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14.已知 y 与 x 成正比例，且当 $ x=9 $ 时，$ y=16 $，求该函数的解析式。
答案
14.解:
∵y与x成正比例，
∴可设$y=kx(k≠0)$.
∵当$x=9$时，$y=16$，
∴$16=k×9$,解得$k=\frac{16}{9}$.
∴该函数解析式为$y=\frac{16}{9}x$.
∵y与x成正比例，
∴可设$y=kx(k≠0)$.
∵当$x=9$时，$y=16$，
∴$16=k×9$,解得$k=\frac{16}{9}$.
∴该函数解析式为$y=\frac{16}{9}x$.
解析
【分析】
解题时首先根据“y与x成正比例”的条件，结合正比例函数的定义，先设出正比例函数的一般形式$y=kx$（$k≠0$，k为常数），其中k是待求的未知系数；接下来将题目给出的$x=9$、$y=16$的对应值代入所设的解析式，得到关于k的一元一次方程，解方程求出k的值；最后把求出的k值代回原先设的解析式，就能得到所求的函数解析式。
【解析】
∵y与x成正比例，
∴可设函数解析式为$y=kx(k≠0)$，
∵当$x=9$时，$y=16$，
∴将$x=9$，$y=16$代入$y=kx$得：$16=9k$，
解得$k=\frac{16}{9}$，
∴该函数的解析式为$y=\frac{16}{9}x$。
【答案】
$y=\frac{16}{9}x$
【知识点】
正比例函数的定义；待定系数法求解析式
【点评】
本题是函数部分的基础题型，核心考查对正比例函数概念的掌握以及待定系数法的运用，熟练掌握正比例函数的形式和待定系数法的解题步骤即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时首先根据“y与x成正比例”的条件，结合正比例函数的定义，先设出正比例函数的一般形式$y=kx$（$k≠0$，k为常数），其中k是待求的未知系数；接下来将题目给出的$x=9$、$y=16$的对应值代入所设的解析式，得到关于k的一元一次方程，解方程求出k的值；最后把求出的k值代回原先设的解析式，就能得到所求的函数解析式。
【解析】
∵y与x成正比例，
∴可设函数解析式为$y=kx(k≠0)$，
∵当$x=9$时，$y=16$，
∴将$x=9$，$y=16$代入$y=kx$得：$16=9k$，
解得$k=\frac{16}{9}$，
∴该函数的解析式为$y=\frac{16}{9}x$。
【答案】
$y=\frac{16}{9}x$
【知识点】
正比例函数的定义；待定系数法求解析式
【点评】
本题是函数部分的基础题型，核心考查对正比例函数概念的掌握以及待定系数法的运用，熟练掌握正比例函数的形式和待定系数法的解题步骤即可快速求解。
【难度系数】
0.9
15. 下列函数中 y 是 x 的正比例函数的是 （
A.$y=3x-2$
B.$y=(k+1)x$
C.$y=(|k|+1)x$
D.$y=x^2$
C
）A.$y=3x-2$
B.$y=(k+1)x$
C.$y=(|k|+1)x$
D.$y=x^2$
答案
15.C
解析
【分析】
解题前首先要明确正比例函数的定义：形如$ y=kx $（$ k $为常数，且$ k ≠ 0 $）的函数是正比例函数，满足3个核心要求：①x的次数为1；②函数式中没有常数项；③x的系数不为0。解题时我们逐一对照这3个要求判断每个选项即可，尤其要注意含参数的系数是否恒不为0。
【解析】
首先明确正比例函数的判定标准：形如$ y=kx $（$ k $为常数，$ k ≠ 0 $）的函数为正比例函数，需同时满足：x的次数为1、无常数项、x的系数不为0。
对各选项逐一分析：
选项A：$ y=3x-2 $含有常数项-2，不符合正比例函数要求，属于一次函数，排除；
选项B：$ y=(k+1)x $的系数为$ k+1 $，当$ k=-1 $时系数为0，此时函数不是正比例函数，排除；
选项C：$ y=(|k|+1)x $中，由绝对值的非负性可知$ |k| ≥ 0 $，因此$ |k|+1 ≥ 1 $，系数恒不为0，且x的次数为1、无常数项，完全符合正比例函数定义；
选项D：$ y=x^2 $中x的次数为2，属于二次函数，不符合要求，排除。
【答案】
C
【知识点】
正比例函数的定义；绝对值的非负性；一次函数的概念
【点评】
本题重点考查正比例函数的定义，易错点是容易忽略正比例函数中系数不为0的隐含条件，遇到含参数的系数时，要结合所学性质判断参数的取值范围，确认系数是否恒符合要求。
【难度系数】
0.8
