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1. ★★★ (2026·杭州校级月考)将抛物线$C_0:y=(x+2)^2$向上平移$n$个单位长度后得抛物线$C_1$,将$C_1$向左平移$n$个单位长度后得$C_2$,若$C_1,C_2$均经过点$A(-3,a)$,且$n＞0$,则$a$的值为
3
.答案
1. 3
解析
【分析】解决本题的核心是掌握抛物线平移“上加下减常数项，左加右减自变量”的规律，首先根据平移规则分别写出抛物线$C_1$、$C_2$的解析式，再将点$A$的坐标代入两个解析式，得到关于$n$和$a$的方程组，结合$n＞0$的条件求解$n$，最后代入求出$a$的值即可。
【解析】根据抛物线平移规律推导解析式：
1. 抛物线$C_0:y=(x+2)^2$向上平移$n$个单位长度得到$C_1$，因此$C_1$的解析式为：$\boldsymbol{y=(x+2)^2 + n}$
2. 将$C_1$向左平移$n$个单位长度得到$C_2$，因此$C_2$的解析式为：$\boldsymbol{y=(x+2+n)^2 + n}$
已知点$A(-3,a)$同时在$C_1$、$C_2$上，将$x=-3,y=a$分别代入两个解析式：
代入$C_1$得：$a=(-3+2)^2 + n = 1 + n$ ①
代入$C_2$得：$a=(-3+2+n)^2 + n = (n-1)^2 + n$ ②
联立①②消去$a$：
$1 + n = (n-1)^2 + n$
两边同时减去$n$得：$(n-1)^2=1$
开平方得$n-1=\pm1$，解得$n=2$或$n=0$
因为$n＞0$，故舍去$n=0$，取$n=2$
将$n=2$代入①式，得$a=1+2=3$
【答案】3
【知识点】抛物线的平移规律；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】本题考查二次函数图象的平移性质，解题的关键是准确掌握平移规则，注意“左加右减”是针对自变量$x$本身的变化，不要混淆平移方向，求解$n$时要注意结合题目的限定条件取舍结果。
【难度系数】0.7
【解析】根据抛物线平移规律推导解析式：
1. 抛物线$C_0:y=(x+2)^2$向上平移$n$个单位长度得到$C_1$，因此$C_1$的解析式为：$\boldsymbol{y=(x+2)^2 + n}$
2. 将$C_1$向左平移$n$个单位长度得到$C_2$，因此$C_2$的解析式为：$\boldsymbol{y=(x+2+n)^2 + n}$
已知点$A(-3,a)$同时在$C_1$、$C_2$上，将$x=-3,y=a$分别代入两个解析式：
代入$C_1$得：$a=(-3+2)^2 + n = 1 + n$ ①
代入$C_2$得：$a=(-3+2+n)^2 + n = (n-1)^2 + n$ ②
联立①②消去$a$：
$1 + n = (n-1)^2 + n$
两边同时减去$n$得：$(n-1)^2=1$
开平方得$n-1=\pm1$，解得$n=2$或$n=0$
因为$n＞0$，故舍去$n=0$，取$n=2$
将$n=2$代入①式，得$a=1+2=3$
【答案】3
【知识点】抛物线的平移规律；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】本题考查二次函数图象的平移性质，解题的关键是准确掌握平移规则，注意“左加右减”是针对自变量$x$本身的变化，不要混淆平移方向，求解$n$时要注意结合题目的限定条件取舍结果。
【难度系数】0.7
2. ★★★ (2025·辽宁期中)如图,两条抛物线$y_1=(x-1)^2+2$和$y_2=(x-1)^2-1$与分别经过点$(-1,0),(3,0)$,且平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为
12
. 答案
2. 12
解析
【分析】
首先观察两个抛物线的解析式，发现二者的二次项、一次项完全相同，说明两条抛物线形状完全一致，仅为上下平移得到，因此在同一横坐标处，两条抛物线的纵坐标差值为定值。接下来先计算这个纵向定值差，再求出两条平行于y轴的直线之间的水平宽度，最后利用割补思想，将不规则的阴影部分转化为矩形，即可用矩形面积公式求出阴影面积。
