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1. （2024·宜宾中考）如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k≠0$）的图象经过点A，B及AC的中点M，$BC// x$轴，AB与y轴交于点N.则$\frac{AN}{AB}$的值为（
A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{5}$
D.$\frac{2}{5}$
B
）A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{5}$
D.$\frac{2}{5}$
答案
1. B
解析
【分析】
本题是反比例函数与等腰三角形结合的比值求解问题，解题思路如下：1. 利用等腰三角形的轴对称性，结合BC平行x轴的特点，可知B、C关于过点A的垂直于x轴的直线对称，可通过设坐标的方法结合反比例函数横纵坐标乘积为定值的性质建立参数关系；2. 表示出AC中点M的坐标，代入反比例函数解析式得到参数间的方程，求解得到A、B横坐标的关系；3. 利用同一直线上线段长度比等于横坐标差的绝对值之比，代入参数关系即可求出$\frac{AN}{AB}$的值。
【解析】
解：
∵$AB=AC$，$BC// x$轴，
∴点A在BC的垂直平分线上，即B、C关于直线$x=x_A$对称。
设$A(a,b)$（$a＞0,b＞0$），$B(m,n)$（$m＜0,n＜0$），
∵A、B都在反比例函数$y=\frac{k}{x}$上，
∴$ab=k$，$mn=k$，即$n=\frac{ab}{m}$ ①。
∵C与B关于$x=a$对称，
∴C点坐标为$(2a-m,n)$，
∵M是AC中点，
∴M的坐标为$( \frac{a+2a-m}{2},\frac{b+n}{2} )=( \frac{3a-m}{2},\frac{b+n}{2} )$，
又
∵M在反比例函数上，
∴$\frac{3a-m}{2}· \frac{b+n}{2}=k$，即$(3a-m)(b+n)=4k$ ②，
将$k=ab$、①代入②，展开化简得：$3a· \frac{ab}{m} - mb=2ab$，
两边同时除以$ab$（$ab≠0$）得：$\frac{3a}{m}-\frac{m}{a}=2$，
设$u=\frac{a}{m}$，则上式变为$3u-\frac{1}{u}=2$，整理得$3u^2-2u-1=0$，
解得$u_1=1$（舍去，此时$a=m$，A、B横坐标重合，不符合题意），$u_2=-\frac{1}{3}$，
即$\frac{a}{m}=-\frac{1}{3}$，得$m=-3a$。
∵同一直线上线段的比等于横坐标差的绝对值的比，N在y轴上，$x_N=0$，
∴$\frac{AN}{AB}=\frac{|x_A-x_N|}{|x_A-x_B|}=\frac{|a-0|}{|a-m|}=\frac{a}{|a-(-3a)|}=\frac{a}{4a}=\frac{1}{4}$。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的性质，等腰三角形的性质，中点坐标公式
【点评】
本题为反比例函数与几何的综合题，考查了坐标法在几何比值问题中的应用，解题核心是利用反比例函数横纵坐标乘积为定值的特点建立参数关系，结合线段比与坐标差的关系求解，体现了数形结合思想的运用。
【难度系数】
0.6
本题是反比例函数与等腰三角形结合的比值求解问题，解题思路如下：1. 利用等腰三角形的轴对称性，结合BC平行x轴的特点，可知B、C关于过点A的垂直于x轴的直线对称，可通过设坐标的方法结合反比例函数横纵坐标乘积为定值的性质建立参数关系；2. 表示出AC中点M的坐标，代入反比例函数解析式得到参数间的方程，求解得到A、B横坐标的关系；3. 利用同一直线上线段长度比等于横坐标差的绝对值之比，代入参数关系即可求出$\frac{AN}{AB}$的值。
【解析】
解：
∵$AB=AC$，$BC// x$轴，
∴点A在BC的垂直平分线上，即B、C关于直线$x=x_A$对称。
设$A(a,b)$（$a＞0,b＞0$），$B(m,n)$（$m＜0,n＜0$），
∵A、B都在反比例函数$y=\frac{k}{x}$上，
∴$ab=k$，$mn=k$，即$n=\frac{ab}{m}$ ①。
∵C与B关于$x=a$对称，
∴C点坐标为$(2a-m,n)$，
∵M是AC中点，
∴M的坐标为$( \frac{a+2a-m}{2},\frac{b+n}{2} )=( \frac{3a-m}{2},\frac{b+n}{2} )$，
又
∵M在反比例函数上，
∴$\frac{3a-m}{2}· \frac{b+n}{2}=k$，即$(3a-m)(b+n)=4k$ ②，
将$k=ab$、①代入②，展开化简得：$3a· \frac{ab}{m} - mb=2ab$，
