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10. 某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出$20$件,每件盈利$45$元。为了扩大销售、增加盈利,商场决定采取适当的降价措施。经调查发现,每件衬衫每降价$1$元,商场平均每天可多售出$4$件。若商场平均每天盈利$2100$元,则每件衬衫应降价多少元？请完成下列问题：
(1)未降价之前,该商场衬衫每天的总盈利为
(2)降价后,设该商场每件衬衫应降价$x$元,则每件衬衫盈利
(3)请列出方程,不用求解。
(1)未降价之前,该商场衬衫每天的总盈利为
900
元；(2)降价后,设该商场每件衬衫应降价$x$元,则每件衬衫盈利
$(45 - x)$
元,平均每天可售出$(20 + 4x)$
件；(用含$x$的代数式表示)(3)请列出方程,不用求解。
$(45 - x)(20 + 4x)=2100$
答案
(1)900
(2)$(45 - x)$ $(20 + 4x)$
(3)$(45 - x)(20 + 4x)=2100$
11. (新定义)定义新运算：$a*b = a(b - 1)$,若$a$,$b是关于x的一元二次方程x^{2}-x+\frac{1}{4}m = 0$的两实数根,求$b*b - a*a$的值。
答案
解:
∵a,b是关于x的一元二次方程$x^{2}-x+\frac{1}{4}m = 0$的两实数根,
∴$a^{2}-a=-\frac{1}{4}m$,$b^{2}-b=-\frac{1}{4}m$,
∴$b*b - a*a=b(b - 1)-a(a - 1)=b^{2}-b-(a^{2}-a)=-\frac{1}{4}m-(-\frac{1}{4}m)=0$。
∵a,b是关于x的一元二次方程$x^{2}-x+\frac{1}{4}m = 0$的两实数根,
∴$a^{2}-a=-\frac{1}{4}m$,$b^{2}-b=-\frac{1}{4}m$,
∴$b*b - a*a=b(b - 1)-a(a - 1)=b^{2}-b-(a^{2}-a)=-\frac{1}{4}m-(-\frac{1}{4}m)=0$。
数学视角
古诗词里的一元二次方程
在《九章算术》及其他古代文献中有很多的方程应用型问题,题的内容来自生活。请阅读下面的诗词,你发现了什么？
大江东去浪淘尽,千古风流数人物,
而立之年督东吴,早逝英年两位数,
十位恰小个位三,个位平方与寿符,
哪位学子算得快,多少年华属周瑜？
你知道周瑜活了多少岁吗？
若我们设周瑜去世时年龄的个位数字为$x$,则十位数字为$x - 3$,根据题意,得$x^{2}= 10(x - 3)+x$,这个方程就是一元二次方程！
古诗词里的一元二次方程
在《九章算术》及其他古代文献中有很多的方程应用型问题,题的内容来自生活。请阅读下面的诗词,你发现了什么？
大江东去浪淘尽,千古风流数人物,
而立之年督东吴,早逝英年两位数,
十位恰小个位三,个位平方与寿符,
哪位学子算得快,多少年华属周瑜？
你知道周瑜活了多少岁吗？
若我们设周瑜去世时年龄的个位数字为$x$,则十位数字为$x - 3$,根据题意,得$x^{2}= 10(x - 3)+x$,这个方程就是一元二次方程！
答案
周瑜的年龄为36岁
解析
设周瑜去世时年龄的个位数字为$x$，则十位数字为$x - 3$，由题目条件可得方程：
$x^{2} = 10(x - 3) + x$，
展开并整理得：
$x^{2} - 11x + 30 = 0$，
因式分解该方程：
$(x - 5)(x - 6) = 0$，
解得：
$x = 5 \quad 或 \quad x = 6$，
当$x = 5$时，十位数字为$x - 3 = 2$，周瑜的年龄为$25$，不符合常识（而立之年为30岁，周瑜已过而立之年），故舍去。
当$x = 6$时，十位数字为$x - 3 = 3$，周瑜的年龄为$36$岁。
$x^{2} = 10(x - 3) + x$，
展开并整理得：
$x^{2} - 11x + 30 = 0$，
因式分解该方程：
$(x - 5)(x - 6) = 0$，
解得：
$x = 5 \quad 或 \quad x = 6$，
当$x = 5$时，十位数字为$x - 3 = 2$，周瑜的年龄为$25$，不符合常识（而立之年为30岁，周瑜已过而立之年），故舍去。
当$x = 6$时，十位数字为$x - 3 = 3$，周瑜的年龄为$36$岁。