【解析】
先计算同一$x$取值下两个函数的差值：
$y_1 - y_2 = [(x-1)^2 + 2] - [(x-1)^2 - 1] = 3$，即任意横坐标处，两条抛物线的纵向距离恒为3。
由题可知，两条平行于y轴的直线为$x=-1$和$x=3$，两条直线的水平距离为$3 - (-1) = 4$。
由于两条抛物线形状相同，阴影部分可通过割补转化为长为4、宽为3的矩形，因此阴影面积$S = 4 × 3 = 12$。
【答案】
12
【知识点】
1. 二次函数平移性质
2. 割补法求面积
【点评】
本题巧妙利用二次函数平移的性质，将不规则的阴影面积转化为规则矩形面积进行计算，核心考查转化思想的应用，避免了对不规则图形的复杂分割计算。
【难度系数】
0.6
首先观察两个抛物线的解析式，发现二者的二次项、一次项完全相同，说明两条抛物线形状完全一致，仅为上下平移得到，因此在同一横坐标处，两条抛物线的纵坐标差值为定值。接下来先计算这个纵向定值差，再求出两条平行于y轴的直线之间的水平宽度，最后利用割补思想，将不规则的阴影部分转化为矩形，即可用矩形面积公式求出阴影面积。
【解析】
先计算同一$x$取值下两个函数的差值：
$y_1 - y_2 = [(x-1)^2 + 2] - [(x-1)^2 - 1] = 3$，即任意横坐标处，两条抛物线的纵向距离恒为3。
由题可知，两条平行于y轴的直线为$x=-1$和$x=3$，两条直线的水平距离为$3 - (-1) = 4$。
由于两条抛物线形状相同，阴影部分可通过割补转化为长为4、宽为3的矩形，因此阴影面积$S = 4 × 3 = 12$。
【答案】
12
【知识点】
1. 二次函数平移性质
2. 割补法求面积
【点评】
本题巧妙利用二次函数平移的性质，将不规则的阴影面积转化为规则矩形面积进行计算，核心考查转化思想的应用，避免了对不规则图形的复杂分割计算。
【难度系数】
0.6
3. 已知二次函数$y=-\dfrac{1}{3}(x-m)(x-m-9)$的图象$l_1$，现将$l_1$向下平移$k$个单位长度得到图象$l_2$。若$l_1,l_2$都与$x$轴有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则$k$的值为
6
。答案
3. 6
解析
【分析】
首先根据二次函数的交点式求出$l_1$与$x$轴的两个交点，得到两交点的间距为9；再根据平移规律写出$l_2$的解析式，利用韦达定理推导$l_2$与$x$轴两交点的距离表达式；结合四个交点相邻间距相等的条件，推出每个间隔为3，得到$l_2$两交点的距离为3，列方程求解$k$，最后验证结果符合题意。
【解析】
1. 求$l_1$与$x$轴的交点间距：
令$y=-\dfrac{1}{3}(x-m)(x-m-9)=0$，解得$x_1=m$，$x_2=m+9$，
因此$l_1$与$x$轴的两个交点为$(m,0)$、$(m+9,0)$，两交点间距为$(m+9)-m=9$。
2. 求$l_2$与$x$轴的交点间距：
将$l_1$向下平移$k$个单位得到$l_2$，则$l_2$的解析式为$y=-\dfrac{1}{3}(x-m)(x-m-9)-k$，
令$y=0$，整理得$x^2-(2m+9)x+m(m+9)+3k=0$，
设$l_2$与$x$轴两交点的横坐标为$x_3$、$x_4$，由韦达定理得：
$x_3+x_4=2m+9$，$x_3x_4=m^2+9m+3k$，
因此两交点间距$|x_3-x_4|=\sqrt{(x_3+x_4)^2-4x_3x_4}=\sqrt{(2m+9)^2-4(m^2+9m+3k)}=\sqrt{81-12k}$。
3. 列方程求解$k$：
四个交点每相邻两点距离相等，共3个相等间隔，总间距为9，故每个间隔长为$9÷3=3$，
因此$l_2$的两交点间距为3，即$\sqrt{81-12k}=3$，
两边平方得$81-12k=9$，解得$k=6$。
4. 验证：$l_1$顶点纵坐标为$\dfrac{27}{4}＞0$，与$x$轴有两个交点；$l_2$顶点纵坐标为$\dfrac{27}{4}-6=\dfrac{3}{4}＞0$，也与$x$轴有两个交点，符合题意。
