1. 下列运算正确的是()

A.$a^3 · a^4 = a^{12}$
B.$a^3 + a^4 = a^7$
C.$(a^3)^4 = a^7$
D.$(a^3)^4 = a^{12}$

D

【分析】
这道题考查幂的运算相关基础法则，解题时需逐个验证每个选项的运算是否符合对应规则：首先明确三个核心判断依据，一是同底数幂相乘的运算规则，二是同类项才能合并的要求，三是幂的乘方的运算规则，按照这三个依据依次排查四个选项即可得出正确答案。
【解析】
我们依据幂的运算法则逐个分析选项：
1. 分析A选项：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即$a^m·a^n=a^{m+n}$，因此$a^3·a^4=a^{3+4}=a^7≠ a^{12}$，A选项运算错误。
2. 分析B选项：$a^3$和$a^4$中相同字母$a$的指数不同，不属于同类项，不能直接合并相加，B选项运算错误。
3. 分析C选项：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即$(a^m)^n=a^{m× n}$，因此$(a^3)^4=a^{3×4}=a^{12}≠ a^7$，C选项运算错误。
4. 分析D选项：根据幂的乘方法则计算可得$(a^3)^4=a^{3×4}=a^{12}$，运算正确。
【答案】
D
【知识点】
同底数幂的乘法、合并同类项、幂的乘方
【点评】
本题是幂运算的基础考查题，重点要求学生准确区分不同幂运算的指数计算规则，避免混淆各类运算法则。
【难度系数】
0.8

2. 计算$(m^2)^3 · m^4$,结果等于()

A.$m^9$
B.$m^{10}$
C.$m^{12}$
D.$m^{14}$

B

【分析】
这道题属于幂的混合运算题，解题时先明确运算顺序：先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法。首先回忆幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；再回忆同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加，按顺序代入计算即可得到结果。
【解析】
第一步，计算幂的乘方部分：
根据幂的乘方法则，$(m^2)^3 = m^{2×3}=m^6$；
第二步，计算同底数幂的乘法：
根据同底数幂的乘法法则，$m^6 · m^4 = m^{6+4}=m^{10}$；
因此计算结果为$m^{10}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
幂的乘方运算、同底数幂的乘法运算
【点评】
本题是幂运算的基础考查题，解题关键是熟练区分并正确应用幂的乘方、同底数幂的乘法法则，避免混淆指数的运算规则（相乘/相加）导致出错。
【难度系数】
0.9

3. $(a^3)^2 + a^2 · a^4 = (\quad)$

A.$2a^9$
B.$2a^6$
C.$a^6 + a^8$
D.$a^{12}$

B

【分析】
这道题需要分别计算两个幂运算的结果，再合并同类项得到最终答案。解题时首先回忆相关运算法则：①幂的乘方，底数不变，指数相乘；②同底数幂相乘，底数不变，指数相加。先分别计算两个项的值，再判断是否为同类项，若为同类项则合并系数即可。
【解析】
第一步，计算幂的乘方项：根据幂的乘方法则，$(a^3)^2 = a^{3×2}=a^6$；
第二步，计算同底数幂的乘法项：根据同底数幂乘法法则，$a^2· a^4 = a^{2+4}=a^6$；
第三步，合并同类项：$a^6 + a^6 = (1+1)a^6=2a^6$。
对应选项为B。
【答案】
B
【知识点】
幂的乘方运算；同底数幂的乘法；合并同类项
【点评】
本题是幂运算的基础常规题，核心考查幂的相关运算法则的应用，解题时需注意区分幂的乘方与同底数幂乘法的指数运算规则，避免混淆，再正确合并同类项即可得分。
【难度系数】
0.8

