9. 在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的 $2$ 倍，那么我们称这两个内角互为“开心角”，这个三角形叫作“开心三角形”。例如，在 $△ ABC$ 中，若 $∠ A = 70^{\circ}$，$∠ B = 35^{\circ}$，则 $∠ A$ 与 $∠ B$ 互为“开心角”，$△ ABC$ 为“开心三角形”。
(1) 若 $△ ABC$ 为“开心三角形”，$∠ A = 132^{\circ}$，则这个三角形中最小内角的度数为 ；
(2) 若 $△ ABC$ 为“开心三角形”，$∠ A = 60^{\circ}$，则这个三角形中最小内角的度数为 ；
(3) 如图，在 $△ ABC$ 中，$AD$ 平分 $∠ BAC$，交边 $BC$ 于点 $E$，$CD$ 平分 $△ ABC$ 的外角 $∠ BCF$，分别延长 $BA$ 和 $DC$，交于点 $P$。已知 $∠ P = 30^{\circ}$，在“开心三角形”$ABE$ 中，$∠ B$ 与 $∠ BAE$ 互为“开心角”。设 $∠ B = α$，求 $α$ 的值。

9. 解:(1)设最小角为α。
∵△ABC为“开心三角形”,∠A=132°,
∴α+2α=180°-132°=48°,
∴α=16°。
(2)当∠A是“开心角”时,最小角为30°;
当∠A不是“开心角”时,设最小角为α,
则α+2α=180°-60°=120°,
∴α=40°。
(3)
∵AD平分∠BAC,CD平分∠BCF,
∴∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC,∠FCD=$\frac{1}{2}$∠BCF。
∵∠FCB=∠B+∠BAC,
∴$\frac{1}{2}$∠FCB=$\frac{1}{2}$∠B+$\frac{1}{2}$∠BAC,
即∠FCD=$\frac{1}{2}$∠B+∠CAD。
又
∵∠FCD=∠D+∠CAD,
∴∠D=$\frac{1}{2}$∠B=$\frac{1}{2}$α。
∵∠P=30°,
∴∠BAE=∠D+∠P=$\frac{1}{2}$α+30°。
∵∠B与∠BAE互为“开心角”,
∴2∠B=∠BAE或2∠BAE=∠B,
∴2α=$\frac{1}{2}$α+30°或α=2($\frac{1}{2}$α+30°),
解得α=20°(第2个方程无解)。

10. 在 $△ ABC$ 中，$∠ BAC$ 与 $∠ ABC$ 的平分线相交于点 $P$。
(1) 如图 (1)，若 $∠ C = 90^{\circ}$，$∠ BAC = 30^{\circ}$，求 $∠ APB$ 的度数。
(2) 如 (2)，设 $∠ C = α$，求 $∠ APB$ 的度数(用含 $α$ 的代数式表示)。
(3) 如图 (3)，作 $△ ABC$ 的外角 $∠ CBM$ 的平分线，交 $AP$ 的延长线于点 $D$。
① 试探究 $∠ D$，$∠ C$ 之间的数量关系；
② 在 $△ BPD$ 中，已知一个内角等于另一个内角的 $4$ 倍，请直接写出 $∠ C$ 的度数。

10. 解:(1)在△ABC中,
∵∠C=90°,∠BAC=30°,
∴∠ABC=60°。
∵点P是∠ABC和∠BAC的平分线的交点,
∴∠PAB=$\frac{1}{2}$∠BAC=15°,∠PBA=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°
∴∠APB=180°-∠PAB-∠PBA=135°。
(2)
∵∠C=α,
∴∠ABC+∠BAC=180°-α。
∵点P是∠ABC和∠BAC的平分线的交点,
∴∠PAB=$\frac{1}{2}$∠BAC,∠PBA=$\frac{1}{2}$∠ABC。
∴∠PAB+∠PBA=$\frac{1}{2}$(180°-α)=90°-$\frac{1}{2}$α。
∴∠APB=180°-(∠PAB+∠PBA)
=180°-(90°-$\frac{1}{2}$α)
=90°+$\frac{1}{2}$α。
(3)①
∵BD是∠CBM的平分线,
∴∠CBM=2∠DBM。
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAC=2∠DAB。
∵∠DBM=∠DAB+∠D,
∴2∠DBM=2∠DAB+2∠D,
即∠CBM=∠BAC+2∠D。
又
∵∠CBM=∠BAC+∠C,
∴∠C=2∠D,即∠D=$\frac{1}{2}$∠C。
②
∵BP平分∠ABC,BD平分∠CBM,
∴∠PBC=$\frac{1}{2}$∠ABC,∠CBD=$\frac{1}{2}$∠CBM。
∴∠PBD=∠PBC+∠CBD
=$\frac{1}{2}$∠ABC+$\frac{1}{2}$∠CBM
=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠CBM)
=$\frac{1}{2}$×180°=90°。
在△BPD中,一个内角等于另一个内角的4倍,
分以下四种情况:
(Ⅰ)∠PBD=4∠D=90°,
则∠D=22.5°,
∴∠C=2∠D=45°;
(Ⅱ)∠PBD=4∠DPB=90°,
则∠DPB=22.5°,
∴∠D=67.5°。
∴∠C=2∠D=135°;
(Ⅲ)∠DPB=4∠D,
∵∠DPB+∠D=90°,
∴∠D=18°。
∴∠C=2∠D=36°;
(Ⅳ)∠D=4∠DPB,
∵∠DPB+∠D=90°,
∴∠D=72°。
∴∠C=2∠D=144°。
综上所述,∠C的度数是45°或135°或36°或144°。