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7. 把一张矩形纸片按如图所示的方法对折两次，然后剪下三角形纸片并展开，得到的图形一定是
菱形
(填写一个特殊的平行四边形).答案
7.菱形
8. 如图，在▱ABCD中，BC的垂直平分线EO交AD于点E，交BC于点O，连接BE，CE，过点C作$ CF // BE $，交EO的延长线于点F，连接BF.若$ AD = 8 $，$ CE = 5 $，则四边形BFCE的面积为
24
.答案
8.24 解析:由平行四边形的性质，得 $ BC = AD = 8 $。
∵ $ EF $ 垂直平分 $ BC $，
∴ $ EF ⊥ BC $，$ O C = O B = \frac { 1 } { 2 } B C = 4 $。
∴ 在 $ \mathrm { Rt } △ E O C $ 中，由勾股定理，得 $ O E = 3 $。证 $ △ O C F ≌ △ O B E $，得 $ O E = O F = 3 $，由此可说明四边形 $ BFCE $ 为菱形，
∴ $ S _ { \mathrm{ 四边形 } B F C E } = \frac { 1 } { 2 } B C · E F = 24 $。
∵ $ EF $ 垂直平分 $ BC $，
∴ $ EF ⊥ BC $，$ O C = O B = \frac { 1 } { 2 } B C = 4 $。
∴ 在 $ \mathrm { Rt } △ E O C $ 中，由勾股定理，得 $ O E = 3 $。证 $ △ O C F ≌ △ O B E $，得 $ O E = O F = 3 $，由此可说明四边形 $ BFCE $ 为菱形，
∴ $ S _ { \mathrm{ 四边形 } B F C E } = \frac { 1 } { 2 } B C · E F = 24 $。
9. (2025·沭阳期中)如图，在▱ABCD中，点B与原点O重合，点C落在x轴正半轴上，在AD上截取$ AF = AB $，分别以点B，F为圆心，大于$ \frac{1}{2}BF $的长为半径画弧，两弧交于点P，射线AP交BC于点E.若$ AB = 5 $，$ BF = 6 $，则AE的长为
8
.答案
9.8 解析:如图，连接 $ EF $，设 $ AD $ 交 $ y $ 轴于点 $ H $，$ AE $，$ BF $ 交于点 $ G $。
∵ 四边形 $ ABCD $ 是平行四边形，
∴ $ AD // BC $。
∴ $ AF // BE $，$ ∠ F A E = ∠ B E A $。由作图可知，$ AE $ 平分 $ ∠ B A F $，
∴ $ ∠ B A E = ∠ F A E $。
∴ $ ∠ B A E = ∠ A E B $。
∴ $ A B = B E $。
∵ $ A F = A B $，
∴ $ A F = B E $。又
∵ $ A F // B E $，$ A B = B E $，
∴ 四边形 $ AFEB $ 为菱形。
∴ $ A E ⊥ B F $，$ B G = \frac { 1 } { 2 } B F = 3 $，$ E G = \frac { 1 } { 2 } A E $。在 $ \mathrm { Rt } △ B G E $ 中，由勾股定理，得 $ E G = \sqrt { B E ^ { 2 } - B G ^ { 2 } } = 4 $，
∴ $ A E = 2 E G = 8 $。
10. 如图，在四边形ABCD中，$ AD // BC $，对角线BD的垂直平分线分别交AD，BC，BD于点M，N，O，连接BM，DN.
(1) 求证：四边形BNDM是菱形；
(2) 若$ BD = 24 $，$ MN = 10 $，求菱形BNDM的周长.
(1) 求证：四边形BNDM是菱形；
(2) 若$ BD = 24 $，$ MN = 10 $，求菱形BNDM的周长.
答案
10.(1)
∵ $ A D // B C $，
∴ $ ∠ D M O = ∠ B N O $。
∵ $ M N $ 是对角线 $ B D $ 的垂直平分线，
∴ $ O D = O B $，$ M N ⊥ B D $。在 $ △ M O D $ 和 $ △ N O B $ 中，$ \{ \begin{array} { l } { ∠ D M O = ∠ B N O , } \\ { ∠ M O D = ∠ N O B , } \\ { O D = O B , } \end{array} $
∴ $ △ M O D ≌ △ N O B $。
∴ $ O M = O N $。
∵ $ O D = O B $，
∴ 四边形 $ B N D M $ 是平行四边形。
∵ $ M N ⊥ B D $，
∴ 四边形 $ B N D M $ 是菱形
(2)
∵ 四边形 $ B N D M $ 是菱形，$ B D = 24 $，$ M N = 10 $，
∴ $ B M = B N = D M = D N $，$ O B = \frac { 1 } { 2 } B D = 12 $，$ O M = \frac { 1 } { 2 } M N = 5 $。
∵ $ M N ⊥ B D $，
∴ $ ∠ B O M = 90 ^ { \circ } $。在 $ \mathrm { Rt } △ B O M $ 中，由勾股定理，得 $ B M = \sqrt { O M ^ { 2 } + O B ^ { 2 } } = \sqrt { 5 ^ { 2 } + 12 ^ { 2 } } = 13 $。
∴ 菱形 $ B N D M $ 的周长 $ = 4 B M = 4 × 13 = 52 $
∵ $ A D // B C $，
∴ $ ∠ D M O = ∠ B N O $。
∵ $ M N $ 是对角线 $ B D $ 的垂直平分线，
∴ $ O D = O B $，$ M N ⊥ B D $。在 $ △ M O D $ 和 $ △ N O B $ 中，$ \{ \begin{array} { l } { ∠ D M O = ∠ B N O , } \\ { ∠ M O D = ∠ N O B , } \\ { O D = O B , } \end{array} $
∴ $ △ M O D ≌ △ N O B $。
∴ $ O M = O N $。
∵ $ O D = O B $，
∴ 四边形 $ B N D M $ 是平行四边形。
∵ $ M N ⊥ B D $，
∴ 四边形 $ B N D M $ 是菱形
(2)
∵ 四边形 $ B N D M $ 是菱形，$ B D = 24 $，$ M N = 10 $，
∴ $ B M = B N = D M = D N $，$ O B = \frac { 1 } { 2 } B D = 12 $，$ O M = \frac { 1 } { 2 } M N = 5 $。
∵ $ M N ⊥ B D $，
∴ $ ∠ B O M = 90 ^ { \circ } $。在 $ \mathrm { Rt } △ B O M $ 中，由勾股定理，得 $ B M = \sqrt { O M ^ { 2 } + O B ^ { 2 } } = \sqrt { 5 ^ { 2 } + 12 ^ { 2 } } = 13 $。
∴ 菱形 $ B N D M $ 的周长 $ = 4 B M = 4 × 13 = 52 $
11. (2025·泗洪期中)如图，在四边形ABCD中，$ AB = AD $，PE，PF分别垂直平分边BC，CD，连接PA，PB，PC，PD，延长AP交BC于点H，延长CP交AB于点G，若$ AD // BP $，$ CG ⊥ AB $.