4. 若$(x^3)^n=x^9$，则$n$的值为（）

A.9
B.6
C.3
D.2

C

【分析】
解题时首先回忆幂的乘方的运算规则，先对等式左边的式子进行化简，再根据“两个同底数幂如果相等，那么它们的指数也相等”的性质，建立关于n的一元一次方程，最后解方程即可得到n的值。
【解析】
根据幂的乘方法则：$(a^m)^n=a^{mn}$（m、n均为正整数），对等式左边化简可得：
$(x^3)^n=x^{3× n}=x^{3n}$
已知$(x^3)^n=x^9$，因此可得$x^{3n}=x^9$，同底数幂相等时指数相等，所以：
$3n=9$
解得$n=3$
【答案】
C
【知识点】
幂的乘方运算；一元一次方程求解
【点评】
本题属于幂运算的基础题型，核心考查对幂的乘方法则的记忆与应用，熟练掌握相关运算法则即可快速求解。
【难度系数】
0.9

5. 如图,王老师把家里的WIFI密码设置成了数学问题. 吴同学来王老师家做客,看到WIFI图片,思索了一会儿,输入密码,顺利地连接到了王老师家里的网络,那么她输入的密码是()

A.yang84488
B.Yang8288
C.yang8488
D.yang8888

D

【分析】
解题首先要从已知的两个示例中总结出⊕运算的规则：①符号左侧汉字的小写拼音是密码的字母部分；②符号右侧括号内的整式需要利用幂的运算法则化简为$x^ay^bz^c$的形式，密码的数字部分就是将x、y、z的指数a、b、c按顺序拼接得到的数。先验证规律的正确性，再运用规律计算第三个式子即可得到密码。
【解析】
第一步：验证规律：
第一个示例：“王”的拼音为wang，括号内$x^{13}yz^4=x^{13}y^1z^4$，x指数13、y指数1、z指数4，拼接得数字1314，整体为wang1314，与已知结果一致。
第二个示例：“浩”的拼音为hao，先化简括号内式子：
$xy^{15}· x^2z^{20}=x^{1+2}y^{15}z^{20}=x^3y^{15}z^{20}$，x指数3、y指数15、z指数20，拼接得数字31520，整体为hao31520，与已知结果一致，规律成立。
第二步：计算所求密码：
“阳”的拼音为yang，先化简括号内的幂运算式：
根据幂的乘方法则（底数不变，指数相乘）：
$(x^2)^4=x^{2×4}=x^8$，$(y^2)^2=y^{2×2}=y^4$，$(z^{44})^2=z^{44×2}=z^{88}$
再根据同底数幂乘法法则（底数不变，指数相加）合并y项：
$y^4· y^4=y^{4+4}=y^8$
因此化简后式子为$x^8y^8z^{88}$，x指数8、y指数8、z指数88，拼接得数字8888，组合得密码为yang8888。
【答案】
D
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【点评】
本题属于新定义类创新题，结合生活场景设计题目，趣味性较强，解题的核心是先从已知示例归纳运算规则，再正确运用幂的运算法则计算指数即可。
【难度系数】
0.7

二、填空题
1. 计算：$(m^2)^5=$；$(x^3)^6=$。
浩⊕$[xy^{15}·x^2z^{20}]$=hao31520
阳⊕$[(x^2)^4·y^4·(y^2)^2·(z^{44})^2]$=密码

解：
根据幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
$(m^2)^5 = m^{2×5} = m^{10}$
$(x^3)^6 = x^{3×6} = x^{18}$
化简密码对应括号内的式子：
$\begin{aligned}&(x^2)^4 · y^4 · (y^2)^2 · (z^{44})^2\\=& x^{2×4} · y^4 · y^{2×2} · z^{44×2}\\=& x^8 · y^4 · y^4 · z^{88}\\=& x^8 y^{4+4} z^{88}\\=& x^8 y^8 z^{88}\end{aligned}$
参照已知运算规则，将$x$、$y$、$z$的指数依次拼接，得密码为8888。
答案依次为：$\boldsymbol{m^{10}}$；$\boldsymbol{x^{18}}$；密码为$\boldsymbol{8888}$。

