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1. 下列方程一定是一元二次方程的是(
A.$3x^{2}+\frac{2}{x}-1 = 0$
B.$5x^{2}-6y - 3 = 0$
C.$ax^{2}-x + 2 = 0$
D.$(a^{2}+1)x^{2}+bx = 0$
D
)A.$3x^{2}+\frac{2}{x}-1 = 0$
B.$5x^{2}-6y - 3 = 0$
C.$ax^{2}-x + 2 = 0$
D.$(a^{2}+1)x^{2}+bx = 0$
答案
D
解析
A. 方程中含有分式$\frac{2}{x}$，不是整式方程，故不是一元二次方程。
B. 方程含有两个未知数$x$和$y$，是二元方程，故不是一元二次方程。
C. 当$a = 0$时，方程化为$-x + 2 = 0$，是一元一次方程，故不一定是一元二次方程。
D. 因为$a^2 \geq 0$，所以$a^2 + 1 \geq 1$，即二次项系数不为$0$，方程只含有一个未知数$x$，且未知数的最高次数是$2$，是整式方程，故一定是一元二次方程。
D
B. 方程含有两个未知数$x$和$y$，是二元方程，故不是一元二次方程。
C. 当$a = 0$时，方程化为$-x + 2 = 0$，是一元一次方程，故不一定是一元二次方程。
D. 因为$a^2 \geq 0$，所以$a^2 + 1 \geq 1$，即二次项系数不为$0$，方程只含有一个未知数$x$，且未知数的最高次数是$2$，是整式方程，故一定是一元二次方程。
D
2. 下列方程中不含一次项的是(
A.$3x^{2}-5 = 2x$
B.$16x = 9x^{2}$
C.$x(x - 7) = 0$
D.$(x + 5)(x - 5) = 0$
D
)A.$3x^{2}-5 = 2x$
B.$16x = 9x^{2}$
C.$x(x - 7) = 0$
D.$(x + 5)(x - 5) = 0$
答案
D
解析
A. $3x^{2}-2x - 5 = 0$，含一次项$-2x$；
B. $9x^{2}-16x = 0$，含一次项$-16x$；
C. $x^{2}-7x = 0$，含一次项$-7x$；
D. $x^{2}-25 = 0$，不含一次项。
D
B. $9x^{2}-16x = 0$，含一次项$-16x$；
C. $x^{2}-7x = 0$，含一次项$-7x$；
D. $x^{2}-25 = 0$，不含一次项。
D
3. 已知$2+\sqrt{3}$是关于x的一元二次方程$x^{2}-4x + m = 0$的一个实数根,则实数$m$的值是(
A.$0$
B.$1$
C.$-3$
D.$-1$
B
)A.$0$
B.$1$
C.$-3$
D.$-1$
答案
B
解析
解：将$x = 2+\sqrt{3}$代入方程$x^{2}-4x + m = 0$，得
$(2+\sqrt{3})^{2}-4(2+\sqrt{3}) + m = 0$
展开计算：
$4 + 4\sqrt{3} + 3 - 8 - 4\sqrt{3} + m = 0$
化简得：$(4 + 3 - 8) + (4\sqrt{3} - 4\sqrt{3}) + m = 0$
即$-1 + m = 0$
解得$m = 1$
B
$(2+\sqrt{3})^{2}-4(2+\sqrt{3}) + m = 0$
展开计算：
$4 + 4\sqrt{3} + 3 - 8 - 4\sqrt{3} + m = 0$
化简得：$(4 + 3 - 8) + (4\sqrt{3} - 4\sqrt{3}) + m = 0$
即$-1 + m = 0$
解得$m = 1$
B
4. 如图 21 - 1 - 1,把一块长为$40cm$,宽为$30cm$的矩形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形,然后把纸板的四边沿虚线折起,并用胶带粘好,即可做成一个无盖纸盒。若该无盖纸盒的底面积为$600cm^{2}$,设剪去小正方形的边长为$xcm$,则可列方程为(