【答案】
6
【知识点】
二次函数的平移、二次函数与x轴交点、韦达定理应用
【点评】
本题结合二次函数平移的性质，考查抛物线与x轴交点间距的计算，解题关键是根据交点间距相等的条件建立方程，注意计算后要验证结果是否符合题目的限制条件。
【难度系数】
0.6
首先根据二次函数的交点式求出$l_1$与$x$轴的两个交点，得到两交点的间距为9；再根据平移规律写出$l_2$的解析式，利用韦达定理推导$l_2$与$x$轴两交点的距离表达式；结合四个交点相邻间距相等的条件，推出每个间隔为3，得到$l_2$两交点的距离为3，列方程求解$k$，最后验证结果符合题意。
【解析】
1. 求$l_1$与$x$轴的交点间距：
令$y=-\dfrac{1}{3}(x-m)(x-m-9)=0$，解得$x_1=m$，$x_2=m+9$，
因此$l_1$与$x$轴的两个交点为$(m,0)$、$(m+9,0)$，两交点间距为$(m+9)-m=9$。
2. 求$l_2$与$x$轴的交点间距：
将$l_1$向下平移$k$个单位得到$l_2$，则$l_2$的解析式为$y=-\dfrac{1}{3}(x-m)(x-m-9)-k$，
令$y=0$，整理得$x^2-(2m+9)x+m(m+9)+3k=0$，
设$l_2$与$x$轴两交点的横坐标为$x_3$、$x_4$，由韦达定理得：
$x_3+x_4=2m+9$，$x_3x_4=m^2+9m+3k$，
因此两交点间距$|x_3-x_4|=\sqrt{(x_3+x_4)^2-4x_3x_4}=\sqrt{(2m+9)^2-4(m^2+9m+3k)}=\sqrt{81-12k}$。
3. 列方程求解$k$：
四个交点每相邻两点距离相等，共3个相等间隔，总间距为9，故每个间隔长为$9÷3=3$，
因此$l_2$的两交点间距为3，即$\sqrt{81-12k}=3$，
两边平方得$81-12k=9$，解得$k=6$。
4. 验证：$l_1$顶点纵坐标为$\dfrac{27}{4}＞0$，与$x$轴有两个交点；$l_2$顶点纵坐标为$\dfrac{27}{4}-6=\dfrac{3}{4}＞0$，也与$x$轴有两个交点，符合题意。
【答案】
6
【知识点】
二次函数的平移、二次函数与x轴交点、韦达定理应用
【点评】
本题结合二次函数平移的性质，考查抛物线与x轴交点间距的计算，解题关键是根据交点间距相等的条件建立方程，注意计算后要验证结果是否符合题目的限制条件。
【难度系数】
0.6
4. ★★★ 在平面直角坐标系中,如果抛物线$y=2x^2$不动,把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位长度,那么在新坐标系下抛物线的表达式是
$y=2(x+2)^2-2$
.答案
4. $y=2(x+2)^2-2$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先要明确坐标轴平移和函数图像相对平移的关系：坐标轴的平移方向与抛物线相对于新坐标系的平移方向恰好相反。因此我们可以先把x轴、y轴的平移转化为抛物线的反向平移，再结合二次函数图像平移的“左加右减，上加下减”规律，就能求出新坐标系下抛物线的表达式。
【解析】
步骤1：转化平移关系
x轴向上平移2个单位，等价于抛物线相对于新坐标系向下平移2个单位；
y轴向右平移2个单位，等价于抛物线相对于新坐标系向左平移2个单位。
步骤2：应用二次函数平移规律
二次函数平移规律为：针对自变量x，向左平移$h(h＞0)$个单位时，x替换为$x+h$，向右平移则替换为$x-h$（即左加右减）；针对函数整体，向上平移$k(k＞0)$个单位时整体加k，向下平移则整体减k（即上加下减）。
原抛物线解析式为$y=2x^2$：
① 先向左平移2个单位，得到$y=2(x+2)^2$；
② 再向下平移2个单位，得到$y=2(x+2)^2 - 2$。
（也可通过坐标变换验证：设新坐标系下点的坐标为$(x,y)$，对应原坐标系坐标为$(x_0,y_0)$，由平移规则得$x_0=x+2$，$y_0=y+2$，代入原抛物线方程$y_0=2x_0^2$，得$y+2=2(x+2)^2$，整理得$y=2(x+2)^2 -2$）