解题前首先要明确正比例函数的定义：形如$ y=kx $（$ k $为常数，且$ k ≠ 0 $）的函数是正比例函数，满足3个核心要求：①x的次数为1；②函数式中没有常数项；③x的系数不为0。解题时我们逐一对照这3个要求判断每个选项即可，尤其要注意含参数的系数是否恒不为0。
【解析】
首先明确正比例函数的判定标准：形如$ y=kx $（$ k $为常数，$ k ≠ 0 $）的函数为正比例函数，需同时满足：x的次数为1、无常数项、x的系数不为0。
对各选项逐一分析：
选项A：$ y=3x-2 $含有常数项-2，不符合正比例函数要求，属于一次函数，排除；
选项B：$ y=(k+1)x $的系数为$ k+1 $，当$ k=-1 $时系数为0，此时函数不是正比例函数，排除；
选项C：$ y=(|k|+1)x $中，由绝对值的非负性可知$ |k| ≥ 0 $，因此$ |k|+1 ≥ 1 $，系数恒不为0，且x的次数为1、无常数项，完全符合正比例函数定义；
选项D：$ y=x^2 $中x的次数为2，属于二次函数，不符合要求，排除。
【答案】
C
【知识点】
正比例函数的定义；绝对值的非负性；一次函数的概念
【点评】
本题重点考查正比例函数的定义，易错点是容易忽略正比例函数中系数不为0的隐含条件，遇到含参数的系数时，要结合所学性质判断参数的取值范围，确认系数是否恒符合要求。
【难度系数】
0.8
16.弹簧原长10 cm，每挂1 kg重物，弹簧伸长0.5 cm，设挂重物的质量为x kg，弹簧总长为y cm，则y与x的函数解析式为 （
A.$y=0.5x - 10$
B.$y=-0.5x + 10$
C.$y=0.5x + 10$
D.$y=0.5x$
C
）A.$y=0.5x - 10$
B.$y=-0.5x + 10$
C.$y=0.5x + 10$
D.$y=0.5x$
答案
16.C
解析
【分析】
解题时首先要明确弹簧总长的组成：弹簧总长=弹簧原长+挂重物后弹簧的伸长量。第一步先计算挂x kg重物时弹簧的伸长量，已知每挂1kg重物伸长0.5cm，因此x kg对应的伸长量为0.5x cm；第二步将原长和伸长量相加，即可得到y与x的函数关系式，再对应选项判断即可。
【解析】
弹簧总长由原长和伸长量两部分组成：
1. 弹簧原长为10 cm；
2. 每挂1 kg重物伸长0.5 cm，挂x kg重物时的伸长量为$0.5x$ cm；
因此总长$y = \mathrm{原长} + \mathrm{伸长量} = 10 + 0.5x$，整理得$y=0.5x+10$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一次函数实际应用
2. 列函数解析式
【点评】
本题是函数在实际生活中的基础应用，解题的核心是理清弹簧总长的构成，区分弹簧伸长量和总长度，避免漏加原长的错误。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确弹簧总长的组成：弹簧总长=弹簧原长+挂重物后弹簧的伸长量。第一步先计算挂x kg重物时弹簧的伸长量，已知每挂1kg重物伸长0.5cm，因此x kg对应的伸长量为0.5x cm；第二步将原长和伸长量相加，即可得到y与x的函数关系式，再对应选项判断即可。
【解析】
弹簧总长由原长和伸长量两部分组成：
1. 弹簧原长为10 cm；
2. 每挂1 kg重物伸长0.5 cm，挂x kg重物时的伸长量为$0.5x$ cm；
因此总长$y = \mathrm{原长} + \mathrm{伸长量} = 10 + 0.5x$，整理得$y=0.5x+10$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一次函数实际应用
2. 列函数解析式
【点评】
本题是函数在实际生活中的基础应用，解题的核心是理清弹簧总长的构成，区分弹簧伸长量和总长度，避免漏加原长的错误。
【难度系数】
0.9
17.若函数$y=(2m+6)x^2+(1-m)x$是正比例函数，则$m$的值是（
A.－3
B.1
C.3
D.－1
A
）A.－3
B.1
C.3
D.－1
答案
17.A
解析
【分析】
要确定m的值，首先需要回忆正比例函数的定义：正比例函数的形式为$y=kx$（$k$为常数，且$k≠0$），即函数中不能存在二次项，且一次项系数不能为0。因此解题思路分为两步：第一步令二次项系数为0，求出m的候选值；第二步将候选值代入一次项系数，验证其是否不为0，满足两个条件的m即为正确答案。
【解析】
根据正比例函数的定义可得：
1. 函数不含二次项，因此二次项系数为0：
$2m + 6 = 0$
解得：$m = -3$
2. 验证一次项系数不为0：
