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一、选择题
1. 若分式$\frac{25 - x^{2}}{x + 5}$的值为 0，则$x$的值为(
A.$\pm 5$
B.0
C.$-5$
D.5
1. 若分式$\frac{25 - x^{2}}{x + 5}$的值为 0，则$x$的值为(
D
)A.$\pm 5$
B.0
C.$-5$
D.5
答案
1. D
解析
要使分式$\frac{25 - x^{2}}{x + 5}$的值为$0$，需满足分子为$0$且分母不为$0$。
分子$25 - x^{2}=0$，即$x^{2}=25$，解得$x = \pm 5$。
分母$x + 5≠ 0$，即$x≠ - 5$。
综上，$x = 5$。
D
分子$25 - x^{2}=0$，即$x^{2}=25$，解得$x = \pm 5$。
分母$x + 5≠ 0$，即$x≠ - 5$。
综上，$x = 5$。
D
2. (2025·河南)化简$\frac{x^{2} - 2}{x - 1} - \frac{1}{1 - x}$的结果是(
A.$x + 1$
B.$x$
C.$x - 1$
D.$x - 2$
A
)A.$x + 1$
B.$x$
C.$x - 1$
D.$x - 2$
答案
2. A
解析
$\begin{aligned}\frac{x^{2} - 2}{x - 1} - \frac{1}{1 - x}&=\frac{x^{2} - 2}{x - 1} + \frac{1}{x - 1}\\&=\frac{x^{2} - 2 + 1}{x - 1}\\&=\frac{x^{2} - 1}{x - 1}\\&=\frac{(x + 1)(x - 1)}{x - 1}\\&=x + 1\end{aligned}$
A
A
3. 计算$(a - \frac{1}{b}) ÷ (\frac{1}{a} - b)$的结果是(
A.$-\frac{a}{b}$
B.$\frac{a}{b}$
C.$-\frac{b}{a}$
D.$\frac{b}{a}$
A
)A.$-\frac{a}{b}$
B.$\frac{a}{b}$
C.$-\frac{b}{a}$
D.$\frac{b}{a}$
答案
3. A
解析
$\begin{aligned}(a - \frac{1}{b}) ÷ (\frac{1}{a} - b)&=(\frac{ab - 1}{b}) ÷ (\frac{1 - ab}{a})\\&=\frac{ab - 1}{b} × \frac{a}{1 - ab}\\&=\frac{-(1 - ab)}{b} × \frac{a}{1 - ab}\\&=-\frac{a}{b}\end{aligned}$
A
A
4. 如果$a^{2} + 2a - 1 = 0$，那么代数式$(a - \frac{4}{a}) · \frac{a^{2}}{a - 2}$的值为(
A.$-3$
B.$-1$
C.1
D.3
C
)A.$-3$
B.$-1$
C.1
D.3
答案
4. C
解析
$\begin{aligned}&(a - \frac{4}{a}) · \frac{a^2}{a - 2}\\=&\frac{a^2 - 4}{a} · \frac{a^2}{a - 2}\\=&\frac{(a + 2)(a - 2)}{a} · \frac{a^2}{a - 2}\\=&a(a + 2)\\=&a^2 + 2a\end{aligned}$
因为$a^2 + 2a - 1 = 0$，所以$a^2 + 2a = 1$，原式的值为$1$。
C
因为$a^2 + 2a - 1 = 0$，所以$a^2 + 2a = 1$，原式的值为$1$。
C
5. 已知一列均不为 1 的数$a_{1},a_{2},a_{3},···,a_{n}$满足如下关系：$a_{2} = \frac{1 + a_{1}}{1 - a_{1}},a_{3} = \frac{1 + a_{2}}{1 - a_{2}},a_{4} = \frac{1 + a_{3}}{1 - a_{3}},···,a_{n + 1} = \frac{1 + a_{n}}{1 - a_{n}}$。若$a_{1} = 2$，则$a_{2026}$的值是(
A.$-\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$-3$
D.2
C
