分析，对于无法直接判断的，可通过举反例（代入特殊值，如0、负数等）验证说法是否成立，需注意不等式性质应用的前提条件。
【解析】
我们逐个分析4个说法：
① 若$a ＞ b$，则$ac ＞ bc$：根据不等式的性质，不等式两边同时乘同一个正数，不等号方向不变；乘同一个负数，不等号方向改变；乘0时两边相等。这里未说明$c$的正负和是否为0，当$c≤0$时，$ac ＞ bc$不成立，例如$a=3，b=2，c=-1$时，$3×(-1)=-3＜2×(-1)=-2$，故①错误。
② 若$am^2 ＞ bm^2$，则$a ＞ b$：因为$m^2≥0$，已知$am^2 ＞ bm^2$，说明$m^2$不可能为0（若$m^2=0$，两边均为0，不满足大小关系），即$m^2＞0$，不等式两边同时除以正数$m^2$，不等号方向不变，可得$a ＞ b$，故②正确。
③ 若$a ＞ b$，$c ＞ d$，则$a + c ＞ b + d$：这是不等式的同向可加性，两个同向不等式相加，不等号方向不变，该结论恒成立，故③正确。
④ 若$a ＞ b$，$c ＞ d ＞ 0$，则$ac ＞ bd$：该说法只有在$a、b$均为正数时才成立，若$a、b$为负数则可能不成立，举反例：$a=-3，b=-4，c=1，d=0.5$，满足$a ＞ b$，$c ＞ d ＞ 0$，此时$ac=-3×1=-3$，$bd=-4×0.5=-2$，$-3＜-2$，即$ac＜bd$，故④错误。
综上，正确的是②③。
【答案】
②③
【知识点】
1.不等式的基本性质 2.命题真假判断
【点评】
本题重点考查不等式基本性质的应用，解题时要特别注意不等式乘除运算中对系数正负的要求，涉及未限定范围的字母时，可通过举反例快速判断命题的正误，是不等式章节的基础易错题。
【难度系数】
0.7
本题需要逐个判断4个关于不等式的说法是否正确，解题时可结合不等式的基本性质分析，对于无法直接判断的，可通过举反例（代入特殊值，如0、负数等）验证说法是否成立，需注意不等式性质应用的前提条件。
【解析】
我们逐个分析4个说法：
① 若$a ＞ b$，则$ac ＞ bc$：根据不等式的性质，不等式两边同时乘同一个正数，不等号方向不变；乘同一个负数，不等号方向改变；乘0时两边相等。这里未说明$c$的正负和是否为0，当$c≤0$时，$ac ＞ bc$不成立，例如$a=3，b=2，c=-1$时，$3×(-1)=-3＜2×(-1)=-2$，故①错误。
② 若$am^2 ＞ bm^2$，则$a ＞ b$：因为$m^2≥0$，已知$am^2 ＞ bm^2$，说明$m^2$不可能为0（若$m^2=0$，两边均为0，不满足大小关系），即$m^2＞0$，不等式两边同时除以正数$m^2$，不等号方向不变，可得$a ＞ b$，故②正确。
③ 若$a ＞ b$，$c ＞ d$，则$a + c ＞ b + d$：这是不等式的同向可加性，两个同向不等式相加，不等号方向不变，该结论恒成立，故③正确。
④ 若$a ＞ b$，$c ＞ d ＞ 0$，则$ac ＞ bd$：该说法只有在$a、b$均为正数时才成立，若$a、b$为负数则可能不成立，举反例：$a=-3，b=-4，c=1，d=0.5$，满足$a ＞ b$，$c ＞ d ＞ 0$，此时$ac=-3×1=-3$，$bd=-4×0.5=-2$，$-3＜-2$，即$ac＜bd$，故④错误。
综上，正确的是②③。
【答案】
②③
【知识点】
1.不等式的基本性质 2.命题真假判断
【点评】
本题重点考查不等式基本性质的应用，解题时要特别注意不等式乘除运算中对系数正负的要求，涉及未限定范围的字母时，可通过举反例快速判断命题的正误，是不等式章节的基础易错题。
【难度系数】
0.7
15.小琦跟几位同学在某快餐店吃饭，如下为该快餐店的菜单.若他们一共点了10份盖饭、x杯饮料、y份凉拌菜.
