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4. (黑龙江龙东中考)已知 $ 2 + \sqrt{3} $ 是关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-4x + m = 0 $ 的一个实数根，则实数 $ m $ 的值是(
A.0
B.1
C.$ -3 $
D.$ -1 $
B
)A.0
B.1
C.$ -3 $
D.$ -1 $
答案
4.B
解析
解：因为 $2 + \sqrt{3}$ 是方程 $x^2 - 4x + m = 0$ 的根，所以将 $x = 2 + \sqrt{3}$ 代入方程得：
$(2 + \sqrt{3})^2 - 4(2 + \sqrt{3}) + m = 0$
展开计算：
$4 + 4\sqrt{3} + 3 - 8 - 4\sqrt{3} + m = 0$
化简得：$7 - 8 + m = 0$，即 $-1 + m = 0$
解得 $m = 1$
B
$(2 + \sqrt{3})^2 - 4(2 + \sqrt{3}) + m = 0$
展开计算：
$4 + 4\sqrt{3} + 3 - 8 - 4\sqrt{3} + m = 0$
化简得：$7 - 8 + m = 0$，即 $-1 + m = 0$
解得 $m = 1$
B
5. 已知 $ -2 $ 是关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^{2}+bx + 4 = 0 (a \neq 0) $ 的一个根，则代数式 $ 8a - 4b + 217 = $(
A.209
B.207
C.208
D.210
A
)A.209
B.207
C.208
D.210
答案
5.A
解析
因为$-2$是方程$ax^{2}+bx + 4 = 0$的一个根，所以将$x=-2$代入方程得：$a×(-2)^{2}+b×(-2)+4=0$，即$4a - 2b + 4 = 0$，化简得$4a - 2b=-4$。两边同时乘以$2$得$8a - 4b=-8$。则$8a - 4b + 217=-8 + 217=209$。
A
A
【例 4】某超市销售一种品牌童装，平均每天可售出 50 件，每件盈利 40 元. 为了加快投资资金回笼，超市采用降价措施，每件童装每降价 2 元，平均每天就多售出 8 件. 如果平均每天销售童装利润为 1000 元，那么每件童装应降价多少元？(只需列出方程，并化为一般形式，不必求解)
思考：设每件童装应降价 $ x $ 元，则降价后平均每天销售
解：
思考：设每件童装应降价 $ x $ 元，则降价后平均每天销售
50+$\frac{x}{2}$×8
件，每件利润为40-x
元.解：
答案
思考:50+$\frac{x}{2}$×8 40-x 解:设每件童装应降价x元. 2x²-55x-500=0.
解析
设每件童装应降价$x$元。
降价后平均每天销售$50 + \frac{x}{2} × 8$件，每件利润为$40 - x$元。
根据利润 = 每件利润×销售量，可得方程：$(40 - x)(50 + \frac{x}{2} × 8) = 1000$
化简方程：
$\begin{aligned}(40 - x)(50 + 4x) &= 1000\\2000 + 160x - 50x - 4x^2 &= 1000\\-4x^2 + 110x + 2000 - 1000 &= 0\\-4x^2 + 110x + 1000 &= 0\\2x^2 - 55x - 500 &= 0\end{aligned}$
$2x^2 - 55x - 500 = 0$
降价后平均每天销售$50 + \frac{x}{2} × 8$件，每件利润为$40 - x$元。
根据利润 = 每件利润×销售量，可得方程：$(40 - x)(50 + \frac{x}{2} × 8) = 1000$
化简方程：
$\begin{aligned}(40 - x)(50 + 4x) &= 1000\\2000 + 160x - 50x - 4x^2 &= 1000\\-4x^2 + 110x + 2000 - 1000 &= 0\\-4x^2 + 110x + 1000 &= 0\\2x^2 - 55x - 500 &= 0\end{aligned}$
$2x^2 - 55x - 500 = 0$
6. 在一幅长为 80 cm、宽为 50 cm 的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图 21.1 - 1(示意图)所示. 如果整个挂图的面积是 $ 5400 cm^{2} $，设金色纸边的宽为 $ x cm $，那么 $ x $ 满足的方程是(
A.$ 2x^{2}+125x - 900 = 0 $
B.$ x^{2}+65x - 350 = 0 $
C.$ 2x^{2}+125x + 900 = 0 $
D.$ x^{2}-65x - 350 = 0 $
B
)A.$ 2x^{2}+125x - 900 = 0 $
B.$ x^{2}+65x - 350 = 0 $
C.$ 2x^{2}+125x + 900 = 0 $
D.$ x^{2}-65x - 350 = 0 $
答案
6.B
解析
解：镶边后矩形挂图的长为$(80 + 2x) \, cm$，宽为$(50 + 2x) \, cm$。
根据面积公式可得：$(80 + 2x)(50 + 2x) = 5400$
展开得：$4000 + 160x + 100x + 4x^2 = 5400$
化简得：$4x^2 + 260x - 1400 = 0$
两边同除以4：$x^2 + 65x - 350 = 0$
答案：B
根据面积公式可得：$(80 + 2x)(50 + 2x) = 5400$
展开得：$4000 + 160x + 100x + 4x^2 = 5400$
化简得：$4x^2 + 260x - 1400 = 0$
两边同除以4：$x^2 + 65x - 350 = 0$
答案：B
1. 下列各选项中是一元二次方程的是(
A.$ x^{2}+1 = x(x + 1) $
B.$ x^{2}-2x - 3 $
C.$ x^{2}-1 = 0 $
D.$ \frac{1}{x}+x^{2}=1 $
C
)A.$ x^{2}+1 = x(x + 1) $
B.$ x^{2}-2x - 3 $
C.$ x^{2}-1 = 0 $
D.$ \frac{1}{x}+x^{2}=1 $
答案
1.C
2. 已知 $ m $ 是方程 $ x^{2}-x - 1 = 0 $ 的一个根，则代数式 $ m^{2}-m + 1 $ 的值等于(
A.$ -1 $
B.0
C.1
D.2
D
)A.$ -1 $
B.0
C.1
D.2
答案
2.D
解析
∵$m$是方程$x^{2}-x - 1 = 0$的一个根，
∴$m^{2}-m - 1 = 0$，
∴$m^{2}-m = 1$，
∴$m^{2}-m + 1 = 1 + 1 = 2$。
D
3. 关于 $ x $ 的方程 $ (m^{2}-4)x^{2}-(m - 2)x - 1 = 0 $，当 $ m $
≠±2
时，是一元二次方程；当 $ m $=-2
时，是一元一次方程.答案
3.≠±2 =-2
4. 某住宅小区准备在每两幢楼房之间开辟一块面积为 $ 300 m^{2} $ 的长方形绿地，并且长比宽多 12 m，设长方形绿地的宽为 $ x m $，则可列方程为
x(x+12)=300
；把所列方程化成一般形式为x²+12x-300=0
，其二次项系数为1
，一次项系数为12
，常数项为-300
.答案
4.x(x+12)=300 x²+12x-300=0 1 12 -300
