1. 如图,线段 $ AB $,$ BC $ 的垂直平分线 $ l_1 $,$ l_2 $ 相交于点 $ O $,则线段 $ OA $,$ OC $ 的大小关系是()

A.$ OA＞OC $
B.$ OA＜OC $
C.$ OA = OC $
D.无法确定

C

因为$l_1$是线段$AB$的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等，所以点$O$在$AB$的垂直平分线$l_1$上，则$OA = OB$。
又因为$l_2$是线段$BC$的垂直平分线，同理可得，点$O$在$BC$的垂直平分线$l_2$上，则$OB=OC$。
由$OA = OB$，$OB = OC$，通过等量代换可得$OA = OC$。

2. 如图,在 $ Rt\triangle ABC $ 中,$ \angle ACB = 90^{\circ} $,$ DE $ 垂直平分 $ AB $ 交 $ BC $ 于点 $ D $,若 $ \triangle ACD $ 的周长为 $ 50\,cm $,则 $ AC + BC = $()

A.$ 25\,cm $
B.$ 45\,cm $
C.$ 50\,cm $
D.$ 55\,cm $

C

由于$DE$垂直平分$AB$，根据垂直平分线的性质，可得$AD = BD$。
$\triangle ACD$的周长为$AC + CD + AD = 50cm$，将$AD = BD$代入可得$AC + CD + BD = AC + BC = 50cm$。

3. 如图,$ AC = AD $,$ BC = BD $,下列说法中正确的是()

A.$ CD $ 垂直平分 $ AB $
B.$ AB $ 垂直平分 $ CD $
C.$ AB $ 与 $ CD $ 互相垂直平分
D.以上都不正确

B

已知$AC = AD$，根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上），可知点$A$在线段$CD$的垂直平分线上。
同理，因为$BC = BD$，所以点$B$也在线段$CD$的垂直平分线上。
由于两点确定一条直线，所以$AB$所在的直线是线段$CD$的垂直平分线，即$AB$垂直平分$CD$。

4. 到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的()
A.三条高的交点
B.三条角平分线的交点
C.三条中线的交点
D.三条边的垂直平分线的交点

D

根据垂直平分线定理，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。若某点到三角形三个顶点的距离都相等，则该点必须同时位于三角形三条边的垂直平分线上。因此，该点是三条边的垂直平分线的交点。

5. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AB $ 的垂直平分线分别交 $ AB $,$ BC $ 于点 $ D $,$ E $,连接 $ AE $,若 $ AE = 6 $,$ EC = 3 $,则 $ BC $ 的长为.

9

∵ $DE$ 是 $AB$ 的垂直平分线，
∴ $AE = BE = 6$（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。
又∵ $EC = 3$，
∴ $BC = BE + EC = 6 + 3 = 9$。

6. 如图,在 $ Rt\triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,$ AB $ 的垂直平分线 $ DE $ 交 $ BC $ 于点 $ D $,交 $ AB $ 于点 $ E $,连接 $ AD $,若 $ \angle B = 30^{\circ} $,则 $ \angle CAD = $.

$30^{\circ}$

1. 在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle B = 30^{\circ}$，根据直角三角形两锐角互余，可得$\angle BAC=180^{\circ}-\angle C - \angle B=180^{\circ}-90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$。
2. 因为$DE$是$AB$的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等，所以$AD = BD$。
3. 由$AD = BD$，根据等边对等角，可得$\angle B=\angle DAB = 30^{\circ}$。
4. 那么$\angle CAD=\angle BAC-\angle DAB=60^{\circ}-30^{\circ}=30^{\circ}$。