【分析】
前两道填空是幂的乘方的基础运算题，解题时直接套用幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，即可算出结果。求解密码时，首先观察已知的两个运算示例，总结运算规则：⊕运算的数字结果由后面单项式中x、y、z的指数按顺序拼接得到；再利用幂的乘方、同底数幂的乘法法则化简阳对应的括号内的整式，得到x、y、z的指数，最后按规则拼接指数就能得到密码。
【解析】
1. 计算幂的乘方：
根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$（m、n为正整数）：
$(m^2)^5 = m^{2×5}=m^{10}$
$(x^3)^6 = x^{3×6}=x^{18}$
2. 求解密码：
先根据幂的乘方法则、同底数幂的乘法法则$a^m·a^n=a^{m+n}$（m、n为正整数）化简整式：
$\begin{aligned}&(x^2)^4·y^4·(y^2)^2·(z^{44})^2\\=&x^{2×4}·y^4·y^{2×2}·z^{44×2}\\=&x^8·y^4·y^4·z^{88}\\=&x^8·y^{4+4}·z^{88}\\=&x^8y^8z^{88}\end{aligned}$
结合运算规则，x的指数为8，y的指数为8，z的指数为88，按顺序拼接得数字部分为8888，即密码为8888。
【答案】
$m^{10}$；$x^{18}$；$\boldsymbol{8888}$
【知识点】
幂的乘方运算，同底数幂的乘法，新定义运算
【点评】
本题既考查了幂的运算基础法则的掌握情况，又通过新定义的形式考查了信息提取和知识迁移应用的能力，整体考查方向偏向基础，难度不高。
【难度系数】
0.8

2. 计算：$(x^3)^4 · x^2 =$ 。

解：
原式 = x^(3×4) · x²
$= x^12 · x^2$
= x^(12+2)
$= x^14$

【分析】
本题是幂的混合运算题，解题遵循先算乘方、再算乘法的运算顺序。第一步先计算幂的乘方，依据幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，求出$(x^3)^4$的结果；第二步计算同底数幂的乘法，依据同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加，即可得到最终结果。
【解析】
解：先计算幂的乘方：
原式$=x^{3×4} · x^2$
$=x^{12} · x^2$
再计算同底数幂的乘法：
$=x^{12+2}$
$=x^{14}$
【答案】
$x^{14}$
【知识点】
1.幂的乘方法则 2.同底数幂的乘法法则
【点评】
本题属于幂运算的基础题型，重点考查对幂的两个核心运算法则的区分与应用，解题时需注意运算顺序，同时不要混淆两种运算中指数的计算规则，避免出现指数运算错误。
【难度系数】
0.9

3. 计算：$y^2y^4+(y^2)^3=$.

解：
由同底数幂的乘法法则，得 $y^2 y^4 = y^{2+4} = y^6$
由幂的乘方法则，得 $(y^2)^3 = y^{2×3} = y^6$
因此原式$= y^6 + y^6 = 2y^6$

【分析】
解题时先观察式子结构，原式由两部分相加组成，第一部分是同底数幂的乘法运算，第二部分是幂的乘方运算。首先分别运用对应的幂的运算法则计算出每一项的结果，再合并同类项即可得到最终结果。
【解析】
第一步，计算同底数幂的乘法：根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加的法则，可得$y^2 y^4 = y^{2+4} = y^6$；
第二步，计算幂的乘方：根据幂的乘方，底数不变，指数相乘的法则，可得$(y^2)^3 = y^{2×3} = y^6$；
第三步，合并同类项：将两项结果相加，原式$= y^6 + y^6 = 2y^6$。
【答案】
$2y^6$
【知识点】
同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项
【点评】
本题是幂运算的常规基础题，核心是区分同底数幂乘法和幂的乘方的指数运算规则，避免将指数相加和相乘混淆，熟练掌握运算法则即可轻松解答。
【难度系数】
0.9

4. 为了保证农作物不受旱灾的影响，某生产队决定修建一个棱长为$a^2\ \mathrm{m}$的正方体蓄水池，则该蓄水池最多能蓄水 $\mathrm{m}^3$.