两边同时除以$ab$（$ab≠0$）得：$\frac{3a}{m}-\frac{m}{a}=2$，
设$u=\frac{a}{m}$，则上式变为$3u-\frac{1}{u}=2$，整理得$3u^2-2u-1=0$，
解得$u_1=1$（舍去，此时$a=m$，A、B横坐标重合，不符合题意），$u_2=-\frac{1}{3}$，
即$\frac{a}{m}=-\frac{1}{3}$，得$m=-3a$。
∵同一直线上线段的比等于横坐标差的绝对值的比，N在y轴上，$x_N=0$，
∴$\frac{AN}{AB}=\frac{|x_A-x_N|}{|x_A-x_B|}=\frac{|a-0|}{|a-m|}=\frac{a}{|a-(-3a)|}=\frac{a}{4a}=\frac{1}{4}$。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的性质，等腰三角形的性质，中点坐标公式
【点评】
本题为反比例函数与几何的综合题，考查了坐标法在几何比值问题中的应用，解题核心是利用反比例函数横纵坐标乘积为定值的特点建立参数关系，结合线段比与坐标差的关系求解，体现了数形结合思想的运用。
【难度系数】
0.6
2. 如图，在平面直角坐标系中有一正方形$AOBC$，反比例函数$y=\frac{k}{x}$经过正方形$AOBC$对角线的交点，半径为$(4-2\sqrt{2})$的圆内切于$△ ABC$，则$k$的值为
4
。答案
2. 4
解析
【分析】
首先设正方形AOBC的边长为a，先判断△ABC为等腰直角三角形，利用直角三角形内切圆半径公式列方程求出a的值；再确定正方形对角线交点的坐标，该点在反比例函数图象上，代入解析式即可求出k的值。
【解析】
设正方形AOBC的边长为a。
∵四边形AOBC是正方形，
∴AC=BC=a，∠C=90°，△ABC为等腰直角三角形，斜边$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{2}a$。
根据直角三角形内切圆半径公式$r=\frac{两直角边之和-斜边}{2}$，已知内切圆半径$r=4-2\sqrt{2}$，代入得：
$\frac{a+a-\sqrt{2}a}{2}=4-2\sqrt{2}$
整理得$\frac{a(2-\sqrt{2})}{2}=2(2-\sqrt{2})$，两边同时除以不为0的$2-\sqrt{2}$，得$\frac{a}{2}=2$，解得$a=4$。
正方形对角线交点坐标为$(\frac{a}{2},\frac{a}{2})$，即$(2,2)$。
将$(2,2)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得$2=\frac{k}{2}$，解得$k=4$。
【答案】
4
【知识点】
反比例函数图象性质；正方形的性质；直角三角形内切圆公式
【点评】
本题是反比例函数与几何的综合题，解题核心是通过内切圆半径求出正方形边长，进而得到反比例函数经过的点的坐标，需要熟练掌握常见几何图形的性质和相关公式。
【难度系数】
0.65
首先设正方形AOBC的边长为a，先判断△ABC为等腰直角三角形，利用直角三角形内切圆半径公式列方程求出a的值；再确定正方形对角线交点的坐标，该点在反比例函数图象上，代入解析式即可求出k的值。
【解析】
设正方形AOBC的边长为a。
∵四边形AOBC是正方形，
∴AC=BC=a，∠C=90°，△ABC为等腰直角三角形，斜边$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{2}a$。
根据直角三角形内切圆半径公式$r=\frac{两直角边之和-斜边}{2}$，已知内切圆半径$r=4-2\sqrt{2}$，代入得：
$\frac{a+a-\sqrt{2}a}{2}=4-2\sqrt{2}$
整理得$\frac{a(2-\sqrt{2})}{2}=2(2-\sqrt{2})$，两边同时除以不为0的$2-\sqrt{2}$，得$\frac{a}{2}=2$，解得$a=4$。
正方形对角线交点坐标为$(\frac{a}{2},\frac{a}{2})$，即$(2,2)$。
将$(2,2)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得$2=\frac{k}{2}$，解得$k=4$。
【答案】
4
【知识点】
反比例函数图象性质；正方形的性质；直角三角形内切圆公式
【点评】
本题是反比例函数与几何的综合题，解题核心是通过内切圆半径求出正方形边长，进而得到反比例函数经过的点的坐标，需要熟练掌握常见几何图形的性质和相关公式。
【难度系数】
0.65
3. (2025·温州期中)如图,双曲线$y=\frac{k}{x}(x＞0)$经过$Rt△ AOB$斜边的中点P,交直角边AB于点Q,连结OQ,点A的坐标为(8,4).