A.$(30 - 2x)(40 - x) = 600$
B.$(30 - x)(40 - x) = 600$
C.$(30 - x)(40 - 2x) = 600$
D.$(30 - 2x)(40 - 2x) = 600$
D
)A.$(30 - 2x)(40 - x) = 600$
B.$(30 - x)(40 - x) = 600$
C.$(30 - x)(40 - 2x) = 600$
D.$(30 - 2x)(40 - 2x) = 600$
答案
D
解析
设剪去小正方形的边长为$x\,cm$，则折成的无盖纸盒底面的长为$(40 - 2x)\,cm$，宽为$(30 - 2x)\,cm$。根据底面积为$600\,cm^2$，可列方程为$(30 - 2x)(40 - 2x) = 600$。
D
D
5. 已知$(m - 1)x^{\vert m\vert+1}-2x + 1 = 0是关于x$的一元二次方程,则$m = $
-1
。答案
-1
解析
因为方程$(m - 1)x^{\vert m\vert+1}-2x + 1 = 0$是关于$x$的一元二次方程，所以需满足：
1. 未知数最高次数为$2$，即$\vert m\vert + 1 = 2$，解得$\vert m\vert=1$，$m = \pm1$；
2. 二次项系数不为$0$，即$m - 1\neq0$，$m\neq1$。
综上，$m=-1$。
$-1$
1. 未知数最高次数为$2$，即$\vert m\vert + 1 = 2$，解得$\vert m\vert=1$，$m = \pm1$；
2. 二次项系数不为$0$，即$m - 1\neq0$，$m\neq1$。
综上，$m=-1$。
$-1$
6. 把方程$x(x + 2) = 5(x - 2)$化成一般式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。
答案
一般式为$x^{2}-3x + 10=0$,二次项系数、一次项系数和常数项分别为1,-3和10。
解析
解：$x(x + 2) = 5(x - 2)$
$x^{2} + 2x = 5x - 10$
$x^{2} - 3x + 10 = 0$
二次项系数为$1$，一次项系数为$-3$，常数项为$10$。
$x^{2} + 2x = 5x - 10$
$x^{2} - 3x + 10 = 0$
二次项系数为$1$，一次项系数为$-3$，常数项为$10$。
7. 已知$m是方程x^{2}+3x - 1 = 0$的一个根,求代数式$2m^{2}+6m - 3$的值。
答案
-1
解析
∵$m$是方程$x^{2}+3x - 1 = 0$的一个根，
$\therefore m^{2}+3m - 1 = 0$，
$\therefore m^{2}+3m = 1$，
$\therefore 2m^{2}+6m - 3 = 2(m^{2}+3m) - 3 = 2×1 - 3 = -1$。
8. 已知关于$x的一元二次方程x^{2}+ax + b = 0有一个非零根-b$,则$a - b$的值为(
A.$1$
B.$-1$
C.$0$
D.$-2$
A
)A.$1$
B.$-1$
C.$0$
D.$-2$
答案
A
解析
因为关于$x$的一元二次方程$x^{2}+ax + b = 0$有一个非零根$-b$，所以将$x=-b$代入方程得：$(-b)^{2}+a(-b)+b=0$，即$b^{2}-ab + b = 0$。
由于$-b$是非零根，所以$b\neq0$，方程两边同时除以$b$得：$b - a + 1 = 0$，整理得$a - b=1$。
A
由于$-b$是非零根，所以$b\neq0$，方程两边同时除以$b$得：$b - a + 1 = 0$，整理得$a - b=1$。
A
9. $k$为何值时,关于$x的方程(k + 3)(k - 1)x^{2}+(k - 1)x + 5 = 0$,(1)是一元一次方程？(2)是一元二次方程？
答案
(1)$k=-3$
(2)$k\neq-3$且$k\neq1$
