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1. （2025·北京期中）如图，在矩形ABCD中，AB=8 cm，AD=12 cm，AC与BD交于点O，M是BC的中点。P，Q两点沿着B→C→D方向分别从点B，点M同时出发，并都以1 cm/s的速度运动，当点Q到达D点时，两点同时停止运动。在P，Q两点运动的过程中，与△OPQ的面积S随时间t变化的图象最接近的是（
B
）答案
1. B
解析
【分析】
首先通过建立平面直角坐标系，分阶段分析P、Q的位置，再推导不同阶段△OPQ的面积S随t的变化规律：第一步先确定矩形各点、O点和起点M的坐标，明确P、Q的运动轨迹及各阶段的时间分界点；第二步计算0~6s（Q在BC段运动）的面积，此时PQ长度固定，面积不变；第三步计算6~12s（Q在CD段、P在BC段运动）的面积表达式，发现为开口向上的二次函数，对称轴对应t=8时面积最小为10；第四步计算12~14s（P、Q都在CD段运动）的面积，此时PQ长度固定，面积保持18不变，结合选项即可判断正确图象。
【解析】
解：设B为原点$(0,0)$，则$C(12,0)$，$A(0,8)$，$D(12,8)$，矩形对角线交点O坐标为$(6,4)$，BC中点M坐标为$(6,0)$。
分三个阶段讨论：
1. 当$\boldsymbol{0≤ t≤6}$时：
P坐标为$(t,0)$，Q沿BC运动，坐标为$(6+t,0)$，PQ长度为$(6+t)-t=6\mathrm{cm}$，O到BC的距离为4cm，因此$S=\frac{1}{2}×6×4=12$，面积保持12不变。
2. 当$\boldsymbol{6＜ t≤12}$时：
Q到达C点后沿CD运动，坐标为$(12,t-6)$，P仍在BC上，坐标为$(t,0)$，用坐标法求三角形面积：
$\begin{aligned}S&=\frac{1}{2}\left|6×(0-(t-6)) + t×((t-6)-4) + 12×(4-0)\right|\\&=\frac{1}{2}t^2 -8t +42\end{aligned}$
这是开口向上的二次函数，对称轴为$t=\frac{8}{2×0.5}=8$，将$t=8$代入得最小面积$S=10$；将$t=12$代入得$S=18$，即此阶段面积从12先降到10（t=8时），再升到18（t=12时）。
3. 当$\boldsymbol{12＜ t≤14}$时：
P到达C点后沿CD运动，坐标为$(12,t-12)$，Q坐标为$(12,t-6)$，PQ长度为$(t-6)-(t-12)=6\mathrm{cm}$，PQ为竖直线段，O到PQ的水平距离为$12-6=6\mathrm{cm}$，因此$S=\frac{1}{2}×6×6=18$，面积保持18不变。
综上，符合的图象是选项B。
【答案】
B
【知识点】
动点函数图象，二次函数性质，三角形面积计算
【点评】
本题考查动点问题的函数图象判断，解题核心是合理划分运动阶段，结合坐标法推导各阶段的面积表达式，再结合函数的增减性、最值等特征匹配图象。
【难度系数】
0.6
首先通过建立平面直角坐标系，分阶段分析P、Q的位置，再推导不同阶段△OPQ的面积S随t的变化规律：第一步先确定矩形各点、O点和起点M的坐标，明确P、Q的运动轨迹及各阶段的时间分界点；第二步计算0~6s（Q在BC段运动）的面积，此时PQ长度固定，面积不变；第三步计算6~12s（Q在CD段、P在BC段运动）的面积表达式，发现为开口向上的二次函数，对称轴对应t=8时面积最小为10；第四步计算12~14s（P、Q都在CD段运动）的面积，此时PQ长度固定，面积保持18不变，结合选项即可判断正确图象。
【解析】
解：设B为原点$(0,0)$，则$C(12,0)$，$A(0,8)$，$D(12,8)$，矩形对角线交点O坐标为$(6,4)$，BC中点M坐标为$(6,0)$。
分三个阶段讨论：
1. 当$\boldsymbol{0≤ t≤6}$时：
P坐标为$(t,0)$，Q沿BC运动，坐标为$(6+t,0)$，PQ长度为$(6+t)-t=6\mathrm{cm}$，O到BC的距离为4cm，因此$S=\frac{1}{2}×6×4=12$，面积保持12不变。
2. 当$\boldsymbol{6＜ t≤12}$时：
Q到达C点后沿CD运动，坐标为$(12,t-6)$，P仍在BC上，坐标为$(t,0)$，用坐标法求三角形面积：