【答案】
$y=2(x+2)^2-2$
【知识点】
二次函数平移规律；坐标平移变换
【点评】
本题的易错点是混淆坐标轴平移和函数图像平移的方向，解题核心是将坐标轴的平移转化为函数图像的反向平移，再套用二次函数平移的规律即可求解，是二次函数平移类的典型易错题。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，首先要明确坐标轴平移和函数图像相对平移的关系：坐标轴的平移方向与抛物线相对于新坐标系的平移方向恰好相反。因此我们可以先把x轴、y轴的平移转化为抛物线的反向平移，再结合二次函数图像平移的“左加右减，上加下减”规律，就能求出新坐标系下抛物线的表达式。
【解析】
步骤1：转化平移关系
x轴向上平移2个单位，等价于抛物线相对于新坐标系向下平移2个单位；
y轴向右平移2个单位，等价于抛物线相对于新坐标系向左平移2个单位。
步骤2：应用二次函数平移规律
二次函数平移规律为：针对自变量x，向左平移$h(h＞0)$个单位时，x替换为$x+h$，向右平移则替换为$x-h$（即左加右减）；针对函数整体，向上平移$k(k＞0)$个单位时整体加k，向下平移则整体减k（即上加下减）。
原抛物线解析式为$y=2x^2$：
① 先向左平移2个单位，得到$y=2(x+2)^2$；
② 再向下平移2个单位，得到$y=2(x+2)^2 - 2$。
（也可通过坐标变换验证：设新坐标系下点的坐标为$(x,y)$，对应原坐标系坐标为$(x_0,y_0)$，由平移规则得$x_0=x+2$，$y_0=y+2$，代入原抛物线方程$y_0=2x_0^2$，得$y+2=2(x+2)^2$，整理得$y=2(x+2)^2 -2$）
【答案】
$y=2(x+2)^2-2$
【知识点】
二次函数平移规律；坐标平移变换
【点评】
本题的易错点是混淆坐标轴平移和函数图像平移的方向，解题核心是将坐标轴的平移转化为函数图像的反向平移，再套用二次函数平移的规律即可求解，是二次函数平移类的典型易错题。
【难度系数】
0.6
5. 将抛物线 $y=-x^2 -2x +3$ 沿直线 $y=-x +1$ 方向平移 $2\sqrt{2}$ 个单位长度后的表达式为
$y=-(x+3)^2+6$ 或 $y=-(x-1)^2+2$
。答案
5. $y=-(x+3)^2+6$ 或 $y=-(x-1)^2+2$
解析
【分析】
解题思路可分为三步：①先将原抛物线化为顶点式，确定原顶点坐标，抛物线平移仅改变位置，二次项系数不变，只需计算平移后的顶点坐标即可；②分析沿直线y=-x+1平移2√2个单位的位移分量：该直线斜率为-1，平移距离2√2可分解为水平、竖直方向各平移2个单位，共两种平移方向：向右下平移（右移2、下移2）、向左上平移（左移2、上移2）；③根据平移规则求出新顶点坐标，代入顶点式即可得到平移后的解析式。
【解析】
1. 先将原抛物线配方为顶点式：
$\begin{aligned}y&=-x^2-2x+3\\&=-(x^2+2x)+3\\&=-(x^2+2x+1-1)+3\\&=-(x+1)^2+4\end{aligned}$
可得原抛物线顶点坐标为$(-1,4)$，二次项系数$a=-1$，平移后$a$不变。
2. 计算平移后的顶点坐标：
沿直线$y=-x+1$平移$2\sqrt{2}$个单位，有两种情况：
① 向右下方平移：水平右移2个单位，竖直下移2个单位，新顶点为$(-1+2,4-2)=(1,2)$，代入顶点式得$y=-(x-1)^2+2$；
② 向左上方平移：水平左移2个单位，竖直上移2个单位，新顶点为$(-1-2,4+2)=(-3,6)$，代入顶点式得$y=-(x+3)^2+6$。
【答案】
$y=-(x+3)^2+6$ 或 $y=-(x-1)^2+2$
【知识点】
二次函数配方；抛物线平移；坐标平移
【点评】
本题核心是将沿斜线的平移转化为水平、竖直方向的平移，需注意平移有两个方向，避免漏解，同时熟练掌握抛物线顶点式的应用是解题的基础。
【难度系数】
0.6