(1)求双曲线$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的表达式;
(2)求证:$△ BOQ ∽ △ BAO$.
(1)求双曲线$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的表达式;
(2)求证:$△ BOQ ∽ △ BAO$.
答案
3. (1)
∵ OA 的中点是 P,点 A 的坐标为(8,4),
∴ P(4,2).
∵ 双曲线$y=\frac{k}{x}(x＞0)$经过点 P,
∴ k=4×2=8,
∴ 双曲线的表达式为$y=\frac{8}{x}$.
(2)
∵ △AOB 为直角三角形,
∴ AB//x 轴,
∴ A,Q 两点的纵坐标相等,均为 4,代入反比例函数表达式$y=\frac{8}{x}$,得 x=2,
∴ Q(2,4),
∴ BQ=2.
∵ 点 A 的坐标为(8,4),
∴ OB=4,AB=8,
∴$\frac{BQ}{OB}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$,
$\frac{BO}{AB}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$,
∴$\frac{BQ}{OB}=\frac{BO}{AB}$.又
∵ ∠OBQ=∠ABO,
∴ △BOQ∽△BAO.
解析
【分析】
(1) 求反比例函数表达式需要确定解析式中未知参数$k$的值，已知双曲线过$OA$的中点$P$，因此可先根据点$A$的坐标，利用中点坐标公式求出点$P$的坐标，再将$P$点坐标代入反比例函数解析式即可计算出$k$的值，得到函数表达式。
(2) 要证明$△ BOQ ∽ △ BAO$，首先观察两个三角形有公共角$∠ OBQ=∠ ABO$（均为直角），根据相似三角形的判定定理，只需证明该角的两组夹边对应成比例即可。由$\mathrm{Rt}△ AOB$的性质可知$AB$平行于$x$轴，因此$Q$点与$A$点纵坐标相同，代入已求出的反比例函数解析式可得到$Q$点坐标，进而计算出$BQ$、$OB$、$AB$的长度，验证夹边比例相等即可完成证明。
【解析】
(1)
$\because$ $OA$的中点是$P$，点$A$的坐标为$(8,4)$，
$\therefore$ $P$点坐标为$(4,2)$，
$\because$ 双曲线$y=\frac{k}{x}(x＞0)$经过点$P$，
$\therefore$ 代入得$k=4×2=8$，
$\therefore$ 双曲线的表达式为$y=\frac{8}{x}(x＞0)$。
(2)
$\because$ $△ AOB$为直角三角形，直角顶点为$B$，
$\therefore$ $AB// x$轴，$A$、$Q$两点纵坐标相同，均为$4$，
将$y=4$代入$y=\frac{8}{x}$，得$4=\frac{8}{x}$，解得$x=2$，
$\therefore$ $Q$点坐标为$(2,4)$，即$BQ=2$，
$\because$ 点$A$的坐标为$(8,4)$，
$\therefore$ $OB=4$，$AB=8$，
$\therefore$ $\frac{BQ}{OB}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，$\frac{BO}{AB}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，
$\therefore$ $\frac{BQ}{OB}=\frac{BO}{AB}$，
又$\because$ $∠ OBQ=∠ ABO=90°$，
$\therefore$ $△ BOQ ∽ △ BAO$。
【答案】
3. (1)
∵ OA 的中点是 P,点 A 的坐标为(8,4),
∴ P(4,2).
