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5. 下列哪些数是方程 $ x^{2}-6x + 8 = 0 $ 的根？
0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10.
0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10.
答案
5.解:2,4是方程x²-6x+8=0的根.
解析
5.解:将各数分别代入方程$x^{2}-6x + 8 = 0$检验：
当$x=0$时，$0^{2}-6×0 + 8=8\neq0$；
当$x=1$时，$1^{2}-6×1 + 8=3\neq0$；
当$x=2$时，$2^{2}-6×2 + 8=4 - 12 + 8=0$；
当$x=3$时，$3^{2}-6×3 + 8=9 - 18 + 8=-1\neq0$；
当$x=4$时，$4^{2}-6×4 + 8=16 - 24 + 8=0$；
当$x=5$时，$5^{2}-6×5 + 8=25 - 30 + 8=3\neq0$；
当$x=6$时，$6^{2}-6×6 + 8=36 - 36 + 8=8\neq0$；
当$x=7$时，$7^{2}-6×7 + 8=49 - 42 + 8=15\neq0$；
当$x=8$时，$8^{2}-6×8 + 8=64 - 48 + 8=24\neq0$；
当$x=9$时，$9^{2}-6×9 + 8=81 - 54 + 8=35\neq0$；
当$x=10$时，$10^{2}-6×10 + 8=100 - 60 + 8=48\neq0$。
所以方程$x^{2}-6x + 8 = 0$的根是2，4。
当$x=0$时，$0^{2}-6×0 + 8=8\neq0$；
当$x=1$时，$1^{2}-6×1 + 8=3\neq0$；
当$x=2$时，$2^{2}-6×2 + 8=4 - 12 + 8=0$；
当$x=3$时，$3^{2}-6×3 + 8=9 - 18 + 8=-1\neq0$；
当$x=4$时，$4^{2}-6×4 + 8=16 - 24 + 8=0$；
当$x=5$时，$5^{2}-6×5 + 8=25 - 30 + 8=3\neq0$；
当$x=6$时，$6^{2}-6×6 + 8=36 - 36 + 8=8\neq0$；
当$x=7$时，$7^{2}-6×7 + 8=49 - 42 + 8=15\neq0$；
当$x=8$时，$8^{2}-6×8 + 8=64 - 48 + 8=24\neq0$；
当$x=9$时，$9^{2}-6×9 + 8=81 - 54 + 8=35\neq0$；
当$x=10$时，$10^{2}-6×10 + 8=100 - 60 + 8=48\neq0$。
所以方程$x^{2}-6x + 8 = 0$的根是2，4。
1. 下列各选项中是关于 $ x $ 的一元二次方程的是(
A.$ x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=0 $
B.$ ax^{2}+bx + c = 0 $
C.$ 3x^{2}-2xy - 5y^{2}=0 $
D.$ (x - 1)(x + 2)=1 $
D
)A.$ x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=0 $
B.$ ax^{2}+bx + c = 0 $
C.$ 3x^{2}-2xy - 5y^{2}=0 $
D.$ (x - 1)(x + 2)=1 $
答案
1.D
2. 一元二次方程 $ x(x - 1)=0 $ 的解是(
A.$ x = 0 $
B.$ x = 1 $
C.$ x = 0 $ 或 $ x = 1 $
D.$ x = 0 $ 或 $ x = -1 $
C
)A.$ x = 0 $
B.$ x = 1 $
C.$ x = 0 $ 或 $ x = 1 $
D.$ x = 0 $ 或 $ x = -1 $
答案
2.C
3. 方程 $ (x - 1)(x + 3)=12 $ 化为 $ ax^{2}+bx + c = 0 $ 的形式后，$ a $，$ b $，$ c $ 的值分别为(
A.1，$ -2 $，$ -15 $
B.$ -1 $，$ -2 $，$ -15 $
C.1，2，$ -15 $
D.$ -1 $，2，$ -15 $
C
)A.1，$ -2 $，$ -15 $
B.$ -1 $，$ -2 $，$ -15 $
C.1，2，$ -15 $
D.$ -1 $，2，$ -15 $
答案
3.C
解析
解：$(x - 1)(x + 3) = 12$
$x^2 + 3x - x - 3 = 12$
$x^2 + 2x - 15 = 0$
则$a=1$，$b=2$，$c=-15$，答案选C。
$x^2 + 3x - x - 3 = 12$
$x^2 + 2x - 15 = 0$
则$a=1$，$b=2$，$c=-15$，答案选C。
4. 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^{2}+bx + 5 = 0 $ 有一个根为 $ x = 1 $，则 $ 214 - a - b = $
219
.答案
4.219
解析
解：因为关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+bx + 5 = 0$有一个根为$x = 1$，将$x = 1$代入方程得：$a×1^{2}+b×1 + 5 = 0$，即$a + b + 5 = 0$，所以$a + b=-5$。则$214 - a - b=214-(a + b)=214-(-5)=219$。
219
219
5. 已知 1 是关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}+mx + n = 0 $ 的一个根，求 $ m^{2}+2mn + n^{2} $ 的值.
答案
5.解:1.
解析
解:因为1是方程$x^{2}+mx + n = 0$的一个根，所以将$x = 1$代入方程得$1^{2}+m×1 + n = 0$，即$m + n=-1$。
$m^{2}+2mn + n^{2}=(m + n)^{2}=(-1)^{2}=1$。
故答案为1。
$m^{2}+2mn + n^{2}=(m + n)^{2}=(-1)^{2}=1$。
故答案为1。
6. 当 $ a $ 为何值时，下列方程是一元二次方程？
(1) $ ax^{2}-x = 2x^{2}-ax - 3 $；
(2) $ (a - 2)x^{a^{2}-2}+3x = 0 $.
