1. 已知抛物线$y=kx^2 - 2(k-1)x + k+1$，若抛物线关于y轴对称，则$k=$，此时抛物线关于x轴对称的图象表达式为。

1. 1 $y=-x^2-2$

【分析】
要解决这道题分两步思考：第一步求k的值，抛物线关于y轴对称说明其对称轴为x=0，结合二次函数对称轴公式即可列等式求解，注意要保证二次项系数不为0，满足抛物线的定义；第二步求原抛物线关于x轴对称的图象表达式，利用关于x轴对称的点的坐标特征（横坐标不变，纵坐标互为相反数），对原解析式变形即可得到结果。
【解析】
1. 求k的值：
已知抛物线$y=kx^2 - 2(k-1)x + k+1$关于y轴对称，因此其对称轴为$x=0$，且二次项系数$k≠0$。
二次函数$y=ax^2+bx+c$的对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，本题中$a=k$，$b=-2(k-1)$，代入得：
$x=\frac{2(k-1)}{2k}=\frac{k-1}{k}=0$
要使分式值为0，需分子为0且分母不为0，即$k-1=0$，解得$k=1$，验证$k=1≠0$，符合抛物线定义。
2. 求关于x轴对称的图象表达式：
将$k=1$代入原抛物线解析式，得原抛物线为$y=x^2+2$。
关于x轴对称的图象上的点满足横坐标不变、纵坐标互为相反数，因此将解析式中的$y$替换为$-y$：
$-y=x^2+2$
整理得$y=-x^2-2$。
【答案】
1；$y=-x^2-2$
【知识点】
二次函数的对称性；轴对称的函数图象变换；二次函数的定义
【点评】
本题考查二次函数的轴对称性质和函数图象的对称变换规律，解题核心是牢记关于y轴对称的二次函数一次项系数为0，关于x轴对称的函数解析式可通过将原函数的y替换为-y推导得出，属于对二次函数基础性质的应用考查。
【难度系数】
0.8

2. 在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于x轴对称，且它们的顶点相距10个单位长度。若其中一条抛物线的函数表达式为$y=x^2+6x+m$，则m的值是。

2. 4或14

【分析】
解题思路分为三步：第一步，将已知抛物线的一般式通过配方转化为顶点式，求出其顶点坐标；第二步，利用关于x轴对称的点的坐标特征（横坐标不变，纵坐标互为相反数），推导得出另一条抛物线的顶点坐标；第三步，由于两个顶点横坐标相同，两点距离等于纵坐标差的绝对值，结合顶点相距10个单位长度的条件列绝对值方程，求解即可得到m的值。
【解析】
先对已知抛物线的解析式配方：
$y=x^2+6x+m=(x^2+6x+9)-9+m=(x+3)^2+(m-9)$
因此该抛物线的顶点坐标为$\boldsymbol{(-3, m-9)}$。
因为两条抛物线关于x轴对称，所以另一条抛物线的顶点坐标为$\boldsymbol{(-3, 9-m)}$。
两个顶点横坐标相同，两点距离为纵坐标差的绝对值，结合题意得：
$|(m-9)-(9-m)|=10$
化简得：$|2m-18|=10$，即$|m-9|=5$
当$m-9=5$时，解得$m=14$；
当$m-9=-5$时，解得$m=4$。
【答案】
4或14
【知识点】
二次函数的顶点式，坐标的轴对称变换，绝对值方程求解
【点评】
本题考查二次函数对称性与顶点坐标的综合应用，解题关键是掌握关于x轴对称的抛物线顶点的坐标规律，求解绝对值方程时注意不要漏解。
【难度系数】
0.7

3. 已知函数$y=|x^2 - 2x - 3|$的图象如图所示.
(1)若方程$|x^2 - 2x - 3|=m$有三个实数根,则$m$的值是;
(2)若方程$|x^2 - 2x - 3|=m$有四个不相等的实数根,则$m$的取值范围是;
(3)若方程$|x^2 - 2x - 3|=m$有两个不相等的实数根,则$m$的取值范围是.

3. (1)4 (2)$0＜m＜4$ (3)$m=0$或$m＞4$

【分析】
本题可利用数形结合思想求解：方程$|x^2-2x-3|=m$的实数根个数，等价于函数$y=|x^2-2x-3|$的图象与直线$y=m$的交点个数。首先明确已知图象的特征：图象与x轴交于$(-1,0)$、$(3,0)$，在$-1＜x＜3$区间内的最高点坐标为$(1,4)$，$x＜-1$和$x＞3$区间的图象均向上无限延伸，我们只需观察不同$m$取值下两个图象的交点数量，即可对应得到答案。
【解析】
(1) 若方程有3个实数根，即$y=|x^2-2x-3|$与$y=m$有3个交点，观察图象可知，当$m=4$时，直线$y=4$经过图象的最高点，同时与左右两侧上升的图象各交于1点，共3个交点，满足条件。
(2) 若方程有4个不相等的实数根，即两图象有4个交点，观察图象可知，当直线$y=m$在x轴上方，且低于最高点纵坐标时，在$-1＜x＜3$区间有2个交点，左右两侧各有1个交点，共4个交点，因此$0＜m＜4$。
(3) 若方程有2个不相等的实数根，分两种情况：①当$m=0$时，直线$y=0$与图象交于x轴上的$(-1,0)$、$(3,0)$，共2个交点；②当$m＞4$时，直线$y=m$仅与左右两侧上升的图象各交于1点，共2个交点，因此$m$的取值范围是$m=0$或$m＞4$。
【答案】
(1) $\boxed{4}$；(2) $\boxed{0＜m＜4}$；(3) $\boxed{m=0或m＞4}$
【知识点】
1. 绝对值函数图象 2. 函数与方程转化 3. 二次函数性质
【点评】
本题重点考查数形结合思想的应用，将抽象的方程根的个数问题转化为直观的函数图象交点问题，降低了解题难度，解题时要注意分类讨论，不要遗漏$m=0$的特殊情况。
【难度系数】
0.65