∵ 双曲线$y=\frac{k}{x}(x＞0)$经过点 P,
∴ k=4×2=8,
∴ 双曲线的表达式为$y=\frac{8}{x}$.
(2)
∵ △AOB 为直角三角形,
∴ AB//x 轴,
∴ A,Q 两点的纵坐标相等,均为 4,代入反比例函数表达式$y=\frac{8}{x}$,得 x=2,
∴ Q(2,4),
∴ BQ=2.
∵ 点 A 的坐标为(8,4),
∴ OB=4,AB=8,
∴$\frac{BQ}{OB}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$,
$\frac{BO}{AB}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$,
∴$\frac{BQ}{OB}=\frac{BO}{AB}$.又
∵ ∠OBQ=∠ABO,
∴ △BOQ∽△BAO.
【知识点】
反比例函数解析式确定，相似三角形判定，平面直角坐标系坐标特征
【点评】
本题是反比例函数与几何的基础综合题，结合了坐标运算、反比例函数性质、相似三角形判定多个考点，解题思路清晰，核心是先求出相关点的坐标，再利用相似的判定定理完成证明，对学生的基础运算能力和几何分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
(1) 求反比例函数表达式需要确定解析式中未知参数$k$的值，已知双曲线过$OA$的中点$P$，因此可先根据点$A$的坐标，利用中点坐标公式求出点$P$的坐标，再将$P$点坐标代入反比例函数解析式即可计算出$k$的值，得到函数表达式。
(2) 要证明$△ BOQ ∽ △ BAO$，首先观察两个三角形有公共角$∠ OBQ=∠ ABO$（均为直角），根据相似三角形的判定定理，只需证明该角的两组夹边对应成比例即可。由$\mathrm{Rt}△ AOB$的性质可知$AB$平行于$x$轴，因此$Q$点与$A$点纵坐标相同，代入已求出的反比例函数解析式可得到$Q$点坐标，进而计算出$BQ$、$OB$、$AB$的长度，验证夹边比例相等即可完成证明。
【解析】
(1)
$\because$ $OA$的中点是$P$，点$A$的坐标为$(8,4)$，
$\therefore$ $P$点坐标为$(4,2)$，
$\because$ 双曲线$y=\frac{k}{x}(x＞0)$经过点$P$，
$\therefore$ 代入得$k=4×2=8$，
$\therefore$ 双曲线的表达式为$y=\frac{8}{x}(x＞0)$。
(2)
$\because$ $△ AOB$为直角三角形，直角顶点为$B$，
$\therefore$ $AB// x$轴，$A$、$Q$两点纵坐标相同，均为$4$，
将$y=4$代入$y=\frac{8}{x}$，得$4=\frac{8}{x}$，解得$x=2$，
$\therefore$ $Q$点坐标为$(2,4)$，即$BQ=2$，
$\because$ 点$A$的坐标为$(8,4)$，
$\therefore$ $OB=4$，$AB=8$，
$\therefore$ $\frac{BQ}{OB}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，$\frac{BO}{AB}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，
$\therefore$ $\frac{BQ}{OB}=\frac{BO}{AB}$，
又$\because$ $∠ OBQ=∠ ABO=90°$，
$\therefore$ $△ BOQ ∽ △ BAO$。
【答案】
3. (1)
∵ OA 的中点是 P,点 A 的坐标为(8,4),
∴ P(4,2).
∵ 双曲线$y=\frac{k}{x}(x＞0)$经过点 P,
∴ k=4×2=8,
∴ 双曲线的表达式为$y=\frac{8}{x}$.
(2)
∵ △AOB 为直角三角形,
∴ AB//x 轴,
∴ A,Q 两点的纵坐标相等,均为 4,代入反比例函数表达式$y=\frac{8}{x}$,得 x=2,
∴ Q(2,4),
∴ BQ=2.