$\begin{aligned}S&=\frac{1}{2}\left|6×(0-(t-6)) + t×((t-6)-4) + 12×(4-0)\right|\\&=\frac{1}{2}t^2 -8t +42\end{aligned}$
这是开口向上的二次函数，对称轴为$t=\frac{8}{2×0.5}=8$，将$t=8$代入得最小面积$S=10$；将$t=12$代入得$S=18$，即此阶段面积从12先降到10（t=8时），再升到18（t=12时）。
3. 当$\boldsymbol{12＜ t≤14}$时：
P到达C点后沿CD运动，坐标为$(12,t-12)$，Q坐标为$(12,t-6)$，PQ长度为$(t-6)-(t-12)=6\mathrm{cm}$，PQ为竖直线段，O到PQ的水平距离为$12-6=6\mathrm{cm}$，因此$S=\frac{1}{2}×6×6=18$，面积保持18不变。
综上，符合的图象是选项B。
【答案】
B
【知识点】
动点函数图象，二次函数性质，三角形面积计算
【点评】
本题考查动点问题的函数图象判断，解题核心是合理划分运动阶段，结合坐标法推导各阶段的面积表达式，再结合函数的增减性、最值等特征匹配图象。
【难度系数】
0.6
2. (2025·南通中考)如图,在等边三角形ABC的三边上,分别取点D,E,F,使AD=BE=CF.若AB=4,AD=x,△DEF的面积为y,则y关于x的函数图象大致为 (
B
)答案
2. B
解析
【分析】
求解不规则三角形△DEF的面积可采用割补法，用等边△ABC的总面积减去周围3个全等小三角形的面积，即可得到y与x的函数关系。第一步先证周围三个小三角形全等：等边△ABC各内角为60°，由AD=BE=CF=x可推出BD=CE=AF=4-x，利用SAS可证△ADF≌△BED≌△CFE；第二步分别计算大三角形面积和单个小三角形的面积，推导得到y关于x的函数解析式，再根据函数类型和最值判断对应图象。
【解析】
1. 计算等边△ABC的面积：
已知△ABC边长为4，根据等边三角形面积公式可得$S_{△ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4} × 4^2=4\sqrt{3}$。
2. 证明周边小三角形全等：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC=4，
∵AD=BE=CF=x，
∴BD=CE=AF=4-x，
∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS）。
3. 计算三个小三角形的总面积：
单个小三角形面积$S_{小}=\frac{1}{2} · AD · AF · \sin60°=\frac{1}{2}x(4-x) · \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}x(4-x)$，
则三个小三角形总面积为$3S_{小}=\frac{3\sqrt{3}}{4}x(4-x)$。
4. 推导y的函数解析式并判断图象：
$y=S_{△ABC}-3S_{小}=4\sqrt{3}-\frac{3\sqrt{3}}{4}x(4-x)$，
整理得$y=\frac{3\sqrt{3}}{4}x^2-3\sqrt{3}x+4\sqrt{3}$，该函数是开口向上的二次函数，排除为一次函数图象的选项D。
二次函数对称轴为$x=2$，将x=2代入解析式得最小值$y=\sqrt{3}$，即函数最小值不为0，排除A、C选项。
综上，符合要求的图象为B。
【答案】
B
【知识点】
动点问题的函数图象；等边三角形的性质；二次函数的图象与性质
【点评】
本题结合等边三角形性质考查动态几何的函数图象判断，解题核心是利用割补法求出面积的函数解析式，再结合二次函数的性质排除错误选项，掌握函数类型判断和最值计算是解题关键。
【难度系数】
0.65
求解不规则三角形△DEF的面积可采用割补法，用等边△ABC的总面积减去周围3个全等小三角形的面积，即可得到y与x的函数关系。第一步先证周围三个小三角形全等：等边△ABC各内角为60°，由AD=BE=CF=x可推出BD=CE=AF=4-x，利用SAS可证△ADF≌△BED≌△CFE；第二步分别计算大三角形面积和单个小三角形的面积，推导得到y关于x的函数解析式，再根据函数类型和最值判断对应图象。