A套餐:一份盖饭加一杯饮料
B套餐:一份盖饭加
份凉拌菜
C套餐:一份盖饭加一杯饮料与一份凉拌菜
(1)他们点了
(2)若$x=6$，且A,B,C套餐均至少点了1份，则最多有
A套餐:一份盖饭加一杯饮料
B套餐:一份盖饭加
份凉拌菜C套餐:一份盖饭加一杯饮料与一份凉拌菜
(1)他们点了
$10-y$
份A套餐(用含x或y的代数式表示)；(2)若$x=6$，且A,B,C套餐均至少点了1份，则最多有
$5$
种点餐方案.答案
15.(1)$10-y$ (2)$5$
解析
【分析】
(1) 首先三个套餐每份都包含1份盖饭，总共有10份盖饭，说明A、B、C三种套餐的总份数为10。由于只有B、C套餐含凉拌菜，每份B、C套餐各含1份凉拌菜，因此B和C套餐的总份数等于凉拌菜的总份数y，用总套餐数减去B、C的总份数即可得到A套餐的份数。
(2) 当x=6时，饮料仅由A、C套餐提供，每份A、C套餐各含1杯饮料，因此A和C套餐的总份数等于6。结合三种套餐总份数为10，可推出B套餐份数固定为4，再根据三种套餐均至少点1份的限制，求出符合条件的正整数解的个数，就是点餐方案的总数。
【解析】
(1) 因为每份套餐都含1份盖饭，共点10份盖饭，因此$A+B+C=10$。
又因为只有B、C套餐含凉拌菜，每份B、C套餐各含1份凉拌菜，共点了y份凉拌菜，因此$B+C=y$。
所以A套餐的份数为$10-(B+C)=10-y$。
(2) 设A套餐有$a$份，B套餐有$b$份，C套餐有$c$份，其中$a、b、c$均为正整数。
根据题意可得：
$\begin{cases}a+b+c=10 \quad \mathrm{（总盖饭份数）}\\a+c=6 \quad \mathrm{（总饮料份数，仅A、C含饮料）}\end{cases}$
将$a+c=6$代入$a+b+c=10$，得$6+b=10$，解得$b=4$，满足$b≥1$的要求。
结合$a≥1$，$c≥1$，由$a=6-c$可得：
$6-c≥1$，即$c≤5$，同时$c≥1$。
因此$c$可取的正整数为1、2、3、4、5，共5种取值，对应5种点餐方案。
【答案】
(1) $10-y$ (2) $5$
【知识点】
列代数式，一元一次不等式的应用，方案设计
【点评】
本题结合生活中点餐的实际场景，考查代数式表示和整数解的应用，解题的核心是理清不同套餐包含的餐品，找准各个量之间的等量关系，再结合限制条件求解即可。
【难度系数】
0.65
(1) 首先三个套餐每份都包含1份盖饭，总共有10份盖饭，说明A、B、C三种套餐的总份数为10。由于只有B、C套餐含凉拌菜，每份B、C套餐各含1份凉拌菜，因此B和C套餐的总份数等于凉拌菜的总份数y，用总套餐数减去B、C的总份数即可得到A套餐的份数。
(2) 当x=6时，饮料仅由A、C套餐提供，每份A、C套餐各含1杯饮料，因此A和C套餐的总份数等于6。结合三种套餐总份数为10，可推出B套餐份数固定为4，再根据三种套餐均至少点1份的限制，求出符合条件的正整数解的个数，就是点餐方案的总数。
【解析】
(1) 因为每份套餐都含1份盖饭，共点10份盖饭，因此$A+B+C=10$。
又因为只有B、C套餐含凉拌菜，每份B、C套餐各含1份凉拌菜，共点了y份凉拌菜，因此$B+C=y$。
所以A套餐的份数为$10-(B+C)=10-y$。
(2) 设A套餐有$a$份，B套餐有$b$份，C套餐有$c$份，其中$a、b、c$均为正整数。
根据题意可得：
$\begin{cases}a+b+c=10 \quad \mathrm{（总盖饭份数）}\\a+c=6 \quad \mathrm{（总饮料份数，仅A、C含饮料）}\end{cases}$
将$a+c=6$代入$a+b+c=10$，得$6+b=10$，解得$b=4$，满足$b≥1$的要求。
结合$a≥1$，$c≥1$，由$a=6-c$可得：
$6-c≥1$，即$c≤5$，同时$c≥1$。
因此$c$可取的正整数为1、2、3、4、5，共5种取值，对应5种点餐方案。
【答案】
(1) $10-y$ (2) $5$
【知识点】
列代数式，一元一次不等式的应用，方案设计
【点评】
本题结合生活中点餐的实际场景，考查代数式表示和整数解的应用，解题的核心是理清不同套餐包含的餐品，找准各个量之间的等量关系，再结合限制条件求解即可。
【难度系数】
0.65
16.使得不等式组$\frac{9}{17}＜\frac{n}{n+k}＜\frac{8}{15}$对唯一的整数$k$成立的最大正整数$m$为________.