∵ 点 A 的坐标为(8,4),
∴ OB=4,AB=8,
∴$\frac{BQ}{OB}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$,
$\frac{BO}{AB}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$,
∴$\frac{BQ}{OB}=\frac{BO}{AB}$.又
∵ ∠OBQ=∠ABO,
∴ △BOQ∽△BAO.
【知识点】
反比例函数解析式确定，相似三角形判定，平面直角坐标系坐标特征
【点评】
本题是反比例函数与几何的基础综合题，结合了坐标运算、反比例函数性质、相似三角形判定多个考点，解题思路清晰，核心是先求出相关点的坐标，再利用相似的判定定理完成证明，对学生的基础运算能力和几何分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
4. 如图,在平面直角坐标系$xOy$中,等腰直角三角形$ABC$的直角顶点为$C(3,0)$,顶点$A$,$B(6,m)$恰好落在反比例函数$y=\frac{k}{x}$在第一象限的图象上.
(1)分别求反比例函数的表达式和直线$AB$所对应的一次函数的表达式.
(2)在$x$轴上是否存在一点$P$,使$△ ABP$周长的值最小?若存在,求出最小值;若不存在,请说明理由.
(1)分别求反比例函数的表达式和直线$AB$所对应的一次函数的表达式.
(2)在$x$轴上是否存在一点$P$,使$△ ABP$周长的值最小?若存在,求出最小值;若不存在,请说明理由.
答案
4. (1)过点 A 作 AE⊥x 轴于点 E,过点 B 作 BD⊥x 轴于点 D,如图①,则∠AEC=∠CDB=90°.
∵ 点 C(3,0),B(6,m),
∴ OC=3,OD=6,BD=m,
∴ CD=OD-OC=3.
∵ △ABC 是等腰直角三角形,
∴ ∠ACB=90°,AC=BC.
∵ ∠ACE+∠BCD=∠CBD+∠BCD=90°,
∴ ∠ACE=∠CBD,
∴ △ACE≌△CBD(AAS),
∴ CD=AE=3,BD=EC=m,
∴ OE=OC-EC=3-m,
∴ 点 A 的坐标是(3-m,3).
∵ 点 A,B(6,m)恰好落在反比例函数$y=\frac{k}{x}$第一象限的图象上,
∴ 3(3-m)=6m,解得 m=1,
∴ 点 A 的坐标是(2,3),点 B 的坐标是(6,1),
∴ k=6m=6,
∴ 反比例函数的表达式是$y=\frac{6}{x}$.设直线 AB 所对应的一次函数的表达式为 y=px+q,把点 A 和点 B 的坐标代入,得$\begin{cases}2p+q=3,\\6p+q=1,\end{cases}$解得$\begin{cases}p=-\frac{1}{2},\\q=4,\end{cases}$
∴ 直线 AB 所对应的一次函数的表达式为$y=-\frac{1}{2}x+4$.
(2)存在.延长 AE 至点 A',使得 EA'=AE,
∴ 点 A 与点 A'关于 x 轴对称,连结 A'B 交 x 轴于点 P,连结 AP,如图②,
∴ AP=A'P,A'(2,-3).
∵ AP+PB=A'P+PB=A'B,
∴ AP+PB 的最小值是 A'B 的长度.
∵ AB=$\sqrt{(2-6)^2+(3-1)^2}=2\sqrt{5}$,即 AB 是定值,
∴ 此时△ABP 的周长为 AP+PB+AB=AB+A'B,最小.设直线 A'B 的表达式是 y=nx+t,则$\begin{cases}2n+t=-3,\\6n+t=1,\end{cases}$解得$\begin{cases}n=1,\\t=-5,\end{cases}$
∴ 直线 A'B 的表达式是 y=x-5,当 y=0 时,0=x-5,解得 x=5,即点 P 的坐标是(5,0),此时 AP+PB+AB=AB+A'B=$2\sqrt{5}+\sqrt{(2-6)^2+(-3-1)^2}=2\sqrt{5}+4\sqrt{2}$.综上可知,在 x 轴上存在一点 P(5,0),使△ABP 周长的值最小,最小值是$2\sqrt{5}+4\sqrt{2}$.
