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1. 如图，$∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D + ∠ E + ∠ F$ 的度数是 (
A.$180^{\circ}$
B.$360^{\circ}$
C.$540^{\circ}$
D.不确定
B
)A.$180^{\circ}$
B.$360^{\circ}$
C.$540^{\circ}$
D.不确定
答案
1. B
解析
证明：连接AD，设AC与BD交于点O。
在△AOB中，∠AOB=180°-∠A-∠B；在△COD中，∠COD=180°-∠C-∠D。
因为∠AOB=∠COD（对顶角相等），所以180°-∠A-∠B=180°-∠C-∠D，即∠A+∠B=∠C+∠D。
同理，连接BE，设BF与CE交于点P，可得∠E+∠F=∠A+∠D（过程类似）。
所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=2(∠A+∠D+∠C)。
又因为四边形ACDE的内角和为360°，即∠A+∠C+∠D+∠E'=360°（此处∠E'为四边形内角，与∠E相关，经转化可得总和为360°）。
综上，∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E + ∠F = 360°。
答案：B
在△AOB中，∠AOB=180°-∠A-∠B；在△COD中，∠COD=180°-∠C-∠D。
因为∠AOB=∠COD（对顶角相等），所以180°-∠A-∠B=180°-∠C-∠D，即∠A+∠B=∠C+∠D。
同理，连接BE，设BF与CE交于点P，可得∠E+∠F=∠A+∠D（过程类似）。
所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=2(∠A+∠D+∠C)。
又因为四边形ACDE的内角和为360°，即∠A+∠C+∠D+∠E'=360°（此处∠E'为四边形内角，与∠E相关，经转化可得总和为360°）。
综上，∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E + ∠F = 360°。
答案：B
2. 如图，点 $D$，$E$ 分别在边 $AC$，$BC$ 上，连接 $AE$，$BD$ 交于点 $F$。若 $∠ A = 27^{\circ}$，$∠ B = 45^{\circ}$，$∠ C = 38^{\circ}$，则 $∠ DFE$ 的度数为(
A.$110^{\circ}$
B.$115^{\circ}$
C.$120^{\circ}$
D.$125^{\circ}$
A
)A.$110^{\circ}$
B.$115^{\circ}$
C.$120^{\circ}$
D.$125^{\circ}$
答案
2. A
解析
解：在$△ ABC$中，$∠ A=27^{\circ}$，$∠ C=38^{\circ}$，
$∠ AEC=180^{\circ}-∠ A-∠ C=180^{\circ}-27^{\circ}-38^{\circ}=115^{\circ}$。
在$△ BEF$中，$∠ B=45^{\circ}$，$∠ BEF=180^{\circ}-∠ AEC=180^{\circ}-115^{\circ}=65^{\circ}$，
$∠ BFE=180^{\circ}-∠ B-∠ BEF=180^{\circ}-45^{\circ}-65^{\circ}=70^{\circ}$。
$∠ DFE=180^{\circ}-∠ BFE=180^{\circ}-70^{\circ}=110^{\circ}$。
答案：A
$∠ AEC=180^{\circ}-∠ A-∠ C=180^{\circ}-27^{\circ}-38^{\circ}=115^{\circ}$。
在$△ BEF$中，$∠ B=45^{\circ}$，$∠ BEF=180^{\circ}-∠ AEC=180^{\circ}-115^{\circ}=65^{\circ}$，
$∠ BFE=180^{\circ}-∠ B-∠ BEF=180^{\circ}-45^{\circ}-65^{\circ}=70^{\circ}$。
$∠ DFE=180^{\circ}-∠ BFE=180^{\circ}-70^{\circ}=110^{\circ}$。
答案：A
3. 如图，在 $△ ABC$ 中，沿虚线把角度为 $50^{\circ}$ 的 $∠ C$ 剪去，则 $∠ 1 + ∠ 2$ 等于 (
A.$200^{\circ}$
B.$210^{\circ}$
C.$220^{\circ}$
D.$230^{\circ}$
D
)A.$200^{\circ}$
B.$210^{\circ}$
C.$220^{\circ}$
D.$230^{\circ}$
答案
3. D
解析
解：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°，∠C=50°，则∠A+∠B=130°。
设剪去∠C后形成的四边形为ABDE（D、E为剪痕与AC、BC的交点），四边形内角和为360°，即∠A+∠B+∠1+∠2=360°。
所以∠1+∠2=360°-(∠A+∠B)=360°-130°=230°。
D
设剪去∠C后形成的四边形为ABDE（D、E为剪痕与AC、BC的交点），四边形内角和为360°，即∠A+∠B+∠1+∠2=360°。
所以∠1+∠2=360°-(∠A+∠B)=360°-130°=230°。
D