答案
16.144
解析
【分析】
首先利用不等式的性质，对分式不等式去分母转化为整式不等式，解出k的取值范围。题目要求存在唯一的整数k满足不等式，因此需要保证k的取值区间内恰好只有1个整数，通过计算区间长度结合整数的性质，就能求出最大的正整数n。
【解析】
由于n、k都是正整数，因此$n+k＞0$，不等式两边同时乘正数时不等号方向不变。
1. 解左侧不等式$\frac{9}{17}＜\frac{n}{n+k}$：
两边同时乘$17(n+k)$得：$9(n+k)＜17n$
展开得：$9n+9k＜17n$
移项合并同类项得：$9k＜8n$，即$k＜\frac{8n}{9}$
2. 解右侧不等式$\frac{n}{n+k}＜\frac{8}{15}$：
两边同时乘$15(n+k)$得：$15n＜8(n+k)$
展开得：$15n＜8n+8k$
移项合并同类项得：$7n＜8k$，即$k＞\frac{7n}{8}$
因此k的取值范围为$\frac{7n}{8}＜k＜\frac{8n}{9}$，通分后得$\frac{63n}{72}＜k＜\frac{64n}{72}$，该区间长度为$\frac{n}{72}$。
若区间内只有唯一整数k，则区间长度不能超过2，否则至少存在2个整数。
当$n=144$时，代入得$126＜k＜128$，唯一整数$k=127$，符合要求；
当$n=145$时，代入得$126.875＜k＜128.89$，存在整数127、128两个，不符合要求。
因此最大正整数n为144。
【答案】
144
【知识点】
不等式的性质，不等式组的整数解
【点评】
本题核心是利用不等式性质将分式不等式转化为整式不等式，再结合整数解唯一的限制条件求解，需要准确把握区间长度和整数个数的对应关系。
【难度系数】
0.4
首先利用不等式的性质，对分式不等式去分母转化为整式不等式，解出k的取值范围。题目要求存在唯一的整数k满足不等式，因此需要保证k的取值区间内恰好只有1个整数，通过计算区间长度结合整数的性质，就能求出最大的正整数n。
【解析】
由于n、k都是正整数，因此$n+k＞0$，不等式两边同时乘正数时不等号方向不变。
1. 解左侧不等式$\frac{9}{17}＜\frac{n}{n+k}$：
两边同时乘$17(n+k)$得：$9(n+k)＜17n$
展开得：$9n+9k＜17n$
移项合并同类项得：$9k＜8n$，即$k＜\frac{8n}{9}$
2. 解右侧不等式$\frac{n}{n+k}＜\frac{8}{15}$：
两边同时乘$15(n+k)$得：$15n＜8(n+k)$
展开得：$15n＜8n+8k$
移项合并同类项得：$7n＜8k$，即$k＞\frac{7n}{8}$
因此k的取值范围为$\frac{7n}{8}＜k＜\frac{8n}{9}$，通分后得$\frac{63n}{72}＜k＜\frac{64n}{72}$，该区间长度为$\frac{n}{72}$。
若区间内只有唯一整数k，则区间长度不能超过2，否则至少存在2个整数。
当$n=144$时，代入得$126＜k＜128$，唯一整数$k=127$，符合要求；
当$n=145$时，代入得$126.875＜k＜128.89$，存在整数127、128两个，不符合要求。
因此最大正整数n为144。
【答案】
144
【知识点】
不等式的性质，不等式组的整数解
【点评】
本题核心是利用不等式性质将分式不等式转化为整式不等式，再结合整数解唯一的限制条件求解，需要准确把握区间长度和整数个数的对应关系。
【难度系数】
0.4
三、用心做一做,显显自己的能力!(解答应写出具体步骤)
17.解下列不等式,并把它们的解集在数轴上表示出来:
(1)$2(5x-3) ≤ 4x-3(1-3x);$
(2)$\dfrac{4x+3}{5}-\dfrac{7-x}{2} ＜ 1.$
17.解下列不等式,并把它们的解集在数轴上表示出来:
(1)$2(5x-3) ≤ 4x-3(1-3x);$
(2)$\dfrac{4x+3}{5}-\dfrac{7-x}{2} ＜ 1.$
答案
17.(1)解集为 $x≥-1$,在数轴上表示如下.