解题思路可分为三步：①先将原抛物线化为顶点式，确定原顶点坐标，抛物线平移仅改变位置，二次项系数不变，只需计算平移后的顶点坐标即可；②分析沿直线y=-x+1平移2√2个单位的位移分量：该直线斜率为-1，平移距离2√2可分解为水平、竖直方向各平移2个单位，共两种平移方向：向右下平移（右移2、下移2）、向左上平移（左移2、上移2）；③根据平移规则求出新顶点坐标，代入顶点式即可得到平移后的解析式。
【解析】
1. 先将原抛物线配方为顶点式：
$\begin{aligned}y&=-x^2-2x+3\\&=-(x^2+2x)+3\\&=-(x^2+2x+1-1)+3\\&=-(x+1)^2+4\end{aligned}$
可得原抛物线顶点坐标为$(-1,4)$，二次项系数$a=-1$，平移后$a$不变。
2. 计算平移后的顶点坐标：
沿直线$y=-x+1$平移$2\sqrt{2}$个单位，有两种情况：
① 向右下方平移：水平右移2个单位，竖直下移2个单位，新顶点为$(-1+2,4-2)=(1,2)$，代入顶点式得$y=-(x-1)^2+2$；
② 向左上方平移：水平左移2个单位，竖直上移2个单位，新顶点为$(-1-2,4+2)=(-3,6)$，代入顶点式得$y=-(x+3)^2+6$。
【答案】
$y=-(x+3)^2+6$ 或 $y=-(x-1)^2+2$
【知识点】
二次函数配方；抛物线平移；坐标平移
【点评】
本题核心是将沿斜线的平移转化为水平、竖直方向的平移，需注意平移有两个方向，避免漏解，同时熟练掌握抛物线顶点式的应用是解题的基础。
【难度系数】
0.6
6. (2026·普陀期中)定义:如果直线$y=-1$与开口向下的抛物线有两个交点,那么这两个交点之间的距离叫作这条抛物线的“反碟长”.已知抛物线$L_1:y=-x^2$随其顶点沿直线$y=\frac{1}{2}x$平移一定距离后,得到新抛物线$L_2$的“反碟长”恰好为4,那么抛物线$L_2$的表达式是
＞＞进一步挑战进阶专题:P21 专题19,P22 专题20
$y=-(x-6)^2+3$
.＞＞进一步挑战进阶专题:P21 专题19,P22 专题20
答案
6. $y=-(x-6)^2+3$
解析:设平移后抛物线的顶点坐标为$(m,\dfrac{1}{2}m)$,则抛物线$L_2$的表达式为$y=-(x-m)^2+\dfrac{1}{2}m$,把$y=-1$代入得$-1=-(x-m)^2+\dfrac{1}{2}m$,整理得$x^2-2mx+m^2-\dfrac{1}{2}m-1=0$,设方程$x^2-2mx+m^2-\dfrac{1}{2}m-1=0$的两根为$x_1,x_2$,且$x_1＞x_2$,则$x_1+x_2=2m$,$x_1· x_2=m^2-\dfrac{1}{2}m-1$,$\because$ 抛物线$L_2$的“反碟长”恰好为4,$\therefore x_1-x_2=4$.
$\because (x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2,\therefore 4^2=(2m)^2-4(m^2-\dfrac{1}{2}m-1)$,解得$m=6$,$\therefore$ 抛物线$L_2$的表达式为$y=-(x-6)^2+3$.
解析:设平移后抛物线的顶点坐标为$(m,\dfrac{1}{2}m)$,则抛物线$L_2$的表达式为$y=-(x-m)^2+\dfrac{1}{2}m$,把$y=-1$代入得$-1=-(x-m)^2+\dfrac{1}{2}m$,整理得$x^2-2mx+m^2-\dfrac{1}{2}m-1=0$,设方程$x^2-2mx+m^2-\dfrac{1}{2}m-1=0$的两根为$x_1,x_2$,且$x_1＞x_2$,则$x_1+x_2=2m$,$x_1· x_2=m^2-\dfrac{1}{2}m-1$,$\because$ 抛物线$L_2$的“反碟长”恰好为4,$\therefore x_1-x_2=4$.
$\because (x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2,\therefore 4^2=(2m)^2-4(m^2-\dfrac{1}{2}m-1)$,解得$m=6$,$\therefore$ 抛物线$L_2$的表达式为$y=-(x-6)^2+3$.
