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5. ★★★ 如图①，已知点$A(b,0),B(0,a)$，且$a,b$满足$\sqrt{a+b+3}+(b+1)^2=0$，$□ ABCD$的边$AD$与$y$轴交于点$E$，且$E$为$AD$中点，双曲线$y=\frac{k}{x}$经过$C,D$两点，且$D(m,4)$.
(1)求$m$和$k$的值；
(2)如图②，点$P$在双曲线$y=\frac{k}{x}$上，点$Q$在$y$轴上，若以点$A,B,P,Q$为顶点的四边形是平行四边形，求出满足要求的所有点$Q$的坐标；
(3)以线段$AB$为对角线作正方形$AFBH$(如图③)，点$T$是边$AF$上一动点，$M$是$HT$的中点，$MN⊥HT$，交$AB$于$N$，当$T$在$AF$上运动时，$∠THN$的度数为
(1)求$m$和$k$的值；
(2)如图②，点$P$在双曲线$y=\frac{k}{x}$上，点$Q$在$y$轴上，若以点$A,B,P,Q$为顶点的四边形是平行四边形，求出满足要求的所有点$Q$的坐标；
(3)以线段$AB$为对角线作正方形$AFBH$(如图③)，点$T$是边$AF$上一动点，$M$是$HT$的中点，$MN⊥HT$，交$AB$于$N$，当$T$在$AF$上运动时，$∠THN$的度数为
45°
.答案
5. (1)
∵ $\sqrt{a+b+3}+(b+1)^2=0$,
∴ $\begin{cases}a+b+3=0,\\b+1=0,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=-2,\\b=-1,\end{cases}$
∴ A(-1,0),B(0,-2).
∵ E 为 AD 中点,D(m,4),
∴ 根据中点坐标公式可得$x_E=\frac{x_A+x_D}{2}=\frac{-1+m}{2}=0$,解得 m=1,
∴ D(1,4).
∵ D(1,4)在双曲线$y=\frac{k}{x}$上,
∴ k=1×4=4.
(2)若以点 A,B,P,Q 为顶点的四边形是平行四边形,①当 AB 为对角线时,根据中点坐标公式可得$\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{x_P+x_Q}{2}$,$\frac{y_A+y_B}{2}=\frac{y_P+y_Q}{2}$,则有$\frac{-1+0}{2}=\frac{x_P+0}{2}$,$\frac{0-2}{2}=\frac{y_P+y_Q}{2}$,解得$x_P=-1$,$y_P+y_Q=-2$,
∴ $y_P=\frac{4}{-1}=-4$,$y_Q=-2+4=2$,
∴ P(-1,-4),Q(0,2),
②当 AP 为对角线时,同理可得 P(1,4),Q(0,6),
③当 AQ 为对角线时,同理可得 P(-1,-4),Q(0,-6),
综上所述:点 Q 的坐标为(0,2),(0,6),(0,-6).
(3)45° 解析:过点 N 作 NS⊥AH 于点 S,作 NR⊥AF 于点 R,连结 NH,NT,如图,
∵ AB 为正方形 AFBH 的对角线,
∴ ∠FAB=∠HAB=45°,
∴ NR=NS.
∵ M 是 HT 的中点,MN⊥HT,
∴ NT=NH,
∴ Rt△TRN≌Rt△HSN(HL),
∴ ∠RNT=∠SNH,
∴ ∠TNH=∠RNS=90°,
∴ △TNH 是等腰直角三角形,
∴ ∠THN=45°.