(2)解集为 $x＜3$,在数轴上表示如下.
解析
【分析】
解一元一次不等式可类比一元一次方程的步骤，依次按去括号（或去分母）、移项、合并同类项、系数化为1操作，要注意系数化为1时，若不等式两边同时乘除负数，不等号方向需要改变；数轴表示解集时，包含端点用实心圆点，不包含端点用空心圆圈，大于向右延伸、小于向左延伸即可。
【解析】
(1) 解不等式$2(5x-3) ≤ 4x-3(1-3x)$
第一步：去括号，得 $10x-6 ≤ 4x-3+9x$
第二步：移项，将含$x$的项移到左边，常数项移到右边，得 $10x-4x-9x ≤ -3+6$
第三步：合并同类项，得 $-3x ≤ 3$
第四步：系数化为1，两边同时除以$-3$，不等号方向改变，得 $x≥-1$
在数轴上表示为在$-1$处标记实心圆点，向右画射线。
(2) 解不等式$\dfrac{4x+3}{5}-\dfrac{7-x}{2} ＜ 1$
第一步：去分母，两边同时乘分母最小公倍数10，每一项都乘10，得 $2(4x+3)-5(7-x) ＜ 10$
第二步：去括号，得 $8x+6-35+5x ＜ 10$
第三步：移项，得 $8x+5x ＜ 10-6+35$
第四步：合并同类项，得 $13x ＜ 39$
第五步：系数化为1，两边同时除以13，不等号方向不变，得 $x＜3$
在数轴上表示为在$3$处标记空心圆圈，向左画射线。
【答案】
(1)解集为 $x≥-1$,在数轴上表示如下.
(2)解集为 $x＜3$,在数轴上表示如下.
【知识点】
一元一次不等式解法、不等式基本性质、解集的数轴表示
【点评】
本题属于不等式基础题，核心是掌握解一元一次不等式的步骤，注意去分母不要漏乘常数项、系数化为1时判断不等号方向是否改变，数轴表示要区分实心和空心标记的用法。
【难度系数】
0.8
解一元一次不等式可类比一元一次方程的步骤，依次按去括号（或去分母）、移项、合并同类项、系数化为1操作，要注意系数化为1时，若不等式两边同时乘除负数，不等号方向需要改变；数轴表示解集时，包含端点用实心圆点，不包含端点用空心圆圈，大于向右延伸、小于向左延伸即可。
【解析】
(1) 解不等式$2(5x-3) ≤ 4x-3(1-3x)$
第一步：去括号，得 $10x-6 ≤ 4x-3+9x$
第二步：移项，将含$x$的项移到左边，常数项移到右边，得 $10x-4x-9x ≤ -3+6$
第三步：合并同类项，得 $-3x ≤ 3$
第四步：系数化为1，两边同时除以$-3$，不等号方向改变，得 $x≥-1$
在数轴上表示为在$-1$处标记实心圆点，向右画射线。
(2) 解不等式$\dfrac{4x+3}{5}-\dfrac{7-x}{2} ＜ 1$
第一步：去分母，两边同时乘分母最小公倍数10，每一项都乘10，得 $2(4x+3)-5(7-x) ＜ 10$
第二步：去括号，得 $8x+6-35+5x ＜ 10$
第三步：移项，得 $8x+5x ＜ 10-6+35$
第四步：合并同类项，得 $13x ＜ 39$
第五步：系数化为1，两边同时除以13，不等号方向不变，得 $x＜3$
在数轴上表示为在$3$处标记空心圆圈，向左画射线。
【答案】
(1)解集为 $x≥-1$,在数轴上表示如下.
(2)解集为 $x＜3$,在数轴上表示如下.
【知识点】
一元一次不等式解法、不等式基本性质、解集的数轴表示
【点评】
本题属于不等式基础题，核心是掌握解一元一次不等式的步骤，注意去分母不要漏乘常数项、系数化为1时判断不等号方向是否改变，数轴表示要区分实心和空心标记的用法。
【难度系数】
0.8