【解析】
1. 计算等边△ABC的面积：
已知△ABC边长为4，根据等边三角形面积公式可得$S_{△ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4} × 4^2=4\sqrt{3}$。
2. 证明周边小三角形全等：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC=4，
∵AD=BE=CF=x，
∴BD=CE=AF=4-x，
∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS）。
3. 计算三个小三角形的总面积：
单个小三角形面积$S_{小}=\frac{1}{2} · AD · AF · \sin60°=\frac{1}{2}x(4-x) · \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}x(4-x)$，
则三个小三角形总面积为$3S_{小}=\frac{3\sqrt{3}}{4}x(4-x)$。
4. 推导y的函数解析式并判断图象：
$y=S_{△ABC}-3S_{小}=4\sqrt{3}-\frac{3\sqrt{3}}{4}x(4-x)$，
整理得$y=\frac{3\sqrt{3}}{4}x^2-3\sqrt{3}x+4\sqrt{3}$，该函数是开口向上的二次函数，排除为一次函数图象的选项D。
二次函数对称轴为$x=2$，将x=2代入解析式得最小值$y=\sqrt{3}$，即函数最小值不为0，排除A、C选项。
综上，符合要求的图象为B。
【答案】
B
【知识点】
动点问题的函数图象；等边三角形的性质；二次函数的图象与性质
【点评】
本题结合等边三角形性质考查动态几何的函数图象判断，解题核心是利用割补法求出面积的函数解析式，再结合二次函数的性质排除错误选项，掌握函数类型判断和最值计算是解题关键。
【难度系数】
0.65
3. （2026·孝感期中）如图①，在钝角$△ ABC$中，$AB=AC$，$D$为边$AC$上一动点（点$C$除外），以点$D$为直角顶点，以$BD$为一条直角边作等腰直角$△ BDE$，连结$CE$。设$CD=x$，$S_{△ CDE}=y$，若$y$关于$x$的函数图象如图②所示，则$△ ABC$的面积为
$\frac{15}{2}$
。答案
3. $\frac{15}{2}$
解析
【分析】
要解决本题，我们需要结合几何性质和函数图象信息推导△ABC的底和高：首先利用等腰直角△BDE的直角特性，构造全等三角形将△CDE的高转化为可求的线段；再通过函数图象的最值获取AC的长度和相关线段的长度；最后利用勾股定理求出△ABC的高，代入面积公式计算即可。
具体思考路径：1. 过B作AC的垂线，过E作AC的垂线，证△BDM和△DEF全等，得到△CDE的高EF等于DM；2. 由函数图象可知x最大为5时y最大为10，此时D与A重合，得AC=5，代入面积公式求出AM=4；3. 在Rt△ABM中用勾股定理求出高BM=3，进而计算△ABC的面积。
【解析】
过点B作$BM⊥ AC$，交$CA$的延长线于点$M$，过点E作$EF⊥ AC$，交$AC$的延长线于点$F$，则$∠ BMD=∠ DFE=90°$。
∵$△ BDE$是等腰直角三角形，$∠ BDE=90°$，
∴$BD=DE$，$∠ BDM+∠ EDF=90°$。
又
∵$∠ BDM+∠ DBM=90°$，
∴$∠ DBM=∠ EDF$，
∴$△ BDM≌△ DEF$（AAS），
∴$EF=DM$。
由函数图象可知：当$x$取最大值5时，$y$取最大值10，此时点$D$与点$A$重合，
∴$AC=CD=5$，$AB=AC=5$，$DM=AM$。
此时$S_{△ CDE}=y=10=\frac{1}{2}· CD· EF=\frac{1}{2}×5× AM$，
解得$AM=4$。
在$\mathrm{Rt}△ ABM$中，$AB=5$，$AM=4$，由勾股定理得：
$BM=\sqrt{AB^2-AM^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$。
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AC· BM=\frac{1}{2}×5×3=\frac{15}{2}$。
【答案】
$\frac{15}{2}$