解析
【分析】
(1) 要求反比例函数和直线AB的解析式，需先求出点A、B的坐标。已知△ABC是等腰直角三角形，直角顶点为C，可通过过A作AE⊥x轴、过B作BD⊥x轴，证明△ACE和△CBD全等，用含m的式子表示出点A的坐标，再根据A、B都在反比例函数图象上、横纵坐标乘积相等列方程求出m的值，即可得到A、B坐标，进而求出两个函数的解析式。
(2) 要使△ABP周长最小，由于AB的长度是定值，因此只需满足AP+BP的值最小即可。根据轴对称最短路径原理，作点A关于x轴的对称点A'，连接A'B与x轴的交点即为所求的点P，此时AP+BP=A'B，计算A'B与AB的和就是周长的最小值。
【解析】
(1) 过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BD⊥x轴于点D，如图①，则∠AEC=∠CDB=90°。
∵点C(3,0)，B(6,m)，
∴OC=3，OD=6，BD=m，
∴CD=OD-OC=3。
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ACB=90°，AC=BC。
∵∠ACE+∠BCD=∠CBD+∠BCD=90°，
∴∠ACE=∠CBD，
∴△ACE≌△CBD(AAS)，
∴CD=AE=3，BD=EC=m，
∴OE=OC-EC=3-m，
∴点A的坐标是(3-m,3)。
∵点A，B(6,m)恰好落在反比例函数$y=\frac{k}{x}$第一象限的图象上，
∴3(3-m)=6m，解得m=1，
∴点A的坐标是(2,3)，点B的坐标是(6,1)，
∴k=6m=6，
∴反比例函数的表达式是$y=\frac{6}{x}$。
设直线AB所对应的一次函数的表达式为y=px+q，把点A和点B的坐标代入，得$\begin{cases}2p+q=3,\\6p+q=1,\end{cases}$
解得$\begin{cases}p=-\frac{1}{2},\\q=4,\end{cases}$
∴直线AB所对应的一次函数的表达式为$y=-\frac{1}{2}x+4$。
(2) 存在。延长AE至点A'，使得EA'=AE，
∴点A与点A'关于x轴对称，连结A'B交x轴于点P，连结AP，如图②，
∴AP=A'P，A'(2,-3)。
∵AP+PB=A'P+PB=A'B，
∴AP+PB的最小值是A'B的长度。
∵AB=$\sqrt{(2-6)^2+(3-1)^2}=2\sqrt{5}$，即AB是定值，
∴此时△ABP的周长为AP+PB+AB=AB+A'B，最小。
设直线A'B的表达式是y=nx+t，则$\begin{cases}2n+t=-3,\\6n+t=1,\end{cases}$
解得$\begin{cases}n=1,\\t=-5,\end{cases}$
∴直线A'B的表达式是y=x-5，当y=0时，0=x-5，解得x=5，即点P的坐标是(5,0)，此时AP+PB+AB=AB+A'B=$2\sqrt{5}+\sqrt{(2-6)^2+(-3-1)^2}=2\sqrt{5}+4\sqrt{2}$。
综上可知，在x轴上存在一点P(5,0)，使△ABP周长的值最小，最小值是$2\sqrt{5}+4\sqrt{2}$。
【答案】
(1) 反比例函数的表达式为$\boldsymbol{y=\frac{6}{x}}$，直线AB对应的一次函数表达式为$\boldsymbol{y=-\frac{1}{2}x+4}$；
(2) 存在，点P坐标为(5,0)，△ABP周长最小值为$\boldsymbol{2\sqrt{5}+4\sqrt{2}}$。
【知识点】
反比例函数解析式求解，全等三角形的判定与性质，轴对称最短路径问题
【点评】
本题将反比例函数与几何图形结合，既考查了函数解析式的求解方法，也考查了全等三角形的应用和最短路径问题的处理思路，解题的关键是通过构造全等三角形得到未知点的坐标，再利用轴对称性质解决最值问题，是较为典型的函数与几何综合题型。
【难度系数】