(1) 判断四边形ABPD的形状，并加以证明；
(2) 求$ ∠ AHB $的度数.
(1) 判断四边形ABPD的形状，并加以证明；
(2) 求$ ∠ AHB $的度数.
答案
11.(1)四边形 $ A B P D $ 是菱形
∵ $ P E $，$ P F $ 分别垂直平分边 $ B C $，$ C D $，
∴ $ P B = P C $，$ P C = P D $。
∴ $ P B = P D $。在 $ △ A B P $ 和 $ △ A D P $ 中，$ \{ \begin{array} { l } { A B = A D , } \\ { P B = P D , } \\ { A P = A P , } \end{array} $
∴ $ △ A B P ≌ △ A D P $。
∴ $ ∠ B A P = ∠ D A P $。
∵ $ A D // B P $，
∴ $ ∠ D A P = ∠ A P B $。
∴ $ ∠ B A P = ∠ A P B $。
∴ $ A B = B P $。
∴ $ A B = B P = P D = A D $。
∴ 四边形 $ A B P D $ 是菱形
(2)设 $ ∠ C P H = α $，$ ∠ P C B = β $，
∴ $ ∠ A P G = ∠ C P H = α $。
∵ $ P E $ 垂直平分 $ B C $，
∴ $ ∠ P B C = ∠ P C B = β $。
∴ $ ∠ G P B = ∠ P B C + ∠ P C B = 2 β $。
∴ $ ∠ A P B = ∠ A P G + ∠ G P B = α + 2 β $。
∴ $ ∠ A P D = ∠ A P B = α + 2 β $。
∴ $ ∠ G P D = ∠ A P G + ∠ A P D = 2 α + 2 β $。
∵ 四边形 $ A B P D $ 是菱形，
∴ $ A B // P D $。又 $ C G ⊥ A B $，
∴ $ ∠ G P D = 90 ^ { \circ } $。
∴ $ 2 α + 2 β = 90 ^ { \circ } $。
∴ $ α + β = 45 ^ { \circ } $。
∵ $ ∠ A H B = α + β $，
∴ $ ∠ A H B = 45 ^ { \circ } $
∵ $ P E $，$ P F $ 分别垂直平分边 $ B C $，$ C D $，
∴ $ P B = P C $，$ P C = P D $。
∴ $ P B = P D $。在 $ △ A B P $ 和 $ △ A D P $ 中，$ \{ \begin{array} { l } { A B = A D , } \\ { P B = P D , } \\ { A P = A P , } \end{array} $
∴ $ △ A B P ≌ △ A D P $。
∴ $ ∠ B A P = ∠ D A P $。
∵ $ A D // B P $，
∴ $ ∠ D A P = ∠ A P B $。
∴ $ ∠ B A P = ∠ A P B $。
∴ $ A B = B P $。
∴ $ A B = B P = P D = A D $。
∴ 四边形 $ A B P D $ 是菱形
(2)设 $ ∠ C P H = α $，$ ∠ P C B = β $，
∴ $ ∠ A P G = ∠ C P H = α $。
∵ $ P E $ 垂直平分 $ B C $，
∴ $ ∠ P B C = ∠ P C B = β $。
∴ $ ∠ G P B = ∠ P B C + ∠ P C B = 2 β $。
∴ $ ∠ A P B = ∠ A P G + ∠ G P B = α + 2 β $。
∴ $ ∠ A P D = ∠ A P B = α + 2 β $。
∴ $ ∠ G P D = ∠ A P G + ∠ A P D = 2 α + 2 β $。
∵ 四边形 $ A B P D $ 是菱形，
∴ $ A B // P D $。又 $ C G ⊥ A B $，
∴ $ ∠ G P D = 90 ^ { \circ } $。
∴ $ 2 α + 2 β = 90 ^ { \circ } $。
∴ $ α + β = 45 ^ { \circ } $。
∵ $ ∠ A H B = α + β $，
∴ $ ∠ A H B = 45 ^ { \circ } $