)A.$-\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$-3$
D.2
答案
5. C 解析：
∵ $ a_{1}=2 $，
∴ 由题意，分别求得 $ a_{2}=-3 $，$ a_{3}=-\frac{1}{2} $，$ a_{4}=\frac{1}{3} $，$ a_{5}=2 $，…
∴ $ a_{n} $ 的值按照 $ 2,-3,-\frac{1}{2},\frac{1}{3} $ 的顺序循环出现。
∵ $ 2026 ÷ 4=506 ··· ··· 2 $，
∴ $ a_{2026}=a_{2}=-3 $。
∵ $ a_{1}=2 $，
∴ 由题意，分别求得 $ a_{2}=-3 $，$ a_{3}=-\frac{1}{2} $，$ a_{4}=\frac{1}{3} $，$ a_{5}=2 $，…
∴ $ a_{n} $ 的值按照 $ 2,-3,-\frac{1}{2},\frac{1}{3} $ 的顺序循环出现。
∵ $ 2026 ÷ 4=506 ··· ··· 2 $，
∴ $ a_{2026}=a_{2}=-3 $。
二、填空题
6. (2025·山东)写出使分式$\frac{1}{2x - 3}$有意义的$x$的一个值：
6. (2025·山东)写出使分式$\frac{1}{2x - 3}$有意义的$x$的一个值：
2（答案不唯一）
。答案
6. 2（答案不唯一）
7. 计算：(1)(2024·常州)$\frac{1}{x + 1} + \frac{x}{x + 1} =$
1
；(2)(2025·湖北)$\frac{x^{2} + 2x}{x} - x =$2
。答案
7.（1）1 （2）2
解析
(1)$\frac{1}{x + 1} + \frac{x}{x + 1} = \frac{1 + x}{x + 1} = 1$；
(2)$\frac{x^{2} + 2x}{x} - x = x + 2 - x = 2$
(2)$\frac{x^{2} + 2x}{x} - x = x + 2 - x = 2$
8. (2025·宿城期末)若$\frac{x^{2} - y^{2}}{a^{2}x - a^{2}y} ÷ \frac{(x + y)^{2}}{ax + ay}$的值是 5，则$a =$
$ \frac{1}{5} $
。答案
8. $ \frac{1}{5} $
解析
$\begin{aligned}&\frac{x^{2} - y^{2}}{a^{2}x - a^{2}y} ÷ \frac{(x + y)^{2}}{ax + ay}\\=&\frac{(x + y)(x - y)}{a^{2}(x - y)} · \frac{a(x + y)}{(x + y)^{2}}\\=&\frac{(x + y)}{a^{2}} · \frac{a}{(x + y)}\\=&\frac{1}{a}\end{aligned}$
因为该式的值是 5，所以$\frac{1}{a}=5$，解得$a = \frac{1}{5}$。
$\frac{1}{5}$
因为该式的值是 5，所以$\frac{1}{a}=5$，解得$a = \frac{1}{5}$。
$\frac{1}{5}$
9. 计算：
(1)$1 - \frac{2a}{3b} ÷ \frac{2a}{3b} · \frac{2b}{3a} =$
(2)(2024·绥化)$\frac{x - y}{x} ÷ (x - \frac{2xy - y^{2}}{x}) =$
(1)$1 - \frac{2a}{3b} ÷ \frac{2a}{3b} · \frac{2b}{3a} =$
$ \frac{3a - 2b}{3a} $
；(2)(2024·绥化)$\frac{x - y}{x} ÷ (x - \frac{2xy - y^{2}}{x}) =$
$ \frac{1}{x - y} $
。答案
9.（1）$ \frac{3a - 2b}{3a} $ （2）$ \frac{1}{x - y} $
解析
(1) $1 - \frac{2a}{3b} ÷ \frac{2a}{3b} · \frac{2b}{3a}$
$=1 - \frac{2a}{3b} · \frac{3b}{2a} · \frac{2b}{3a}$
$=1 - 1 · \frac{2b}{3a}$
$=1 - \frac{2b}{3a}$
$=\frac{3a - 2b}{3a}$