解：正方体蓄水池的容积为棱长的立方，根据幂的乘方法则，底数不变，指数相乘，可得：
$(a^2)^3 = a^{2×3} = a^6$
故该蓄水池最多能蓄水$\boldsymbol{a^6}\ \mathrm{m}^3$。

【分析】
要解决这个问题，首先明确求蓄水池最多蓄水量就是求该正方体蓄水池的容积。第一步回忆正方体容积（体积）公式：正方体体积=棱长的立方；第二步将棱长$a^2$代入公式，得到算式$(a^2)^3$；第三步运用幂的乘方运算规则计算该式即可得到结果。
【解析】
正方体的容积等于棱长的立方，将棱长$a^2\ \mathrm{m}$代入公式可得：
$\mathrm{容积}=(a^2)^3$
根据幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，计算得：
$(a^2)^3 = a^{2×3}=a^6$
【答案】
$a^6$
【知识点】
正方体体积计算，幂的乘方运算
【点评】
本题结合生活实际场景考查基础运算，核心是将实际问题转化为幂的运算问题，熟练掌握幂的乘方法则即可快速解题。
【难度系数】
0.9

5*. 若$4^a=2$，$4^b=3$，则$4^{2a+b}$的值为。

$\boldsymbol{12}$

【分析】
解题时先观察所求代数式的指数结构，指数为2a+b，是两个式子的和，首先可以利用同底数幂乘法的逆运算，将$4^{2a+b}$拆分为$4^{2a}$与$4^b$的乘积；再看$4^{2a}$的指数是2与a的乘积，可利用幂的乘方的逆运算变形为$(4^a)^2$，最后把已知的$4^a=2$、$4^b=3$代入变形后的式子计算即可。
【解析】
解：根据幂的运算性质逆用变形：
1. 由同底数幂乘法的逆运算$a^{m+n}=a^m· a^n$，可得：
$4^{2a+b}=4^{2a} × 4^b$
2. 由幂的乘方的逆运算$(a^m)^n=a^{mn}$，可得：
$4^{2a}=(4^a)^2$
3. 代入已知条件$4^a=2$，$4^b=3$计算：
原式$=(4^a)^2 × 4^b = 2^2 × 3 = 4 × 3 = 12$
【答案】
$\boldsymbol{12}$
【知识点】
同底数幂的乘法，幂的乘方
【点评】
本题是幂运算的基础常考题，核心考查幂的运算公式的逆用，解题关键是熟练掌握幂的运算法则，能根据所求式子的指数结构灵活对公式做变形。
【难度系数】
0.8

三、解答题
1. 计算下列各式：
(1) $(a^4)^2 · a$；
(2) $(x^2)^3 · (x^3)^5$；
(3) $(a^5)^3 + (a^3)^5$；
(4) $(a^3)^4 + a^2 · a^{10} + (a^6)^2$；
(5) $(a^2)^3 · a^4 - (a^5)^2$；
(6) $(a^2)^n · a^3$（n为正整数）；
(7) $(y^3)^2 · y + (y^2)^2 · y^3$；
(8) $(x^4)^2 + (x^2)^8 - x(x^2)^2 · x^3$；

