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8. 已知 $1＜ x＜2$，$x+\frac{1}{x - 1}=7$，求 $\sqrt{x - 1}-\frac{1}{\sqrt{x - 1}}$ 的值.
答案
8. -2
解析
设$ t = \sqrt{x - 1} - \frac{1}{\sqrt{x - 1}} $，则$ t^2 = (\sqrt{x - 1})^2 - 2 · \sqrt{x - 1} · \frac{1}{\sqrt{x - 1}} + ( \frac{1}{\sqrt{x - 1}} )^2 = (x - 1) - 2 + \frac{1}{x - 1} = (x - 1) + \frac{1}{x - 1} - 2 $。
由$ x + \frac{1}{x - 1} = 7 $，得$ (x - 1) + \frac{1}{x - 1} + 1 = 7 $，即$ (x - 1) + \frac{1}{x - 1} = 6 $。
所以$ t^2 = 6 - 2 = 4 $，则$ t = \pm 2 $。
因为$ 1 ＜ x ＜ 2 $，所以$ 0 ＜ x - 1 ＜ 1 $，$ \sqrt{x - 1} ＜ 1 $，$ \frac{1}{\sqrt{x - 1}} ＞ 1 $，故$ \sqrt{x - 1} - \frac{1}{\sqrt{x - 1}} ＜ 0 $，因此$ t = -2 $。
$-2$
由$ x + \frac{1}{x - 1} = 7 $，得$ (x - 1) + \frac{1}{x - 1} + 1 = 7 $，即$ (x - 1) + \frac{1}{x - 1} = 6 $。
所以$ t^2 = 6 - 2 = 4 $，则$ t = \pm 2 $。
因为$ 1 ＜ x ＜ 2 $，所以$ 0 ＜ x - 1 ＜ 1 $，$ \sqrt{x - 1} ＜ 1 $，$ \frac{1}{\sqrt{x - 1}} ＞ 1 $，故$ \sqrt{x - 1} - \frac{1}{\sqrt{x - 1}} ＜ 0 $，因此$ t = -2 $。
$-2$
9. 阅读下列材料：
小明在学习了二次根式后，发现有一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，比如$ 3 + 2\sqrt{2}=(1+\sqrt{2})^{2}.$善于思考的小明进行了以下探索：
设$ a + b\sqrt{2}=(m + n\sqrt{2})^{2} ($其中 m，n，a，b 均为整数).
则有$ a + b\sqrt{2}=m^{2}+2n^{2}+2mn\sqrt{2}.$
$\therefore a = m^{2}+2n^{2}$，b = 2mn.
这样小明就找到了一种把类似$ a + b\sqrt{2} $的式子化为完全平方式的方法.
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1) 当 a，b，m，n 均为正整数时，若$ a + b\sqrt{3}=(m + n\sqrt{3})^{2}$，用含 m，n 的式子分别表示 a，b，得 a =
(2) 利用所探索的结论，找一组正整数 a，b，m，n 填空：
(3) 若$ a + 4\sqrt{3}=(m + n\sqrt{3})^{2}$，且 a，m，n 均为正整数，求 a 的值.
小明在学习了二次根式后，发现有一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，比如$ 3 + 2\sqrt{2}=(1+\sqrt{2})^{2}.$善于思考的小明进行了以下探索：
设$ a + b\sqrt{2}=(m + n\sqrt{2})^{2} ($其中 m，n，a，b 均为整数).
则有$ a + b\sqrt{2}=m^{2}+2n^{2}+2mn\sqrt{2}.$
$\therefore a = m^{2}+2n^{2}$，b = 2mn.
这样小明就找到了一种把类似$ a + b\sqrt{2} $的式子化为完全平方式的方法.
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1) 当 a，b，m，n 均为正整数时，若$ a + b\sqrt{3}=(m + n\sqrt{3})^{2}$，用含 m，n 的式子分别表示 a，b，得 a =
$m^{2} + 3n^{2}$
，b =2mn
；(2) 利用所探索的结论，找一组正整数 a，b，m，n 填空：
13
+4
$\sqrt{3}=( )\_\_\_\_\_\_\sqrt{3})^{2}$；(3) 若$ a + 4\sqrt{3}=(m + n\sqrt{3})^{2}$，且 a，m，n 均为正整数，求 a 的值.
