1. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是()

A.对角线互相平分
B.对角线相等
C.四个角都相等
D.对角线互相垂直

1.D

2. 下列条件中，能使菱形 $ABCD$ 成为正方形的是()

A.$AB⊥ BC$
B.$AB = AD$
C.$AC⊥ BD$
D.$AC$ 平分 $∠ BAD$

2.A

3. 如图，四边形 $ABCD$ 是正方形，延长 $AB$ 到点 $E$，使 $AE = AC$，连接 $CE$，则 $∠ BCE$ 的度数是()

A.$20^{\circ}$
B.$22.5^{\circ}$
C.$40^{\circ}$
D.$67.5^{\circ}$

3.B

解：
∵四边形$ABCD$是正方形，
∴$∠ ABC=90°$，$∠ BAC=45°$（正方形对角线平分内角）。
∵$AE=AC$，
∴$△ ACE$是等腰三角形，$∠ ACE=∠ AEC$。
在$△ ACE$中，$∠ CAE=45°$，
∴$∠ ACE=\frac{180° - 45°}{2}=67.5°$。
∵$∠ ACB=45°$（正方形对角线平分内角），
∴$∠ BCE=∠ ACE - ∠ ACB=67.5° - 45°=22.5°$。
答案：B

4. 如图，$P$ 是正方形 $ABCD$ 内位于对角线 $AC$ 下方的一点，$∠ 1=∠ 2$，则 $∠ BPC$ 的度数为.

4. $ 135^{\circ} $

5. 如图，直线 $l$ 过正方形 $ABCD$ 的顶点 $A$，$BE⊥ l$ 于点 $E$，$DF⊥ l$ 于点 $F$.若 $BE = 2$，$DF = 4$，则 $EF$ 的长为.

5.6

证明：
∵ 四边形 $ABCD$ 是正方形，
∴ $AB = AD$，$∠ DAB = 90°$。
∵ $BE ⊥ l$，$DF ⊥ l$，
∴ $∠ AFD = ∠ BEA = 90°$，$∠ DAF + ∠ ADF = 90°$。
∵ $∠ DAF + ∠ BAE = 180° - ∠ DAB = 90°$，
∴ $∠ ADF = ∠ BAE$。
在 $△ ADF$ 和 $△ BAE$ 中，
$\begin{cases}∠ AFD = ∠ BEA \\∠ ADF = ∠ BAE \\AD = BA\end{cases}$
∴ $△ ADF ≌ △ BAE$（AAS）。
∴ $AF = BE = 2$，$AE = DF = 4$。
∴ $EF = AF + AE = 2 + 4 = 6$。
6

6. （2025·泗洪一模）如图，正方形 $ABCD$ 的边长为 $1$，点 $E$ 在 $AB$ 的延长线上，且 $BE=\sqrt{2}$，连接 $DE$.求 $∠ E$ 的度数.

6.如图，连接 $ BD $. $ \because $ 四边形 $ ABCD $ 是边长为 1 的正方形，$ \therefore ∠ A = 90^{\circ} $，$ AD = AB = 1 $. $ \therefore BD = \sqrt{AD^{2} + AB^{2}} = \sqrt{2} $. $ \because BE = \sqrt{2} $，$ \therefore BD = BE $. $ \therefore ∠ E = ∠ BDE $. $ \because $ 正方形 $ ABCD $ 的边长为 1，点 $ E $ 在 $ AB $ 的延长线上，$ \therefore ∠ DBC = 45^{\circ} $，$ ∠ CBE = 90^{\circ} $. $ \therefore ∠ DBE = ∠ DBC + ∠ CBE = 135^{\circ} $. $ \therefore ∠ E = ∠ BDE = \frac{1}{2} × (180^{\circ} - ∠ DBE) = 22.5^{\circ} $
　　　　　　　

7. 如图，一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形：a. 两组对边分别相等；b. 一组对边平行且相等；c. 一组邻边相等；d. 一个角是直角.给出下列顺次添加的条件：① $a\to c\to d$；② $b\to d\to c$；③ $a\to b\to c$.其中，正确的是()


A.仅①
B.仅③
C.①②
D.②③

7.C

① $a\to c\to d$：
条件a（两组对边分别相等）判定为平行四边形；
条件c（一组邻边相等）得菱形；
条件d（一个角是直角）得正方形。正确。
② $b\to d\to c$：
条件b（一组对边平行且相等）判定为平行四边形；
条件d（一个角是直角）得矩形；
条件c（一组邻边相等）得正方形。正确。
③ $a\to b\to c$：
条件a（两组对边分别相等）判定为平行四边形；
条件b（一组对边平行且相等）仍为平行四边形；
条件c（一组邻边相等）得菱形，非正方形。错误。
正确的是①②。
C