一、选择题
1. 下列方程中，是一元二次方程的是()。
A.$x^{2}+2x+y=1$
B.$x^{2}+\frac{1}{x}-1=0$
C.$\sqrt{x^{2}+2x}=1$
D.$\frac{3x^{2}-1}{2}=\frac{x+2}{3}$

1. D

【分析】
要判断一个方程是否为一元二次方程，需紧扣一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程。我们可以根据这三个核心条件，逐一分析每个选项，排除不符合的选项，最终确定正确答案。
【解析】
根据一元二次方程的定义（整式方程、只含一个未知数、未知数最高次数为2），对各选项分析如下：
选项A：方程$x^{2}+2x+y=1$中含有两个未知数$x$和$y$，不符合“只含有一个未知数”的条件，不是一元二次方程；
选项B：方程$x^{2}+\frac{1}{x}-1=0$中含有分式$\frac{1}{x}$，属于分式方程，不是整式方程，因此不是一元二次方程；
选项C：方程$\sqrt{x^{2}+2x}=1$中含有根号，属于无理方程，不是整式方程，因此不是一元二次方程；
选项D：将方程$\frac{3x^{2}-1}{2}=\frac{x+2}{3}$两边同时乘以6去分母，得到$3(3x^2 - 1)=2(x + 2)$，展开整理为$9x^2 - 3 = 2x + 4$，进一步整理为$9x^2 - 2x - 7 = 0$，该方程是只含有一个未知数$x$，且未知数最高次数为2的整式方程，符合一元二次方程的定义。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的定义
【点评】
本题主要考查一元二次方程的定义判断，解题的关键是牢记一元二次方程的三个核心特征：整式方程、单个未知数、最高次数为2。需要注意区分分式方程、无理方程、多元方程与一元二次方程的不同，避免因忽略“整式方程”或“单个未知数”等条件而误判。
【难度系数】
0.8

2. 若关于$x$的方程$(a - 1)x^{2}+\sqrt{a + 1}x + 2 = 0$是一元二次方程，则$a$的取值范围是()。

A.$a≠1$
B.$a≥ - 1$且$a≠1$
C.$a ＞ - 1$且$a≠1$
D.$a≠\pm1$

2. B

要使方程$(a - 1)x^{2}+\sqrt{a + 1}x + 2 = 0$是一元二次方程，需满足：
1. 二次项系数不为$0$，即$a - 1 ≠ 0$，解得$a ≠ 1$；
2. 根号下的数非负，即$a + 1 ≥ 0$，解得$a ≥ -1$。
综上，$a$的取值范围是$a ≥ -1$且$a ≠ 1$。
B

3. 把方程$(x + 1)^{2}-2(x - 1)^{2}=6x - 5$化为一般形式后，二次项系数、一次项系数和常数项依次为()。

A.$1$，$0$，$-4$
B.$1$，$0$，$4$
C.$2$，$1$，$-3$
D.$3$，$-1$，$0$

3. A

$(x + 1)^{2}-2(x - 1)^{2}=6x - 5$
$x^{2}+2x + 1 - 2(x^{2}-2x + 1)=6x - 5$
$x^{2}+2x + 1 - 2x^{2}+4x - 2=6x - 5$
$-x^{2}+6x - 1=6x - 5$
$-x^{2}+4=0$
$x^{2}-4=0$
二次项系数为$1$，一次项系数为$0$，常数项为$-4$。
A

二、填空题
4. 已知方程$(2m - 1)x^{2}+3x - 1 = 0$是关于$x$的一元二次方程，则$m$的取值范围是。

4. $≠ \frac{1}{2}$

$m ≠ \frac{1}{2}$

5. 若实数范围内定义一种运算“$*$”，使$a*b=(a + 1)^{2}-ab$，则方程$(x + 2)*5 = 0$化为一般形式为。

5. $x^{2}+x - 1 = 0$

解：由题意得，$(x + 2)*5 = (x + 2 + 1)^2 - (x + 2)×5$
$=(x + 3)^2 - 5(x + 2)$
$=x^2 + 6x + 9 - 5x - 10$
$=x^2 + x - 1$
因为$(x + 2)*5 = 0$，所以$x^2 + x - 1 = 0$

6. 一个两位数等于它的两个数位上数字的积的$3$倍，十位上的数字比个位上的数字小$2$。设十位上的数字为$x$，则个位上的数字为，这个两位数可表示为，也可表示为，由此得到方程。