4. 如图,函数$y_1=a(x+2)^2+3(x≤0)$的图象过原点,将其沿y轴翻折,得到函数$y_2$的图象,把函数$y_1$与$y_2$的图象合并后称为函数L的图象.
(1)a的值为;函数$y_2$的表达式为(注明x的取值范围);
(2)当直线$y=x+b$与函数L的图象有4个交点时,则b的取值范围是.

＞＞进一步挑战进阶专题:P22 专题20

4. (1)$-\frac{3}{4}$ $y_2=-\frac{3}{4}(x-2)^2+3(x≥0)$ 解析:$\because$ 函数 $y_1=a(x+2)^2+3(x≤0)$ 的图象过原点,$\therefore 0=a(0+2)^2+3$,解得 $a=-\frac{3}{4}$,
$\therefore y_1=-\frac{3}{4}(x+2)^2+3(x≤0).\because$ 将函数 $y_1$ 的图象沿 $y$ 轴翻折,得到函数 $y_2$ 的图象,$\therefore y_2=-\frac{3}{4}(x-2)^2+3(x≥0)$.
(2)$0＜b＜\frac{4}{3}$ 解析:将函数 $y_2=-\frac{3}{4}(x-2)^2+3(x≥0)$ 与 $y=x+b$ 联立得 $-\frac{3}{4}(x-2)^2+3=x+b$,整理得 $3x^2-8x+4b=0$,当$(-8)^2-4×3×4b=0$,$b=\frac{4}{3}$,此时直线 $y=x+b$ 与函数 $L$ 的图象有 3 个交点,,把 $O(0,0)$ 代入 $y=x+b$,可得 $0+b=0$,解得 $b=0$,此时直线 $y=x+b$ 与函数 $L$ 的图象有 3 个交点,$\therefore$ 当直线 $y=x+b$ 与函数 $L$ 的图象有 4 个交点时,$b$ 的取值范围为 $0＜b＜\frac{4}{3}$.

【分析】
(1) 求a的值时，已知函数$y_1$的图象过原点，将原点坐标$(0,0)$代入$y_1$的表达式，解关于a的方程即可得到a的值；求$y_2$的表达式时，函数图象沿y轴翻折的规律是将原函数中的x替换为-x，原$y_1$的自变量范围是$x≤0$，翻折后对应自变量x的范围变为$x≥0$，代入a的值整理即可得到$y_2$的表达式。
(2) 求直线$y=x+b$与函数L有4个交点时b的范围，需先找到交点个数为3的两个临界情况：①直线过原点$(0,0)$时，代入可求得一个b的临界值；②直线与$y_2$的图象相切时，将两个表达式联立得到一元二次方程，令判别式$\Delta=0$，可求得另一个b的临界值，结合图象分析可知，当b在两个临界值之间时，交点个数为4。
【解析】
(1) $\because$函数$y_1=a(x+2)^2+3(x≤0)$的图象过原点$(0,0)$，将$(0,0)$代入表达式得：
$0=a(0+2)^2+3$，即$4a+3=0$，解得$a=-\frac{3}{4}$。
$\therefore y_1=-\frac{3}{4}(x+2)^2+3(x≤0)$。
将$y_1$的图象沿y轴翻折得到$y_2$，翻折后x的取值范围为$x≥0$，将$y_1$中的x替换为$-x$得：
$y_2=-\frac{3}{4}(-x+2)^2+3=-\frac{3}{4}(x-2)^2+3(x≥0)$。
(2) 先找直线$y=x+b$与函数L交点为3个的临界情况：
① 将原点$(0,0)$代入$y=x+b$，得$0=0+b$，解得$b=0$，此时直线与函数L的图象有3个交点。
② 将$y=x+b$与$y_2=-\frac{3}{4}(x-2)^2+3(x≥0)$联立，得：
$-\frac{3}{4}(x-2)^2+3=x+b$
整理得：$3x^2-8x+4b=0$
当直线与$y_2$相切时，一元二次方程有两个相等的实数根，判别式$\Delta=0$，即：
$(-8)^2-4×3×4b=0$
解得$b=\frac{4}{3}$，此时直线与函数L的图象有3个交点。
结合图象可知，当$0＜b＜\frac{4}{3}$时，直线$y=x+b$与函数L的图象有4个交点。
【答案】
(1) $-\frac{3}{4}$；$y_2=-\frac{3}{4}(x-2)^2+3(x≥0)$
(2) $0＜b＜\frac{4}{3}$
【知识点】
二次函数图象翻折、函数交点问题、一元二次方程判别式
【点评】
本题综合考查了二次函数的图象变换、一次函数与二次函数的交点个数判断，解题的核心是结合图象找到临界状态，通过代入求值和判别式法求出临界参数，再结合图象确定参数范围，对数形结合思想的应用有一定要求。
【难度系数】
0.6