【知识点】
全等三角形判定与性质，勾股定理，动点图象分析
【点评】
本题是动态几何与函数图象结合的综合题，核心是通过构造全等三角形实现线段的转化，再结合函数图象的端点信息获取几何量，考查数形结合思想和辅助线构造能力。
【难度系数】
0.4
要解决本题，我们需要结合几何性质和函数图象信息推导△ABC的底和高：首先利用等腰直角△BDE的直角特性，构造全等三角形将△CDE的高转化为可求的线段；再通过函数图象的最值获取AC的长度和相关线段的长度；最后利用勾股定理求出△ABC的高，代入面积公式计算即可。
具体思考路径：1. 过B作AC的垂线，过E作AC的垂线，证△BDM和△DEF全等，得到△CDE的高EF等于DM；2. 由函数图象可知x最大为5时y最大为10，此时D与A重合，得AC=5，代入面积公式求出AM=4；3. 在Rt△ABM中用勾股定理求出高BM=3，进而计算△ABC的面积。
【解析】
过点B作$BM⊥ AC$，交$CA$的延长线于点$M$，过点E作$EF⊥ AC$，交$AC$的延长线于点$F$，则$∠ BMD=∠ DFE=90°$。
∵$△ BDE$是等腰直角三角形，$∠ BDE=90°$，
∴$BD=DE$，$∠ BDM+∠ EDF=90°$。
又
∵$∠ BDM+∠ DBM=90°$，
∴$∠ DBM=∠ EDF$，
∴$△ BDM≌△ DEF$（AAS），
∴$EF=DM$。
由函数图象可知：当$x$取最大值5时，$y$取最大值10，此时点$D$与点$A$重合，
∴$AC=CD=5$，$AB=AC=5$，$DM=AM$。
此时$S_{△ CDE}=y=10=\frac{1}{2}· CD· EF=\frac{1}{2}×5× AM$，
解得$AM=4$。
在$\mathrm{Rt}△ ABM$中，$AB=5$，$AM=4$，由勾股定理得：
$BM=\sqrt{AB^2-AM^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$。
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AC· BM=\frac{1}{2}×5×3=\frac{15}{2}$。
【答案】
$\frac{15}{2}$
【知识点】
全等三角形判定与性质，勾股定理，动点图象分析
【点评】
本题是动态几何与函数图象结合的综合题，核心是通过构造全等三角形实现线段的转化，再结合函数图象的端点信息获取几何量，考查数形结合思想和辅助线构造能力。
【难度系数】
0.4
4. 如图①,在等腰直角$△ EFG$中,$∠ FEG=90°$,且位于长方形$ABCD$的左侧,直角边$EF$与$BC$边在同一直线上,$AB＞EG$.现将$△ EFG$沿$BC$方向移动,设$BE$的长为$x$,$△ EFG$与长方形$ABCD$的重叠部分(图中阴影部分)面积为$y$,则$y$与$x$的关系图象可以用图②表示.请根据图象信息分析,长方形$ABCD$的$BC$边长为
9
,当$y=32$时,$x$的值为4或11
.答案
4. 9 4或11 解析:由图象可知,当0＜x＜9时,重叠部分为梯形,图象为抛物线的一部分,当9≤x＜10时,重叠部分为梯形,图象为一条直线,则梯形的高为定值,即高为BC,
∴BC=9,EF=10.
如图①,当0＜x＜9时,BE=x,则BF=EF-BE=10-x.∵△EFG为等腰直角三角形,
∴EG=EF=10,∠F=45°,
∴BH=BF=10-x,
∴重叠部分的面积为$y=\frac{1}{2}(10+10-x)x=-\frac{1}{2}x^2+10x$,当y=32时,$-\frac{1}{2}x^2+10x=32$,解得$x_1=4$,$x_2=16$(舍去);
如图②,当9≤x＜10时,$CM=CF=EF-CE=10-(x-9)=19-x$,$BH=BF=EF-BE=10-x$,
∴$y=\frac{1}{2}(10-x+19-x)×9=-9x+\frac{261}{2}$,当y=32时,$-9x+\frac{261}{2}=32$,
∴$x=\frac{197}{18}＞10$(舍去);
如图③,当10≤x＜19时,$CF=CM=9-(x-10)=19-x$,
∴$y=\frac{1}{2}(19-x)^2$,当y=32时,$\frac{1}{2}(19-x)^2=32$,解得x=11或x=27(舍去).故答案为9;4或11.
