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三、解答题
13. 计算：
（1）$\frac{2m - 6}{m^{2} - 9} ÷ \frac{2m + 2}{m + 3} - \frac{m}{m + 1}$；
（2）$\frac{x + 3}{x^{2} - 2x + 1} · \frac{x - 1}{x^{2} + 3x} + \frac{1}{x}$；
（3）$(\frac{1}{x + 2} + 1) ÷ \frac{x^{2} + 6x + 9}{x^{2} - 4}$；
（4）$(\frac{3a}{a^{2} - 1} - \frac{1}{a - 1}) ÷ \frac{2a - 1}{a + 1}$。
13. 计算：
（1）$\frac{2m - 6}{m^{2} - 9} ÷ \frac{2m + 2}{m + 3} - \frac{m}{m + 1}$；
（2）$\frac{x + 3}{x^{2} - 2x + 1} · \frac{x - 1}{x^{2} + 3x} + \frac{1}{x}$；
（3）$(\frac{1}{x + 2} + 1) ÷ \frac{x^{2} + 6x + 9}{x^{2} - 4}$；
（4）$(\frac{3a}{a^{2} - 1} - \frac{1}{a - 1}) ÷ \frac{2a - 1}{a + 1}$。
答案
13.（1）$ \frac{1 - m}{m + 1} $ （2）$ \frac{1}{x - 1} $ （3）$ \frac{x - 2}{x + 3} $ （4）$ \frac{1}{a - 1} $
解析
解：原式$=\frac{x+3}{(x-1)^2}·\frac{x-1}{x(x+3)}+\frac{1}{x}$
$=\frac{1}{x(x-1)}+\frac{1}{x}$
$=\frac{1}{x(x-1)}+\frac{x-1}{x(x-1)}$
$=\frac{1+x-1}{x(x-1)}$
$=\frac{x}{x(x-1)}$
$=\frac{1}{x-1}$
$=\frac{1}{x(x-1)}+\frac{1}{x}$
$=\frac{1}{x(x-1)}+\frac{x-1}{x(x-1)}$
$=\frac{1+x-1}{x(x-1)}$
$=\frac{x}{x(x-1)}$
$=\frac{1}{x-1}$
14. （2025·苏州）先化简，再求值：$(\frac{2}{x - 1} + 1) · \frac{x^{2} - x}{x^{2} + 2x + 1}$，其中$x = -2$。
答案
14. 原式 $ =\frac{2 + x - 1}{x - 1} · \frac{x(x - 1)}{(x + 1)^{2}}=\frac{x + 1}{x - 1} · \frac{x(x - 1)}{(x + 1)^{2}}=\frac{x}{x + 1} $。当 $ x = -2 $ 时，原式 $ =\frac{-2}{-2 + 1}=2 $
解析
解：原式$=(\frac{2}{x - 1} + \frac{x - 1}{x - 1}) · \frac{x(x - 1)}{(x + 1)^2}$
$=\frac{2 + x - 1}{x - 1} · \frac{x(x - 1)}{(x + 1)^2}$
$=\frac{x + 1}{x - 1} · \frac{x(x - 1)}{(x + 1)^2}$
$=\frac{x}{x + 1}$
当$x = -2$时，原式$=\frac{-2}{-2 + 1}=\frac{-2}{-1}=2$
$=\frac{2 + x - 1}{x - 1} · \frac{x(x - 1)}{(x + 1)^2}$
$=\frac{x + 1}{x - 1} · \frac{x(x - 1)}{(x + 1)^2}$
$=\frac{x}{x + 1}$
当$x = -2$时，原式$=\frac{-2}{-2 + 1}=\frac{-2}{-1}=2$
15. (2025·沭阳段考)对于正数$x$，规定：$f(x) = \frac{x}{x + 1}$。例如：$f(1) = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2},f(2) = \frac{2}{2 + 1} = \frac{2}{3},f(\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2} + 1} = \frac{1}{3}$。
(1)求值：$f(3) =$
(2)猜想：$f(x) + f(\frac{1}{x}) =$
(3)求$f(\frac{1}{2025}) + f(\frac{1}{2024}) + ··· + f(\frac{1}{2}) + f(1) + f(2) + ··· + f(2024) + f(2025)$的值。
(1)求值：$f(3) =$
$ \frac{3}{4} $
；$f(3) + f(\frac{1}{3}) =$1
；$f(4) + f(\frac{1}{4}) =$1
。(2)猜想：$f(x) + f(\frac{1}{x}) =$
1
，并证明你的结论。(3)求$f(\frac{1}{2025}) + f(\frac{1}{2024}) + ··· + f(\frac{1}{2}) + f(1) + f(2) + ··· + f(2024) + f(2025)$的值。
答案
15.（1）$ \frac{3}{4} $ 1 1 解析：$ f(3)=\frac{3}{3 + 1}=\frac{3}{4} $。
∵ $ f(\frac{1}{3})=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3} + 1}=\frac{1}{4} $，
∴ $ f(3)+f(\frac{1}{3})=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=1 $。
∵ $ f(4)=\frac{4}{4 + 1}=\frac{4}{5} $，$ f(\frac{1}{4})=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{4} + 1}=\frac{1}{5} $，
∴ $ f(4)+f(\frac{1}{4})=\frac{4}{5}+\frac{1}{5}=1 $。
（2）1
∵ $ f(\frac{1}{x})=\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x} + 1}=\frac{1}{x + 1} $，
∴ $ f(x)+f(\frac{1}{x})=\frac{x}{x + 1}+\frac{1}{x + 1}=1 $
（3）由（2），得 $ f(x)+f(\frac{1}{x})=1 $，
∴ 原式 $ =[f(\frac{1}{2025})+f(2025)]+[f(\frac{1}{2024})+f(2024)]+··· +[f(\frac{1}{2})+f(2)]+f(1)=\underbrace{1 + 1 + ··· + 1}_{2024 个 1}+\frac{1}{2}=2024+\frac{1}{2}=2024\frac{1}{2} $
∵ $ f(\frac{1}{3})=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3} + 1}=\frac{1}{4} $，
∴ $ f(3)+f(\frac{1}{3})=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=1 $。
∵ $ f(4)=\frac{4}{4 + 1}=\frac{4}{5} $，$ f(\frac{1}{4})=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{4} + 1}=\frac{1}{5} $，
∴ $ f(4)+f(\frac{1}{4})=\frac{4}{5}+\frac{1}{5}=1 $。
（2）1
∵ $ f(\frac{1}{x})=\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x} + 1}=\frac{1}{x + 1} $，
∴ $ f(x)+f(\frac{1}{x})=\frac{x}{x + 1}+\frac{1}{x + 1}=1 $
（3）由（2），得 $ f(x)+f(\frac{1}{x})=1 $，
∴ 原式 $ =[f(\frac{1}{2025})+f(2025)]+[f(\frac{1}{2024})+f(2024)]+··· +[f(\frac{1}{2})+f(2)]+f(1)=\underbrace{1 + 1 + ··· + 1}_{2024 个 1}+\frac{1}{2}=2024+\frac{1}{2}=2024\frac{1}{2} $
