8. 如图,在矩形$ABCD$中,$AB=2$,$AD=4$,点$P$在$AD$边上,是不与$A,D$重合的点,过点$P$分别作$AC$和$BD$的垂线,垂足分别为$E,F$,求$PE+PF$的值.

8. $\dfrac{4\sqrt{5}}{5}$

1.矩形的定义:有是直角的
叫矩形.矩形是在的前提
下定义的,所以矩形是特殊的,特
殊之处就是,因此,矩形的定义是
矩形最重要最基本的判定方法.

1. 矩形的定义：有（一个角）是直角的（平行四边形）叫矩形．矩形是在（平行四边形）的前提下定义的，所以矩形是特殊的（平行四边形），特殊之处就是（有一个角等于直角），因此，矩形的定义是矩形最重要最基本的判定方法．

2.甲、乙、丙三位同学到木工厂参观时，
一木工师傅要他们利用自己所学的几何知识
帮忙检测一个窗框ABCD是不是矩形.
(1)甲同学先用刻度尺量得AB=CD,
AD=BC,然后又用量角器量得其中一个内角
∠DAB=90°,因此判断四边形ABCD是矩形;
(2)乙同学认为甲的判断方法太复杂，
他只用量角器量得这个四边形的三个内角
∠DAB,∠ABC,∠BCD都是90°,就判断这个
四边形是矩形;
(3)丙同学想了一下，
他决定用与甲、乙不同的

方法来判断.他先用刻度
尺量得AB=CD,AD=BC,然后又量得这个四
边形的两条对角线AC=BD,他就判断这个
四边形是矩形.
请你利用矩形的定义来分别说明.

（1）∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形。又∵∠DAB=90°，根据矩形定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形，∴四边形ABCD是矩形。
（2）∵∠DAB=∠ABC=∠BCD=90°，∴∠DAB+∠ABC=180°，∠ABC+∠BCD=180°，∴AD//BC，AB//CD，∴四边形ABCD是平行四边形。又∵∠DAB=90°，根据矩形定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形，∴四边形ABCD是矩形。
（3）∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形。又∵AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）。根据矩形定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形，可推得此平行四边形有一个角为直角，故四边形ABCD是矩形。