解析
【分析】
(1) 首先利用非负数的性质，算术平方根和偶次幂的结果均为非负，二者和为0则分别等于0，列方程组求出a、b的值，得到A、B的坐标；再结合E是AD中点且E在y轴上（横坐标为0），用中点坐标公式求出m，最后将D点坐标代入反比例函数解析式求k。
(2) 平行四边形存在性问题分三类讨论：分别以AB、AP、AQ为对角线，利用平行四边形对角线互相平分（即对角顶点的中点坐标相同）的性质，结合Q在y轴、P在双曲线上的条件，依次求解各情况对应的Q点坐标。
(3) 利用正方形对角线平分内角的性质，过N作AF、AH的垂线，可得N到两边距离相等；再根据垂直平分线的性质得NT=NH，证明直角三角形全等，推导△TNH为等腰直角三角形，即可求出∠THN的度数。
【解析】
(1)
∵ $\sqrt{a+b+3}+(b+1)^2=0$，且算术平方根、平方均为非负数，
∴ $\begin{cases}a+b+3=0\\b+1=0\end{cases}$，解得 $\begin{cases}a=-2\\b=-1\end{cases}$，
∴ $A(-1,0)$，$B(0,-2)$。
∵ E为AD中点，E在y轴上即横坐标为0，$D(m,4)$，
根据中点坐标公式得：$\frac{-1+m}{2}=0$，解得$m=1$，即$D(1,4)$。
∵ 双曲线$y=\frac{k}{x}$经过D点，代入得$k=1×4=4$。
(2) 分三种情况讨论：
① 当AB为平行四边形的对角线时，对角线中点重合，可得：
$\frac{-1+0}{2}=\frac{x_P+0}{2}$，$\frac{0-2}{2}=\frac{y_P+y_Q}{2}$，
解得$x_P=-1$，代入$y=\frac{4}{x}$得$y_P=-4$，进一步得$y_Q=2$，即$Q(0,2)$；
② 当AP为平行四边形的对角线时，同理可得$x_P=1$，$y_P=4$，$y_Q=6$，即$Q(0,6)$；
③ 当AQ为平行四边形的对角线时，同理可得$x_P=-1$，$y_P=-4$，$y_Q=-6$，即$Q(0,-6)$。
(3) 过点N作$NS⊥AH$于点S，作$NR⊥AF$于点R，连结NH、NT，如图：
∵ AB为正方形AFBH的对角线，
∴ $∠FAB=∠HAB=45°$，根据角平分线性质得$NR=NS$。
∵ M是HT的中点，$MN⊥HT$，
∴ MN是HT的垂直平分线，得$NT=NH$。
∴ $Rt△ TRN≌Rt△ HSN(HL)$，
∴ $∠RNT=∠SNH$，则$∠TNH=∠RNS=90°$，
∴ $△ TNH$是等腰直角三角形，故$∠THN=45°$。
【答案】
(1) $m=1$，$k=4$；
(2) 点Q的坐标为$(0,2)$，$(0,6)$，$(0,-6)$；
(3) $45°$
【知识点】
1. 非负数的性质
2. 反比例函数图象与性质
3. 特殊四边形的性质
【点评】
本题是代数与几何的综合题，既考查了基础运算能力，又要求掌握平行四边形存在性的分类讨论方法，还涉及全等证明、特殊三角形的判定等几何知识，能有效考查知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.4
(1) 首先利用非负数的性质，算术平方根和偶次幂的结果均为非负，二者和为0则分别等于0，列方程组求出a、b的值，得到A、B的坐标；再结合E是AD中点且E在y轴上（横坐标为0），用中点坐标公式求出m，最后将D点坐标代入反比例函数解析式求k。
(2) 平行四边形存在性问题分三类讨论：分别以AB、AP、AQ为对角线，利用平行四边形对角线互相平分（即对角顶点的中点坐标相同）的性质，结合Q在y轴、P在双曲线上的条件，依次求解各情况对应的Q点坐标。
(3) 利用正方形对角线平分内角的性质，过N作AF、AH的垂线，可得N到两边距离相等；再根据垂直平分线的性质得NT=NH，证明直角三角形全等，推导△TNH为等腰直角三角形，即可求出∠THN的度数。
【解析】
(1)
∵ $\sqrt{a+b+3}+(b+1)^2=0$，且算术平方根、平方均为非负数，
∴ $\begin{cases}a+b+3=0\\b+1=0\end{cases}$，解得 $\begin{cases}a=-2\\b=-1\end{cases}$，
∴ $A(-1,0)$，$B(0,-2)$。
∵ E为AD中点，E在y轴上即横坐标为0，$D(m,4)$，
根据中点坐标公式得：$\frac{-1+m}{2}=0$，解得$m=1$，即$D(1,4)$。
∵ 双曲线$y=\frac{k}{x}$经过D点，代入得$k=1×4=4$。
(2) 分三种情况讨论：