解析
【分析】
解题时首先根据抛物线平移的性质：平移不改变抛物线的开口方向和大小，且本题中抛物线顶点沿直线$y=\frac{1}{2}x$平移，因此可设平移后抛物线$L_2$的顶点坐标为$(m,\frac{1}{2}m)$，写出$L_2$的顶点式解析式；再根据“反碟长”的定义，将$y=-1$代入$L_2$的解析式，得到关于$x$的一元二次方程，两个交点的横坐标就是该方程的两个根，两个交点距离为4即两根差的绝对值为4；最后利用一元二次方程根与系数的关系，通过$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$建立方程求解$m$的值，即可得到$L_2$的表达式。
【解析】
设平移后抛物线$L_2$的顶点坐标为$(m,\dfrac{1}{2}m)$，
∵抛物线平移时开口方向、开口大小不变，
∴抛物线$L_2$的表达式为$y=-(x-m)^2+\dfrac{1}{2}m$，
把$y=-1$代入$L_2$的解析式得：
$-1=-(x-m)^2+\dfrac{1}{2}m$，
整理得：$x^2-2mx+m^2-\dfrac{1}{2}m-1=0$，
设该方程的两根为$x_1,x_2$（$x_1＞x_2$），则$x_1、x_2$分别为直线$y=-1$与抛物线$L_2$两个交点的横坐标，
由根与系数的关系可得：$x_1+x_2=2m$，$x_1· x_2=m^2-\dfrac{1}{2}m-1$，
∵抛物线$L_2$的“反碟长”为4，即两个交点的距离为4，
∴$x_1-x_2=4$，
根据完全平方公式变形可得：$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$，
代入数值：$4^2=(2m)^2-4(m^2-\dfrac{1}{2}m-1)$，
化简计算：$16=4m^2-4m^2+2m+4$，
即$2m=12$，解得$m=6$，
将$m=6$代入$L_2$的顶点式得：$y=-(x-6)^2+\dfrac{1}{2}×6$，即$y=-(x-6)^2+3$。
【答案】
$y=-(x-6)^2+3$
【知识点】
抛物线平移性质；一元二次方程根与系数关系；新定义应用
【点评】
本题结合自定义概念考查二次函数与一元二次方程的综合应用，解题的核心是准确理解新定义的含义，将抛物线与直线的交点距离转化为一元二次方程根的差的问题，再结合平移性质和韦达定理求解，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题时首先根据抛物线平移的性质：平移不改变抛物线的开口方向和大小，且本题中抛物线顶点沿直线$y=\frac{1}{2}x$平移，因此可设平移后抛物线$L_2$的顶点坐标为$(m,\frac{1}{2}m)$，写出$L_2$的顶点式解析式；再根据“反碟长”的定义，将$y=-1$代入$L_2$的解析式，得到关于$x$的一元二次方程，两个交点的横坐标就是该方程的两个根，两个交点距离为4即两根差的绝对值为4；最后利用一元二次方程根与系数的关系，通过$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$建立方程求解$m$的值，即可得到$L_2$的表达式。
【解析】
设平移后抛物线$L_2$的顶点坐标为$(m,\dfrac{1}{2}m)$，
∵抛物线平移时开口方向、开口大小不变，
∴抛物线$L_2$的表达式为$y=-(x-m)^2+\dfrac{1}{2}m$，
把$y=-1$代入$L_2$的解析式得：
$-1=-(x-m)^2+\dfrac{1}{2}m$，
整理得：$x^2-2mx+m^2-\dfrac{1}{2}m-1=0$，
设该方程的两根为$x_1,x_2$（$x_1＞x_2$），则$x_1、x_2$分别为直线$y=-1$与抛物线$L_2$两个交点的横坐标，
由根与系数的关系可得：$x_1+x_2=2m$，$x_1· x_2=m^2-\dfrac{1}{2}m-1$，
∵抛物线$L_2$的“反碟长”为4，即两个交点的距离为4，
∴$x_1-x_2=4$，
根据完全平方公式变形可得：$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$，
代入数值：$4^2=(2m)^2-4(m^2-\dfrac{1}{2}m-1)$，
化简计算：$16=4m^2-4m^2+2m+4$，
即$2m=12$，解得$m=6$，
将$m=6$代入$L_2$的顶点式得：$y=-(x-6)^2+\dfrac{1}{2}×6$，即$y=-(x-6)^2+3$。
【答案】
$y=-(x-6)^2+3$
【知识点】
抛物线平移性质；一元二次方程根与系数关系；新定义应用
【点评】
本题结合自定义概念考查二次函数与一元二次方程的综合应用，解题的核心是准确理解新定义的含义，将抛物线与直线的交点距离转化为一元二次方程根的差的问题，再结合平移性质和韦达定理求解，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