6. $x + 2$ $10x + (x + 2)$ $3x(x + 2)$ $10x + (x + 2) = 3x(x + 2)$

【分析】
首先，题目已设十位上的数字为$x$，根据“十位上的数字比个位上的数字小2”，可直接推出个位数字为$x$加2；接着，两位数的标准表示方法是十位数字乘10加上个位数字，代入$x$和$x+2$就能得到该两位数的一种表达式；然后依据“这个两位数等于它的两个数位上数字的积的3倍”，先计算出两个数位数字的积为$x(x+2)$，再乘以3得到该两位数的另一种表达式；最后因为这两种表达式代表同一个两位数，所以可建立等式方程。
【解析】
1. 已知十位上的数字为$x$，且十位数字比个位数字小2，因此个位上的数字为$x + 2$；
2. 根据两位数的表示规则：十位数字$×10 +$个位数字，代入$x$和$x+2$，这个两位数可表示为$10x + (x + 2)$；
3. 由“两位数等于两个数位上数字的积的3倍”，两个数位数字的积为$x(x + 2)$，其3倍为$3x(x + 2)$，所以这个两位数也可表示为$3x(x + 2)$；
4. 由于两种表达式表示的是同一个两位数，由此得到方程$10x + (x + 2) = 3x(x + 2)$。
【答案】
$x + 2$；$10x + (x + 2)$；$3x(x + 2)$；$10x + (x + 2) = 3x(x + 2)$
【知识点】
两位数的表示；列一元二次方程
【点评】
本题核心考查代数式表示两位数及根据等量关系列方程的能力，关键是掌握两位数的正确表示形式，准确将题目中的文字描述转化为数学表达式，理清等量关系是解题的关键。
【难度系数】
0.7

三、解答题
7. 把下列方程化成一元二次方程的一般形式，再分别写出它们的二次项系数、一次项系数及常数项。
(1) $3y^{2}=5y - 4$；
(2) $(x + 1)(3x - 2)=5$；
(3) $2u(u - 1)=3(u + 2)-4$。

(1) 解：
原方程：$3y^{2} = 5y - 4$，
移项得：$3y^{2} - 5y + 4 = 0$，
所以，二次项系数为 $3$，一次项系数为 $-5$，常数项为 $4$。
(2) 解：
原方程：$(x + 1)(3x - 2) = 5$，
展开得：$3x^{2} - 2x + 3x - 2 = 5$，
进一步化简得：$3x^{2} + x - 7 = 0$，
所以，二次项系数为 $3$，一次项系数为 $1$，常数项为 $-7$。
(3) 解：
原方程：$2u(u - 1) = 3(u + 2) - 4$，
展开得：$2u^{2} - 2u = 3u + 6 - 4$，
进一步化简得：$2u^{2} - 5u - 2 = 0$，
所以，二次项系数为 $2$，一次项系数为 $-5$，常数项为 $-2$。

【分析】
要解决这个问题，首先要明确一元二次方程的一般形式是$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$为二次项系数，$b$为一次项系数，$c$为常数项。针对每个方程需按如下思路处理：
1. 对于仅需移项的方程，直接将所有项移至等号左侧，使右侧为0，整理成一般形式；
2. 对于含括号的方程，先利用整式乘法法则展开括号，再通过移项、合并同类项将方程化为一般形式；
3. 最后根据整理好的一般形式，对应写出二次项系数、一次项系数和常数项。
【解析】
(1) 解：
原方程：$3y^{2} = 5y - 4$，
移项，将所有项移到等号左侧，使右侧为0，得：$3y^{2} - 5y + 4 = 0$，
所以，二次项系数为$3$，一次项系数为$-5$，常数项为$4$。
(2) 解：
原方程：$(x + 1)(3x - 2) = 5$，
利用多项式乘多项式法则展开左边得：$3x^2 - 2x + 3x - 2 = 5$，
合并同类项后移项，使右侧为0，得：$3x^{2} + x - 7 = 0$，
所以，二次项系数为$3$，一次项系数为$1$，常数项为$-7$。
(3) 解：
原方程：$2u(u - 1) = 3(u + 2) - 4$，
分别展开左右两边：左边得$2u^2 - 2u$，右边化简得$3u + 6 - 4 = 3u + 2$，即$2u^2 - 2u = 3u + 2$，
移项、合并同类项得：$2u^{2} - 5u - 2 = 0$，
所以，二次项系数为$2$，一次项系数为$-5$，常数项为$-2$。
【答案】
(1) 一般形式：$3y^{2}-5y+4=0$，二次项系数为$3$，一次项系数为$-5$，常数项为$4$；
(2) 一般形式：$3x^{2}+x-7=0$，二次项系数为$3$，一次项系数为$1$，常数项为$-7$；
(3) 一般形式：$2u^{2}-5u-2=0$，二次项系数为$2$，一次项系数为$-5$，常数项为$-2$。
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式；
2. 整式的乘法运算；
3. 移项与合并同类项。
【点评】
本题主要考查一元二次方程一般形式的转化及各项系数的确定，关键是熟练掌握整式乘法法则和移项、合并同类项的方法，注意移项时要变号，确定系数时要包含前面的符号。
【难度系数】
0.8