(1) $ ax^{2}-x = 2x^{2}-ax - 3 $；
(2) $ (a - 2)x^{a^{2}-2}+3x = 0 $.
答案
6.解:
(1)当a≠2时,方程ax²-x=2x²-ax-3是一元二次方程.
(2)当a=-2时,原方程是一元二次方程.
(1)当a≠2时,方程ax²-x=2x²-ax-3是一元二次方程.
(2)当a=-2时,原方程是一元二次方程.
7. 关于 $ x $ 的一元二次方程 $ (a - 1)x^{2}+x + a^{2}-1 = 0 $ 的一个根是 0，则 $ a $ 的值为(
A.1
B.$ -1 $
C.1 或 $ -1 $
D.$ \frac{1}{2} $
B
)A.1
B.$ -1 $
C.1 或 $ -1 $
D.$ \frac{1}{2} $
答案
7.B
解析
解：将$x=0$代入方程$(a - 1)x^{2}+x + a^{2}-1 = 0$，得$a^{2}-1=0$，解得$a=1$或$a=-1$。
因为方程是一元二次方程，所以二次项系数$a - 1\neq0$，即$a\neq1$。
综上，$a=-1$。
B
因为方程是一元二次方程，所以二次项系数$a - 1\neq0$，即$a\neq1$。
综上，$a=-1$。
B
8. (安徽中考)一种药品原价每盒 25 元，经过两次降价后每盒 16 元. 设两次降价的百分率都为 $ x $，则 $ x $ 满足(
A.$ 16(1 + 2x)=25 $
B.$ 25(1 - 2x)=16 $
C.$ 16(1 + x)^{2}=25 $
D.$ 25(1 - x)^{2}=16 $
D
)A.$ 16(1 + 2x)=25 $
B.$ 25(1 - 2x)=16 $
C.$ 16(1 + x)^{2}=25 $
D.$ 25(1 - x)^{2}=16 $
答案
8.D
解析
原价每盒25元，第一次降价后价格为$25(1 - x)$元，第二次降价是在第一次降价后的价格基础上进行的，所以两次降价后价格为$25(1 - x)^2$元，已知两次降价后每盒16元，故$x$满足$25(1 - x)^2 = 16$。
D
D
9. 已知 $ a $，$ b $，$ c $ 为一个三角形三条边的长，求证：$ ax^{2}+bx(x - 1)=cx^{2}-2b $ 是关于 $ x $ 的一元二次方程.
答案
9.证明:化简ax²+bx(x-1)=cx²-2b,得(a+b-c)x²-bx+2b=0. 因为a,b,c为一个三角形三条边的长,所以a+b＞c, 即a+b-c＞0,所以ax²+bx(x-1)=cx²-2b是关于x的一元二次方程.
解析
证明：化简$ax^{2}+bx(x - 1)=cx^{2}-2b$，得$(a + b - c)x^{2}-bx + 2b=0$。
因为$a$，$b$，$c$为一个三角形三条边的长，所以$a + b＞c$，即$a + b - c＞0$。
所以$ax^{2}+bx(x - 1)=cx^{2}-2b$是关于$x$的一元二次方程。
因为$a$，$b$，$c$为一个三角形三条边的长，所以$a + b＞c$，即$a + b - c＞0$。
所以$ax^{2}+bx(x - 1)=cx^{2}-2b$是关于$x$的一元二次方程。
10. 某校为提倡学生“多读书，读好书”，每年都要开展“过三关”免费赠书活动. 今年赠书活动的前提是顺利通过设置的三关：在每关内放置一道题，若能在规定的时间内顺利答对三道题，则可免费得到赠书. 同学们，你们想参加吗？快快行动吧！
答案
10.1 a＞-2,且a≠0 -7
解析
1
解：因为$x = -1$是方程$ax^2+bx + c=0$的根，所以$a×(-1)^2 + b×(-1)+c=0$，即$a - b + c=0$，移项得$a + c=b$，两边同时除以$b$（$b\neq0$），得$\frac{a}{b}+\frac{c}{b}=1$。
解：对于$3a + 6＞0$，解不等式得$3a＞-6$，即$a＞-2$；又因为$ax^2-5x + 3=0$是一元二次方程，所以二次项系数$a\neq0$，故$a$的取值范围是$a＞-2$且$a\neq0$。
解：因为$2x^2+3x + 7 = 8$，所以$2x^2+3x=1$，则$4x^2+6x-9=2(2x^2 + 3x)-9=2×1-9=-7$。
1；$a＞-2$且$a\neq0$；$-7$
解：因为$x = -1$是方程$ax^2+bx + c=0$的根，所以$a×(-1)^2 + b×(-1)+c=0$，即$a - b + c=0$，移项得$a + c=b$，两边同时除以$b$（$b\neq0$），得$\frac{a}{b}+\frac{c}{b}=1$。
解：对于$3a + 6＞0$，解不等式得$3a＞-6$，即$a＞-2$；又因为$ax^2-5x + 3=0$是一元二次方程，所以二次项系数$a\neq0$，故$a$的取值范围是$a＞-2$且$a\neq0$。
解：因为$2x^2+3x + 7 = 8$，所以$2x^2+3x=1$，则$4x^2+6x-9=2(2x^2 + 3x)-9=2×1-9=-7$。
1；$a＞-2$且$a\neq0$；$-7$
