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19. (6分)已知$\frac{1}{2}＜a＜5$,试化简:$\sqrt{4a^{2}-4a+1}+|a-5|$.
答案
解：
$\sqrt{4a^{2}-4a+1}+|a-5|$
$=\sqrt{(2a-1)^2}+|a-5|$
$=|2a-1|+|a-5|$
因为$\frac{1}{2}＜a＜5$，所以$2a-1＞0$，$a-5＜0$，
则原式$=(2a-1)+(5-a)$
$=2a-1+5-a$
$=a+4$
$\sqrt{4a^{2}-4a+1}+|a-5|$
$=\sqrt{(2a-1)^2}+|a-5|$
$=|2a-1|+|a-5|$
因为$\frac{1}{2}＜a＜5$，所以$2a-1＞0$，$a-5＜0$，
则原式$=(2a-1)+(5-a)$
$=2a-1+5-a$
$=a+4$
20. (6分)已知$a=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}},b=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$,求$a^{3}+a^{2}b+ab^{2}+b^{3}$的值.
答案
解：
$a=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}=\frac{(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2}{(\sqrt{5})^2-(\sqrt{3})^2}=\frac{5+2\sqrt{15}+3}{5-3}=\frac{8+2\sqrt{15}}{2}=4+\sqrt{15}$
$b=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\frac{(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2}{(\sqrt{5})^2-(\sqrt{3})^2}=\frac{5-2\sqrt{15}+3}{5-3}=\frac{8-2\sqrt{15}}{2}=4-\sqrt{15}$
$a+b=(4+\sqrt{15})+(4-\sqrt{15})=8$
$ab=(4+\sqrt{15})(4-\sqrt{15})=4^2-(\sqrt{15})^2=16-15=1$
$\begin{aligned}a^3+a^2b+ab^2+b^3&=a^2(a+b)+b^2(a+b)\\&=(a+b)(a^2+b^2)\\&=(a+b)[(a+b)^2-2ab]\\&=8×(8^2-2×1)\\&=8×(64-2)\\&=8×62\\&=496\end{aligned}$
$a=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}=\frac{(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2}{(\sqrt{5})^2-(\sqrt{3})^2}=\frac{5+2\sqrt{15}+3}{5-3}=\frac{8+2\sqrt{15}}{2}=4+\sqrt{15}$
$b=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\frac{(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2}{(\sqrt{5})^2-(\sqrt{3})^2}=\frac{5-2\sqrt{15}+3}{5-3}=\frac{8-2\sqrt{15}}{2}=4-\sqrt{15}$
$a+b=(4+\sqrt{15})+(4-\sqrt{15})=8$
$ab=(4+\sqrt{15})(4-\sqrt{15})=4^2-(\sqrt{15})^2=16-15=1$
$\begin{aligned}a^3+a^2b+ab^2+b^3&=a^2(a+b)+b^2(a+b)\\&=(a+b)(a^2+b^2)\\&=(a+b)[(a+b)^2-2ab]\\&=8×(8^2-2×1)\\&=8×(64-2)\\&=8×62\\&=496\end{aligned}$