(2) $\frac{x - y}{x} ÷ (x - \frac{2xy - y^{2}}{x})$
$=\frac{x - y}{x} ÷ (\frac{x^{2}}{x} - \frac{2xy - y^{2}}{x})$
$=\frac{x - y}{x} ÷ \frac{x^{2} - 2xy + y^{2}}{x}$
$=\frac{x - y}{x} · \frac{x}{(x - y)^{2}}$
$=\frac{1}{x - y}$
$=1 - \frac{2a}{3b} · \frac{3b}{2a} · \frac{2b}{3a}$
$=1 - 1 · \frac{2b}{3a}$
$=1 - \frac{2b}{3a}$
$=\frac{3a - 2b}{3a}$
(2) $\frac{x - y}{x} ÷ (x - \frac{2xy - y^{2}}{x})$
$=\frac{x - y}{x} ÷ (\frac{x^{2}}{x} - \frac{2xy - y^{2}}{x})$
$=\frac{x - y}{x} ÷ \frac{x^{2} - 2xy + y^{2}}{x}$
$=\frac{x - y}{x} · \frac{x}{(x - y)^{2}}$
$=\frac{1}{x - y}$
10. 已知非零实数$x,y$满足$y = \frac{x}{x + 1}$，则$\frac{x - y + 3xy}{xy}$的值为
4
。答案
10. 4
解析
由题意得，$y = \frac{x}{x + 1}$，等式两边同乘$x + 1$（$x≠ -1$），得$y(x + 1)=x$，即$xy + y = x$，移项可得$x - y = xy$。
将$x - y = xy$代入$\frac{x - y + 3xy}{xy}$，得$\frac{xy + 3xy}{xy}=\frac{4xy}{xy}$。
因为$x$，$y$为非零实数，所以$xy≠ 0$，则$\frac{4xy}{xy}=4$。
4
将$x - y = xy$代入$\frac{x - y + 3xy}{xy}$，得$\frac{xy + 3xy}{xy}=\frac{4xy}{xy}$。
因为$x$，$y$为非零实数，所以$xy≠ 0$，则$\frac{4xy}{xy}=4$。
4
11. 若$x^{2} + 3x = -1$，则$x - \frac{1}{x + 1}$的值为
-2
。答案
11. -2
解析
$\begin{aligned}x - \frac{1}{x + 1}&=\frac{x(x + 1) - 1}{x + 1}\\&=\frac{x^2 + x - 1}{x + 1}\\\because x^2 + 3x&=-1\\\therefore x^2&=-3x - 1\\\therefore \frac{x^2 + x - 1}{x + 1}&=\frac{-3x - 1 + x - 1}{x + 1}\\&=\frac{-2x - 2}{x + 1}\\&=\frac{-2(x + 1)}{x + 1}\\&=-2\end{aligned}$
-2
-2
12. (2025·宿豫段考)已知代数式$M = \frac{x}{x - 3} + \frac{y}{y - 3}$。若$x + y = 4,xy = -2$，则$M$的值为
$ \frac{16}{5} $
。答案
12. $ \frac{16}{5} $ 解析：$ M=\frac{x}{x - 3}+\frac{y}{y - 3}=\frac{x(y - 3)}{(x - 3)(y - 3)}+\frac{y(x - 3)}{(x - 3)(y - 3)}=\frac{xy - 3x + xy - 3y}{xy - 3x - 3y + 9}=\frac{2xy - 3(x + y)}{xy - 3(x + y) + 9} $。
∵ $ x + y = 4 $，$ xy = -2 $，
∴ $ M=\frac{2 × (-2) - 3 × 4}{-2 - 3 × 4 + 9}=\frac{-4 - 12}{-2 - 12 + 9}=\frac{-16}{-5}=\frac{16}{5} $。
∵ $ x + y = 4 $，$ xy = -2 $，
∴ $ M=\frac{2 × (-2) - 3 × 4}{-2 - 3 × 4 + 9}=\frac{-4 - 12}{-2 - 12 + 9}=\frac{-16}{-5}=\frac{16}{5} $。
