21. (6分)如图,面积为$48\ \mathrm{cm^{2}}$的大正方形的四个角是面积均为$3\ \mathrm{cm^{2}}$的小正方形,现将四个角剪掉,制作一个无盖的长方体盒子,求这个长方体盒子的底面边长和体积.

解：
1. 大正方形的边长为：$\sqrt{48}=4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
2. 小正方形的边长为：$\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
3. 长方体盒子的底面边长为：$4\sqrt{3}-2×\sqrt{3}=2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
4. 长方体盒子的体积为：$(2\sqrt{3})^2×\sqrt{3}=12×\sqrt{3}=12\sqrt{3}\ \mathrm{cm^3}$
答：这个长方体盒子的底面边长为$2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，体积为$12\sqrt{3}\ \mathrm{cm^3}$。

22. (8分)如图,在等腰三角形$ABC$中,$AB=AC$,$D$是$BC$边上的一点,$DE⊥ AB$,$DF⊥ AC$,垂足分别是$E,F$.若$DE+DF=2\sqrt{2}$,$△ ABC$的面积为$\frac{8\sqrt{6}}{5}$,求$AB$的长.

解：连接AD。
∵ AB=AC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ $S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ ACD}$
$=\frac{1}{2}AB· DE+\frac{1}{2}AC· DF$
$=\frac{1}{2}AB·(DE+DF)$
将$DE+DF=2\sqrt{2}$，$S_{△ ABC}=\frac{8\sqrt{6}}{5}$代入上式，得：
$\frac{8\sqrt{6}}{5}=\frac{1}{2}AB·2\sqrt{2}$
化简得：$\frac{8\sqrt{6}}{5}=AB·\sqrt{2}$
解得：$AB=\frac{8\sqrt{6}}{5\sqrt{2}}=\frac{8\sqrt{3}}{5}$
答：AB的长为$\boldsymbol{\frac{8\sqrt{3}}{5}}$。