0.6
(1) 要求反比例函数和直线AB的解析式，需先求出点A、B的坐标。已知△ABC是等腰直角三角形，直角顶点为C，可通过过A作AE⊥x轴、过B作BD⊥x轴，证明△ACE和△CBD全等，用含m的式子表示出点A的坐标，再根据A、B都在反比例函数图象上、横纵坐标乘积相等列方程求出m的值，即可得到A、B坐标，进而求出两个函数的解析式。
(2) 要使△ABP周长最小，由于AB的长度是定值，因此只需满足AP+BP的值最小即可。根据轴对称最短路径原理，作点A关于x轴的对称点A'，连接A'B与x轴的交点即为所求的点P，此时AP+BP=A'B，计算A'B与AB的和就是周长的最小值。
【解析】
(1) 过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BD⊥x轴于点D，如图①，则∠AEC=∠CDB=90°。
∵点C(3,0)，B(6,m)，
∴OC=3，OD=6，BD=m，
∴CD=OD-OC=3。
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ACB=90°，AC=BC。
∵∠ACE+∠BCD=∠CBD+∠BCD=90°，
∴∠ACE=∠CBD，
∴△ACE≌△CBD(AAS)，
∴CD=AE=3，BD=EC=m，
∴OE=OC-EC=3-m，
∴点A的坐标是(3-m,3)。
∵点A，B(6,m)恰好落在反比例函数$y=\frac{k}{x}$第一象限的图象上，
∴3(3-m)=6m，解得m=1，
∴点A的坐标是(2,3)，点B的坐标是(6,1)，
∴k=6m=6，
∴反比例函数的表达式是$y=\frac{6}{x}$。
设直线AB所对应的一次函数的表达式为y=px+q，把点A和点B的坐标代入，得$\begin{cases}2p+q=3,\\6p+q=1,\end{cases}$
解得$\begin{cases}p=-\frac{1}{2},\\q=4,\end{cases}$
∴直线AB所对应的一次函数的表达式为$y=-\frac{1}{2}x+4$。
(2) 存在。延长AE至点A'，使得EA'=AE，
∴点A与点A'关于x轴对称，连结A'B交x轴于点P，连结AP，如图②，
∴AP=A'P，A'(2,-3)。
∵AP+PB=A'P+PB=A'B，
∴AP+PB的最小值是A'B的长度。
∵AB=$\sqrt{(2-6)^2+(3-1)^2}=2\sqrt{5}$，即AB是定值，
∴此时△ABP的周长为AP+PB+AB=AB+A'B，最小。
设直线A'B的表达式是y=nx+t，则$\begin{cases}2n+t=-3,\\6n+t=1,\end{cases}$
解得$\begin{cases}n=1,\\t=-5,\end{cases}$
∴直线A'B的表达式是y=x-5，当y=0时，0=x-5，解得x=5，即点P的坐标是(5,0)，此时AP+PB+AB=AB+A'B=$2\sqrt{5}+\sqrt{(2-6)^2+(-3-1)^2}=2\sqrt{5}+4\sqrt{2}$。
综上可知，在x轴上存在一点P(5,0)，使△ABP周长的值最小，最小值是$2\sqrt{5}+4\sqrt{2}$。
【答案】
(1) 反比例函数的表达式为$\boldsymbol{y=\frac{6}{x}}$，直线AB对应的一次函数表达式为$\boldsymbol{y=-\frac{1}{2}x+4}$；
(2) 存在，点P坐标为(5,0)，△ABP周长最小值为$\boldsymbol{2\sqrt{5}+4\sqrt{2}}$。
【知识点】
反比例函数解析式求解，全等三角形的判定与性质，轴对称最短路径问题
【点评】
本题将反比例函数与几何图形结合，既考查了函数解析式的求解方法，也考查了全等三角形的应用和最短路径问题的处理思路，解题的关键是通过构造全等三角形得到未知点的坐标，再利用轴对称性质解决最值问题，是较为典型的函数与几何综合题型。
【难度系数】
0.6