解：
(1)
$\begin{aligned}(a^4)^2 · a&=a^{4×2}· a\\&=a^8· a\\&=a^{8+1}\\&=a^9\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}(x^2)^3 · (x^3)^5&=x^{2×3}· x^{3×5}\\&=x^6· x^{15}\\&=x^{6+15}\\&=x^{21}\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}(a^5)^3 + (a^3)^5&=a^{5×3}+a^{3×5}\\&=a^{15}+a^{15}\\&=2a^{15}\end{aligned}$
(4)
$\begin{aligned}(a^3)^4 + a^2 · a^{10} + (a^6)^2&=a^{3×4}+a^{2+10}+a^{6×2}\\&=a^{12}+a^{12}+a^{12}\\&=3a^{12}\end{aligned}$
(5)
$\begin{aligned}(a^2)^3 · a^4 - (a^5)^2&=a^{2×3}· a^4 - a^{5×2}\\&=a^6· a^4 - a^{10}\\&=a^{10}-a^{10}\\&=0\end{aligned}$
(6)
$\begin{aligned}(a^2)^n · a^3&=a^{2n}· a^3\\&=a^{2n+3}\end{aligned}$
(7)
$\begin{aligned}(y^3)^2 · y + (y^2)^2 · y^3&=y^{3×2}· y + y^{2×2}· y^3\\&=y^6· y + y^4· y^3\\&=y^7+y^7\\&=2y^7\end{aligned}$
(8)
$\begin{aligned}(x^4)^2 + (x^2)^8 - x(x^2)^2 · x^3&=x^{4×2}+x^{2×8}-x· x^{4}· x^3\\&=x^8+x^{16}-x^{1+4+3}\\&=x^8+x^{16}-x^8\\&=x^{16}\end{aligned}$

【分析】
这组题目均考查幂的相关运算，解题遵循固定运算顺序：先算幂的乘方，再算同底数幂的乘法，最后合并同类项即可。核心运算法则：①幂的乘方：底数不变，指数相乘，即$(a^m)^n=a^{mn}$（m、n为正整数）；②同底数幂相乘：底数不变，指数相加，即$a^m·a^n=a^{m+n}$（m、n为正整数）；③合并同类项：同类项系数相加，字母和字母指数不变。按照上述规则逐题计算即可。
【解析】
(1)
$\begin{aligned}(a^4)^2 · a&=a^{4×2}· a\\&=a^8· a\\&=a^{8+1}\\&=a^9\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}(x^2)^3 · (x^3)^5&=x^{2×3}· x^{3×5}\\&=x^6· x^{15}\\&=x^{6+15}\\&=x^{21}\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}(a^5)^3 + (a^3)^5&=a^{5×3}+a^{3×5}\\&=a^{15}+a^{15}\\&=2a^{15}\end{aligned}$
(4)
$\begin{aligned}(a^3)^4 + a^2 · a^{10} + (a^6)^2&=a^{3×4}+a^{2+10}+a^{6×2}\\&=a^{12}+a^{12}+a^{12}\\&=3a^{12}\end{aligned}$
(5)
$\begin{aligned}(a^2)^3 · a^4 - (a^5)^2&=a^{2×3}· a^4 - a^{5×2}\\&=a^6· a^4 - a^{10}\\&=a^{10}-a^{10}\\&=0\end{aligned}$
(6)
$\begin{aligned}(a^2)^n · a^3&=a^{2n}· a^3\\&=a^{2n+3}\end{aligned}$
(7)
$\begin{aligned}(y^3)^2 · y + (y^2)^2 · y^3&=y^{3×2}· y + y^{2×2}· y^3\\&=y^6· y + y^4· y^3\\&=y^7+y^7\\&=2y^7\end{aligned}$
(8)
$\begin{aligned}(x^4)^2 + (x^2)^8 - x(x^2)^2 · x^3&=x^{4×2}+x^{2×8}-x· x^{4}· x^3\\&=x^8+x^{16}-x^{1+4+3}\\&=x^8+x^{16}-x^8\\&=x^{16}\end{aligned}$
【答案】
(1)$a^9$；(2)$x^{21}$；(3)$2a^{15}$；(4)$3a^{12}$；(5)$0$；(6)$a^{2n+3}$；(7)$2y^7$；(8)$x^{16}$
【知识点】
幂的乘方运算、同底数幂的乘法、合并同类项
【点评】
本题是幂运算的基础训练题，重点考查对幂的运算法则的识记与应用，解题时要注意区分幂的乘方和同底数幂乘法的指数运算规则，避免混淆，同时严格遵循运算顺序计算即可。
【难度系数】
0.85