8. 如图，在正方形 $ABCD$ 中，$AB = 6$，$G$ 是 $BC$ 的中点.将 $△ ABG$ 沿直线 $AG$ 折叠得到 $△ AFG$，延长 $GF$，交 $DC$ 于点 $E$，则 $DE$ 的长是()

A.$1$
B.$1.5$
C.$2$
D.$2.5$

8.C

解：
∵ 四边形 $ABCD$ 是正方形，$AB=6$，
∴ $AB=BC=CD=AD=6$，$∠ B=∠ C=∠ D=90°$。
∵ $G$ 是 $BC$ 中点，
∴ $BG=GC=3$。
由折叠性质得：$AF=AB=6$，$FG=BG=3$，$∠ AFG=∠ B=90°$，
∴ $∠ AFE=90°$。
设 $DE=x$，则 $EC=6-x$。
在 $\mathrm{Rt}△ ADE$ 和 $\mathrm{Rt}△ AFE$ 中，
$AE^2=AD^2+DE^2=6^2+x^2$，
$AE^2=AF^2+EF^2=6^2+EF^2$，
∴ $EF=DE=x$，
∴ $EG=GF+EF=3+x$。
在 $\mathrm{Rt}△ ECG$ 中，$EG^2=EC^2+GC^2$，
即 $(3+x)^2=(6-x)^2+3^2$，
解得 $x=2$。
∴ $DE=2$。
答案：C

9. (2024·兴安盟改编)如图，正方形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$，$E$ 是边 $BC$ 上一点，$F$ 是 $BD$ 上一点，连接 $DE$，$EF$.若 $△ DEF$ 与 $△ DEC$ 关于直线 $DE$ 对称，则 $∠ FEB$ 的度数为.

9. $ 45^{\circ} $

证明：
∵ 四边形 $ABCD$ 是正方形，
∴ $∠BCD = 90°$，$∠DBC = 45°$（正方形对角线平分内角）。
∵ $△DEF$ 与 $△DEC$ 关于直线 $DE$ 对称，
∴ $△DEF ≌ △DEC$（轴对称性质），
∴ $∠DFE = ∠DCE = 90°$，$EF = EC$（全等三角形对应角、对应边相等）。
在 $△BEF$ 中，$∠BFE = 180° - ∠DFE = 180° - 90° = 90°$（平角定义）。
设 $∠FEB = x$，则 $∠FBE = 45°$（已证），
在 $Rt△BEF$ 中，$∠FEB + ∠FBE = 90°$（直角三角形两锐角互余），
即 $x + 45° = 90°$，解得 $x = 45°$。
∴ $∠FEB = 45°$。
$45°$

10. 如图，正方形 $ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 交于点 $O$，$E$ 是 $OC$ 的中点，连接 $BE$，过点 $A$ 作 $AM⊥ BE$ 于点 $M$，交 $BD$ 于点 $F$.若 $BD = 4$，则 $AF$ 的长为.

10. $ \sqrt{5} $

解：
∵ 四边形 $ABCD$ 是正方形，$BD=4$，
∴ $AC=BD=4$，$AC ⊥ BD$，$OA=OC=OB=OD=2$，$∠ AOF=∠ BOE=90°$。
∵ $E$ 是 $OC$ 中点，
∴ $OE=\frac{1}{2}OC=1$。
∵ $AM ⊥ BE$，
∴ $∠ AMB=90°$，
∴ $∠ FAO+∠ AFM=90°$，$∠ EBO+∠ BFM=90°$，
∵ $∠ AFM=∠ BFM$，
∴ $∠ FAO=∠ EBO$。
在 $△ AOF$ 和 $△ BOE$ 中，
$\begin{cases} ∠ FAO=∠ EBO \\OA=OB \\∠ AOF=∠ BOE \end{cases}$，
∴ $△ AOF ≌ △ BOE$（ASA），
∴ $OF=OE=1$。
在 $\mathrm{Rt}△ AOF$ 中，$AF=\sqrt{OA^2+OF^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$。
$\sqrt{5}$

11. 如图，在正方形 $ABCD$ 中，$E$，$F$，$G$，$H$ 分别是各边上的点，且 $AE = BF = CG = DH$.求证：
（1）$△ AHE≌△ BEF$；
（2）四边形 $EFGH$ 是正方形.

11.(1) $ \because $ 四边形 $ ABCD $ 为正方形，$ \therefore AB = BC = CD = AD $，$ ∠ A = ∠ B = ∠ C = ∠ D = 90^{\circ} $. $ \because AE = BF = CG = DH $，$ \therefore BE = CF = DG = AH $. $ \therefore △ AHE ≌ △ BEF $ (2) $ \because AE = BF = CG = DH $，$ AH = BE = CF = DG $，$ ∠ A = ∠ B = ∠ C = ∠ D = 90^{\circ} $，$ \therefore △ AEH ≌ △ BFE ≌ △ CGF ≌ △ DHG $. $ \therefore EH = FE = GF = HG $，$ ∠ EHA = ∠ HGD $. $ \therefore $ 四边形 $ EFGH $ 是菱形. $ \because ∠ D = 90^{\circ} $，$ \therefore ∠ HGD + ∠ GHD = 90^{\circ} $. $ \therefore ∠ EHA + ∠ GHD = 90^{\circ} $. $ \therefore ∠ EHG = 90^{\circ} $. $ \therefore $ 四边形 $ EFGH $ 是正方形

12. 如图，在正方形 $ABCD$ 中，$G$ 是对角线 $BD$ 上的一点（不与点 $B$，$D$ 重合），$GE⊥ CD$，$GF⊥ BC$，垂足分别为 $E$，$F$.连接 $EF$，$AG$，延长 $AG$ 交 $EF$ 于点 $H$.
（1）求证：$∠ DAG=∠ EGH$；
（2）判断 $AH$ 与 $EF$ 是否垂直，并说明理由.

12.(1) $ \because $ 四边形 $ ABCD $ 是正方形，$ \therefore ∠ ADC = 90^{\circ} $. $ \because GE ⊥ CD $，$ \therefore ∠ GEC = 90^{\circ} $. $ \therefore ∠ ADC = ∠ GEC $. $ \therefore AD // GE $. $ \therefore ∠ DAG = ∠ EGH $ (2) $ AH ⊥ EF $ 理由：如图，连接 $ GC $，交 $ EF $ 于点 $ O $. $ \because $ 在正方形 $ ABCD $ 中，$ BD $ 是对角线，$ \therefore ∠ BCD = 90^{\circ} $，$ ∠ ADG = ∠ CDG $，$ AD = CD $. $ \because DG = DG $，$ \therefore △ ADG ≌ △ CDG $. $ \therefore ∠ DAG = ∠ DCG $. $ \because GE ⊥ CD $，$ GF ⊥ BC $，$ \therefore ∠ GFC = ∠ GEC = 90^{\circ} = ∠ BCD $. $ \therefore $ 四边形 $ FCEG $ 为矩形. $ \therefore GC = EF $，$ OE = \frac{1}{2}EF $，$ OC = \frac{1}{2}GC $. $ \therefore OE = OC $. $ \therefore ∠ OEC = ∠ OCE $. $ \therefore ∠ DAG = ∠ OEC $. 由 (1)，得 $ ∠ DAG = ∠ EGH $，$ \therefore ∠ EGH = ∠ OEC $. $ \because ∠ GEC = ∠ OEC + ∠ GEH = 90^{\circ} $，$ \therefore ∠ EGH + ∠ GEH = 90^{\circ} $. $ \therefore ∠ GHE = 90^{\circ} $. $ \therefore AH ⊥ EF $.