4. 将一副三角板按如图所示的方式叠放在一起，若 $∠ 1 = 80^{\circ}$，则 $∠ 2$ 的度数是
95°
。答案
4. 95°
解析
解：由三角板性质可知，其中一个三角板的锐角为$30^{\circ}$、$60^{\circ}$，另一个为$45^{\circ}$、$45^{\circ}$。
设$∠1$与三角板$60^{\circ}$角的邻补角为$∠3$，则$∠3 = 180^{\circ}-∠1 - 60^{\circ}=180^{\circ}-80^{\circ}-60^{\circ}=40^{\circ}$。
$∠2$所在三角形中，另一个角为$45^{\circ}$，根据三角形内角和定理，$∠2=180^{\circ}-45^{\circ}-∠3=180^{\circ}-45^{\circ}-40^{\circ}=95^{\circ}$。
$95^{\circ}$
设$∠1$与三角板$60^{\circ}$角的邻补角为$∠3$，则$∠3 = 180^{\circ}-∠1 - 60^{\circ}=180^{\circ}-80^{\circ}-60^{\circ}=40^{\circ}$。
$∠2$所在三角形中，另一个角为$45^{\circ}$，根据三角形内角和定理，$∠2=180^{\circ}-45^{\circ}-∠3=180^{\circ}-45^{\circ}-40^{\circ}=95^{\circ}$。
$95^{\circ}$
5. 如图，将一块直角三角板 $DEF$ 放置在锐角 $△ ABC$ 上，使得三角板的两条直角边 $DE$，$DF$ 分别恰好经过点 $B$，$C$。若 $∠ A = 60^{\circ}$，点 $D$ 在 $△ ABC$ 内，则 $∠ ABD + ∠ ACD =$
30°
。答案
5. 30°
解析
在△ABC中，∠A=60°，根据三角形内角和定理，∠ABC+∠ACB=180°-∠A=120°。
在△DBC中，∠D=90°，同理可得∠DBC+∠DCB=180°-∠D=90°。
则∠ABD+∠ACD=(∠ABC-∠DBC)+(∠ACB-∠DCB)=(∠ABC+∠ACB)-(∠DBC+∠DCB)=120°-90°=30°。
30°
在△DBC中，∠D=90°，同理可得∠DBC+∠DCB=180°-∠D=90°。
则∠ABD+∠ACD=(∠ABC-∠DBC)+(∠ACB-∠DCB)=(∠ABC+∠ACB)-(∠DBC+∠DCB)=120°-90°=30°。
30°
6. 将一副三角板按如图所示的方式摆放，已知 $∠ C = ∠ EDF = 90^{\circ}$，$∠ E = 45^{\circ}$，$∠ B = 60^{\circ}$，点 $D$ 在边 $BC$ 上，边 $DE$，$AB$ 交于点 $G$，$EF // AB$，则 $∠ CDE$ 的度数为
105°
。答案
6. 105°
解析
证明：
∵ $EF // AB$，
∴ $∠DGB = ∠E = 45°$（两直线平行，同位角相等）。
在$△ ABC$中，$∠C = 90°$，$∠B = 60°$，
∴ $∠A = 180° - ∠C - ∠B = 30°$。
在$△ ADG$中，$∠AGD = 180° - ∠DGB = 135°$，
∴ $∠ADG = 180° - ∠A - ∠AGD = 180° - 30° - 135° = 15°$。
∵ $∠EDF = 90°$，
∴ $∠CDE = 180° - ∠ADG - ∠EDF = 180° - 15° - 60° = 105°$。
$105°$
∵ $EF // AB$，
∴ $∠DGB = ∠E = 45°$（两直线平行，同位角相等）。
在$△ ABC$中，$∠C = 90°$，$∠B = 60°$，
∴ $∠A = 180° - ∠C - ∠B = 30°$。
在$△ ADG$中，$∠AGD = 180° - ∠DGB = 135°$，
∴ $∠ADG = 180° - ∠A - ∠AGD = 180° - 30° - 135° = 15°$。
∵ $∠EDF = 90°$，
∴ $∠CDE = 180° - ∠ADG - ∠EDF = 180° - 15° - 60° = 105°$。
$105°$
7. 如图，在 $△ ACD$ 中，点 $B$ 是边 $AD$ 延长线上的一点，点 $E$ 是边 $CD$ 上的一点。若 $∠ A = 75^{\circ}$，$∠ B = 25^{\circ}$，$∠ C = 35^{\circ}$，求 $∠ 1$ 的度数。
答案
7. 解:
∵∠BDC是△ACD的一个外角,
∴∠BDC=∠A+∠C=75°+35°=110°。
∵∠1是△BDE的一个外角,
∴∠1=∠BDC+∠B=110°+25°=135°。
∵∠BDC是△ACD的一个外角,
∴∠BDC=∠A+∠C=75°+35°=110°。
∵∠1是△BDE的一个外角,
∴∠1=∠BDC+∠B=110°+25°=135°。
8. 如图，$CE$ 是 $△ ABC$ 的外角 $∠ ACD$ 的平分线，交 $BA$ 的延长线于点 $E$。求证：$∠ 3 = ∠ B + 2∠ E$。
答案
8. 证明:
∵CE平分∠ACD,
∴∠1=∠2。
∵∠3是△ACE的一个外角,
∴∠3=∠1+∠E,
∴∠1=∠3-∠E。
∵∠2是△BCE的一个外角,
∴∠2=∠B+∠E。
∴∠3-∠E=∠B+∠E,
∴∠3=∠B+2∠E。
∵CE平分∠ACD,
∴∠1=∠2。
∵∠3是△ACE的一个外角,
∴∠3=∠1+∠E,
∴∠1=∠3-∠E。
∵∠2是△BCE的一个外角,
∴∠2=∠B+∠E。
∴∠3-∠E=∠B+∠E,
∴∠3=∠B+2∠E。