答案
$(1)$
解：
已知$a + b\sqrt{3}=(m + n\sqrt{3})^{2}$，将$(m + n\sqrt{3})^{2}$展开：
$\begin{aligned}(m + n\sqrt{3})^{2}&=m^{2}+2mn\sqrt{3}+3n^{2}\\&=m^{2}+3n^{2}+2mn\sqrt{3}\end{aligned}$
因为$a + b\sqrt{3}=m^{2}+3n^{2}+2mn\sqrt{3}$，所以$a = m^{2}+3n^{2}$，$b = 2mn$。
$(2)$
答案：$13 + 4\sqrt{3}=(1 + 2\sqrt{3})^{2}$（答案不唯一）
当$m = 1$，$n = 2$时：
$a=m^{2}+3n^{2}=1^{2}+3×2^{2}=1 + 12 = 13$
$b = 2mn=2×1×2 = 4$
$(3)$
解：
因为$a + 4\sqrt{3}=(m + n\sqrt{3})^{2}=m^{2}+3n^{2}+2mn\sqrt{3}$，所以$b = 2mn = 4$，即$mn = 2$。
因为$m$，$n$均为正整数，所以有两种情况：
当$m = 1$，$n = 2$时：
$a=m^{2}+3n^{2}=1^{2}+3×2^{2}=1 + 12 = 13$
当$m = 2$，$n = 1$时：
$a=m^{2}+3n^{2}=2^{2}+3×1^{2}=4 + 3 = 7$
综上，$a$的值为$13$或$7$。
解：
已知$a + b\sqrt{3}=(m + n\sqrt{3})^{2}$，将$(m + n\sqrt{3})^{2}$展开：
$\begin{aligned}(m + n\sqrt{3})^{2}&=m^{2}+2mn\sqrt{3}+3n^{2}\\&=m^{2}+3n^{2}+2mn\sqrt{3}\end{aligned}$
因为$a + b\sqrt{3}=m^{2}+3n^{2}+2mn\sqrt{3}$，所以$a = m^{2}+3n^{2}$，$b = 2mn$。
$(2)$
答案：$13 + 4\sqrt{3}=(1 + 2\sqrt{3})^{2}$（答案不唯一）
当$m = 1$，$n = 2$时：
$a=m^{2}+3n^{2}=1^{2}+3×2^{2}=1 + 12 = 13$
$b = 2mn=2×1×2 = 4$
$(3)$
解：
因为$a + 4\sqrt{3}=(m + n\sqrt{3})^{2}=m^{2}+3n^{2}+2mn\sqrt{3}$，所以$b = 2mn = 4$，即$mn = 2$。
因为$m$，$n$均为正整数，所以有两种情况：
当$m = 1$，$n = 2$时：
$a=m^{2}+3n^{2}=1^{2}+3×2^{2}=1 + 12 = 13$
当$m = 2$，$n = 1$时：
$a=m^{2}+3n^{2}=2^{2}+3×1^{2}=4 + 3 = 7$
综上，$a$的值为$13$或$7$。
解析
(1) $m^{2} + 3n^{2}$；$2mn$
(2) 13；4；1；2（答案不唯一）
(3) 由题意得：$b = 2mn = 4$，则 $mn = 2$。
因为 $m$，$n$ 均为正整数，所以 $\begin{cases}m=1\=2\end{cases}$ 或 $\begin{cases}m=2\=1\end{cases}$。
当 $m=1$，$n=2$ 时，$a = m^{2} + 3n^{2} = 1 + 3×4 = 13$；
当 $m=2$，$n=1$ 时，$a = m^{2} + 3n^{2} = 4 + 3×1 = 7$。
故 $a$ 的值为 7 或 13。
(2) 13；4；1；2（答案不唯一）
(3) 由题意得：$b = 2mn = 4$，则 $mn = 2$。
因为 $m$，$n$ 均为正整数，所以 $\begin{cases}m=1\=2\end{cases}$ 或 $\begin{cases}m=2\=1\end{cases}$。
当 $m=1$，$n=2$ 时，$a = m^{2} + 3n^{2} = 1 + 3×4 = 13$；
当 $m=2$，$n=1$ 时，$a = m^{2} + 3n^{2} = 4 + 3×1 = 7$。
故 $a$ 的值为 7 或 13。