将$m=-3$代入一次项系数$1-m$，得$1 - (-3) = 4≠0$，符合要求。
因此$m$的值为$-3$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
正比例函数的定义；解一元一次方程
【点评】
本题是正比例函数定义的基础应用题型，解题的关键是明确正比例函数需同时满足两个条件：一是最高次项次数为1（即没有更高次的项），二是一次项系数不为0，避免忽略系数限制条件导致出错。
【难度系数】
0.8
要确定m的值，首先需要回忆正比例函数的定义：正比例函数的形式为$y=kx$（$k$为常数，且$k≠0$），即函数中不能存在二次项，且一次项系数不能为0。因此解题思路分为两步：第一步令二次项系数为0，求出m的候选值；第二步将候选值代入一次项系数，验证其是否不为0，满足两个条件的m即为正确答案。
【解析】
根据正比例函数的定义可得：
1. 函数不含二次项，因此二次项系数为0：
$2m + 6 = 0$
解得：$m = -3$
2. 验证一次项系数不为0：
将$m=-3$代入一次项系数$1-m$，得$1 - (-3) = 4≠0$，符合要求。
因此$m$的值为$-3$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
正比例函数的定义；解一元一次方程
【点评】
本题是正比例函数定义的基础应用题型，解题的关键是明确正比例函数需同时满足两个条件：一是最高次项次数为1（即没有更高次的项），二是一次项系数不为0，避免忽略系数限制条件导致出错。
【难度系数】
0.8
18. $y=x^{m^2 -8}$是正比例函数，则$m$的值为 （
A.$\pm 3$
B.$3$
C.$-3$
D.任意实数
A
）A.$\pm 3$
B.$3$
C.$-3$
D.任意实数
答案
18.A
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要回忆正比例函数的定义：正比例函数的一般形式为$y=kx$（$k$是不为0的常数），核心要求是自变量$x$的次数为1，且系数不为0。本题中函数的系数是1，已经满足不为0的条件，所以只需要让$x$的指数等于1，列方程求解$m$的值即可。
【解析】
根据正比例函数的定义：形如$y=kx$（$k$为常数，$k≠0$）的函数为正比例函数，此时自变量$x$的次数为1。
已知$y=x^{m^2 -8}$是正比例函数，因此可得：
$m^2 - 8 = 1$
移项得：$m^2 = 9$
开平方得：$m = \pm3$
此时函数的系数为1，满足$k≠0$的要求，因此$m$的值为$\pm3$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 正比例函数的定义
2. 一元二次方程求解
【点评】
本题属于基础题，重点考查对正比例函数定义的掌握，解题的关键是牢记正比例函数中自变量次数为1、系数不为0的要求，直接列方程求解即可，出错概率较低。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要回忆正比例函数的定义：正比例函数的一般形式为$y=kx$（$k$是不为0的常数），核心要求是自变量$x$的次数为1，且系数不为0。本题中函数的系数是1，已经满足不为0的条件，所以只需要让$x$的指数等于1，列方程求解$m$的值即可。
【解析】
根据正比例函数的定义：形如$y=kx$（$k$为常数，$k≠0$）的函数为正比例函数，此时自变量$x$的次数为1。
已知$y=x^{m^2 -8}$是正比例函数，因此可得：
$m^2 - 8 = 1$
移项得：$m^2 = 9$
开平方得：$m = \pm3$
此时函数的系数为1，满足$k≠0$的要求，因此$m$的值为$\pm3$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 正比例函数的定义
2. 一元二次方程求解
【点评】
本题属于基础题，重点考查对正比例函数定义的掌握，解题的关键是牢记正比例函数中自变量次数为1、系数不为0的要求，直接列方程求解即可，出错概率较低。
【难度系数】
0.8
19.如图中的图象(折线OABCD)描述了一辆汽车在某一条笔直的路上的行驶过程中,汽车离出发地的距离s(单位:km)和行驶时间t(单位:h)之间的函数关系,根据图中提供的信息,给出下列说法:
①该汽车共行驶了120 km;
②该汽车在行驶途中停留了0.5 h;
③该汽车在整个行驶过程中的平均速度为$\frac{80}{3}$ km/h;
④该汽车自出发后3 h至4.5 h之间行驶的速度在逐渐减小.