解析
【分析】
解题时先结合函数图象的拐点分析对应的几何运动状态：①x=9时函数变化趋势第一次改变，对应点E刚好移动到长方形的C点，由此可得BC的长度为9；②x=10时函数变化趋势第二次改变，对应点F刚好移动到B点，由此可得等腰直角△EFG的直角边长EF=10。接下来分三个运动阶段讨论重叠部分的形状，结合等腰直角三角形的性质分别列出各阶段y关于x的函数表达式，代入y=32求解后舍去不符合自变量取值范围的解即可得到最终结果。
【解析】
由图象可知，当x=9时函数变化趋势改变，此时点E与点C重合，故BC=9；当x=10时函数变化趋势再次改变，此时点F与点B重合，故EF=10。
已知△EFG是等腰直角三角形，∠FEG=90°，因此EG=EF=10，∠F=45°，分三种情况讨论：
1. 当$0＜x＜9$时，点E在线段BC上，$BE=x$，$BF=EF-BE=10-x$。由∠F=45°、∠ABF=90°可得△FBH为等腰直角三角形，$BH=BF=10-x$。
此时重叠部分为梯形，面积：
$y=\frac{1}{2}(BH+EG)·BE=\frac{1}{2}(10-x+10)x=-\frac{1}{2}x^2+10x$
将$y=32$代入得：$-\frac{1}{2}x^2+10x=32$，解得$x_1=4$，$x_2=16$（不符合$0＜x＜9$，舍去）。
2. 当$9≤x＜10$时，点E在C点右侧，点F在线段BC上，$BF=10-x$，$CF=EF-CE=10-(x-9)=19-x$。△FBH、△FCM均为等腰直角三角形，故$BH=10-x$，$CM=19-x$，重叠部分为梯形，高为BC=9。
此时面积：
$y=\frac{1}{2}(BH+CM)·BC=\frac{1}{2}(10-x+19-x)×9=-9x+\frac{261}{2}$
将$y=32$代入得：$-9x+\frac{261}{2}=32$，解得$x=\frac{197}{18}＞10$，不符合$9≤x＜10$，舍去。
3. 当$10≤x＜19$时，点F在C点右侧，重叠部分为等腰直角三角形，直角边长为$19-x$，面积：
$y=\frac{1}{2}(19-x)^2$
将$y=32$代入得：$\frac{1}{2}(19-x)^2=32$，解得$x=11$或$x=27$（不符合$10≤x＜19$，舍去）。
【答案】
9；4或11
【知识点】
动态几何函数图象、等腰直角三角形的性质、分段函数求解
【点评】
本题结合了图形平移运动与函数图象，需要通过图象拐点判断对应的运动状态，再分情况计算重叠部分面积，考查了数形结合与分类讨论的数学思想，解题核心是明确不同运动阶段重叠部分的形状。
【难度系数】
0.6
解题时先结合函数图象的拐点分析对应的几何运动状态：①x=9时函数变化趋势第一次改变，对应点E刚好移动到长方形的C点，由此可得BC的长度为9；②x=10时函数变化趋势第二次改变，对应点F刚好移动到B点，由此可得等腰直角△EFG的直角边长EF=10。接下来分三个运动阶段讨论重叠部分的形状，结合等腰直角三角形的性质分别列出各阶段y关于x的函数表达式，代入y=32求解后舍去不符合自变量取值范围的解即可得到最终结果。
【解析】
由图象可知，当x=9时函数变化趋势改变，此时点E与点C重合，故BC=9；当x=10时函数变化趋势再次改变，此时点F与点B重合，故EF=10。
已知△EFG是等腰直角三角形，∠FEG=90°，因此EG=EF=10，∠F=45°，分三种情况讨论：
1. 当$0＜x＜9$时，点E在线段BC上，$BE=x$，$BF=EF-BE=10-x$。由∠F=45°、∠ABF=90°可得△FBH为等腰直角三角形，$BH=BF=10-x$。
此时重叠部分为梯形，面积：
$y=\frac{1}{2}(BH+EG)·BE=\frac{1}{2}(10-x+10)x=-\frac{1}{2}x^2+10x$
将$y=32$代入得：$-\frac{1}{2}x^2+10x=32$，解得$x_1=4$，$x_2=16$（不符合$0＜x＜9$，舍去）。
2. 当$9≤x＜10$时，点E在C点右侧，点F在线段BC上，$BF=10-x$，$CF=EF-CE=10-(x-9)=19-x$。△FBH、△FCM均为等腰直角三角形，故$BH=10-x$，$CM=19-x$，重叠部分为梯形，高为BC=9。
此时面积：
$y=\frac{1}{2}(BH+CM)·BC=\frac{1}{2}(10-x+19-x)×9=-9x+\frac{261}{2}$
将$y=32$代入得：$-9x+\frac{261}{2}=32$，解得$x=\frac{197}{18}＞10$，不符合$9≤x＜10$，舍去。
3. 当$10≤x＜19$时，点F在C点右侧，重叠部分为等腰直角三角形，直角边长为$19-x$，面积：
$y=\frac{1}{2}(19-x)^2$
将$y=32$代入得：$\frac{1}{2}(19-x)^2=32$，解得$x=11$或$x=27$（不符合$10≤x＜19$，舍去）。
【答案】
9；4或11
【知识点】
动态几何函数图象、等腰直角三角形的性质、分段函数求解
【点评】
本题结合了图形平移运动与函数图象，需要通过图象拐点判断对应的运动状态，再分情况计算重叠部分面积，考查了数形结合与分类讨论的数学思想，解题核心是明确不同运动阶段重叠部分的形状。
【难度系数】
0.6