其中正确的说法共有 (
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
①该汽车共行驶了120 km;
②该汽车在行驶途中停留了0.5 h;
③该汽车在整个行驶过程中的平均速度为$\frac{80}{3}$ km/h;
④该汽车自出发后3 h至4.5 h之间行驶的速度在逐渐减小.
其中正确的说法共有 (
A
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
19.A
解析
【分析】
解题时首先明确s-t图像的含义：横坐标代表行驶时间，纵坐标代表汽车离出发地的距离，水平线段代表汽车静止，倾斜直线代表汽车匀速行驶，斜率的绝对值代表速度大小，斜率正负代表行驶方向。接下来我们逐个分析4个说法的正误：首先计算总行驶路程判断①，再计算停留时长判断②，然后结合平均速度的定义判断③，最后根据CD段的图像特征判断④即可。
【解析】
我们对四个说法逐一分析：
① 汽车最远行驶到离出发地120km的位置，之后返回出发地，总行驶路程为往返路程之和，即$120×2=240\mathrm{km}$，故①错误；
② 1.5h~2h的AB段，汽车离出发地的距离始终为80km，说明处于停留状态，停留时长为$2-1.5=0.5\mathrm{h}$，故②正确；
③ 平均速度等于总位移除以总时间，汽车最终回到出发地，总位移为0，因此平均速度为0；若计算平均速率，总路程240km，总时间4.5h，平均速率为$240÷4.5=\frac{160}{3}\mathrm{km/h}$，均不等于$\frac{80}{3}\mathrm{km/h}$，故③错误；
④ 3h~4.5h的CD段是倾斜直线，s-t图像中倾斜直线代表匀速运动，斜率不变说明速度大小和方向都恒定，是匀速返回出发地的过程，故④错误。
综上，仅②1个说法正确。
【答案】
A
【知识点】
s-t图像分析，平均速度，匀速运动特征
【点评】
本题重点考查对路程时间图像的理解，解题核心是明确图像中不同线段对应的运动状态，要注意区分平均速度和平均速率、路程和位移的概念，避免概念混淆导致判断错误。
【难度系数】
0.6
解题时首先明确s-t图像的含义：横坐标代表行驶时间，纵坐标代表汽车离出发地的距离，水平线段代表汽车静止，倾斜直线代表汽车匀速行驶，斜率的绝对值代表速度大小，斜率正负代表行驶方向。接下来我们逐个分析4个说法的正误：首先计算总行驶路程判断①，再计算停留时长判断②，然后结合平均速度的定义判断③，最后根据CD段的图像特征判断④即可。
【解析】
我们对四个说法逐一分析：
① 汽车最远行驶到离出发地120km的位置，之后返回出发地，总行驶路程为往返路程之和，即$120×2=240\mathrm{km}$，故①错误；
② 1.5h~2h的AB段，汽车离出发地的距离始终为80km，说明处于停留状态，停留时长为$2-1.5=0.5\mathrm{h}$，故②正确；
③ 平均速度等于总位移除以总时间，汽车最终回到出发地，总位移为0，因此平均速度为0；若计算平均速率，总路程240km，总时间4.5h，平均速率为$240÷4.5=\frac{160}{3}\mathrm{km/h}$，均不等于$\frac{80}{3}\mathrm{km/h}$，故③错误；
④ 3h~4.5h的CD段是倾斜直线，s-t图像中倾斜直线代表匀速运动，斜率不变说明速度大小和方向都恒定，是匀速返回出发地的过程，故④错误。
综上，仅②1个说法正确。
【答案】
A
【知识点】
s-t图像分析，平均速度，匀速运动特征
【点评】
本题重点考查对路程时间图像的理解，解题核心是明确图像中不同线段对应的运动状态，要注意区分平均速度和平均速率、路程和位移的概念，避免概念混淆导致判断错误。
【难度系数】
0.6