① 当AB为平行四边形的对角线时，对角线中点重合，可得：
$\frac{-1+0}{2}=\frac{x_P+0}{2}$，$\frac{0-2}{2}=\frac{y_P+y_Q}{2}$，
解得$x_P=-1$，代入$y=\frac{4}{x}$得$y_P=-4$，进一步得$y_Q=2$，即$Q(0,2)$；
② 当AP为平行四边形的对角线时，同理可得$x_P=1$，$y_P=4$，$y_Q=6$，即$Q(0,6)$；
③ 当AQ为平行四边形的对角线时，同理可得$x_P=-1$，$y_P=-4$，$y_Q=-6$，即$Q(0,-6)$。
(3) 过点N作$NS⊥AH$于点S，作$NR⊥AF$于点R，连结NH、NT，如图：
∵ AB为正方形AFBH的对角线，
∴ $∠FAB=∠HAB=45°$，根据角平分线性质得$NR=NS$。
∵ M是HT的中点，$MN⊥HT$，
∴ MN是HT的垂直平分线，得$NT=NH$。
∴ $Rt△ TRN≌Rt△ HSN(HL)$，
∴ $∠RNT=∠SNH$，则$∠TNH=∠RNS=90°$，
∴ $△ TNH$是等腰直角三角形，故$∠THN=45°$。
【答案】
(1) $m=1$，$k=4$；
(2) 点Q的坐标为$(0,2)$，$(0,6)$，$(0,-6)$；
(3) $45°$
【知识点】
1. 非负数的性质
2. 反比例函数图象与性质
3. 特殊四边形的性质
【点评】
本题是代数与几何的综合题，既考查了基础运算能力，又要求掌握平行四边形存在性的分类讨论方法，还涉及全等证明、特殊三角形的判定等几何知识，能有效考查知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.4
6. （2024·广东中考）【问题背景】如图①，在平面直角坐标系中，点B,D是直线$y=ax(a＞0)$上第一象限内的两个动点$(OD＞OB)$,以线段BD为对角线作矩形ABCD,$AD// x$轴.反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过点A.
【构建联系】(1)求证:函数$y=\frac{k}{x}$的图象必经过点C.
(2)如图②,把矩形ABCD沿BD折叠,点C的对应点为E.当点E落在y轴上,且点B的坐标为$(1,2)$时,求k的值.
【深入探究】(3)如图③,把矩形ABCD沿BD折叠,点C的对应点为E.当点E,A重合时,连结AC交BD于点P.以点O为圆心,AC长为半径作$\odot O$.若$OP=3\sqrt{2}$,当$\odot O$与$△ ABC$的边有交点时,求k的取值范围.
【构建联系】(1)求证:函数$y=\frac{k}{x}$的图象必经过点C.
(2)如图②,把矩形ABCD沿BD折叠,点C的对应点为E.当点E落在y轴上,且点B的坐标为$(1,2)$时,求k的值.
【深入探究】(3)如图③,把矩形ABCD沿BD折叠,点C的对应点为E.当点E,A重合时,连结AC交BD于点P.以点O为圆心,AC长为半径作$\odot O$.若$OP=3\sqrt{2}$,当$\odot O$与$△ ABC$的边有交点时,求k的取值范围.
答案
6. (1)设 B(m,ma),则 A$(m,\frac{k}{m})$,
∵ AD//x 轴,
∴ D 点的纵坐标为$\frac{k}{m}$,
∴ 将$y=\frac{k}{m}$代入 y=ax 中,得$\frac{k}{m}=ax$,得$x=\frac{k}{am}$.
∴ D$(\frac{k}{am},\frac{k}{m})$,
∴ C$(\frac{k}{am},am)$.将$x=\frac{k}{am}$代入$y=\frac{k}{x}$中得 y=am,
∴ 函数$y=\frac{k}{x}$的图象必经过点 C.
(2)
∵ 点 B(1,2)在直线 y=ax 上,
∴ a=2,
∴ y=2x,
∴ 点 A 的横坐标为 1,点 C 的纵坐标为 2.
∵ 函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过点 A,C,
∴ C$(\frac{k}{2},2)$,A(1,k),
∴ D$(\frac{k}{2},k)$,
∴ DC=k-2.
∵ 把矩形 ABCD 沿 BD 折叠,点 C 的对应点为 E,
∴ BE=BC=$\frac{k}{2}-1$,∠BED=∠BCD=90°,
∴ $\frac{DC}{BC}=\frac{k-2}{\frac{k}{2}-1}=2=\frac{DE}{BE}$,如图①,过点 D 作 DH⊥y 轴于点 H,过点 B 作 BF⊥y 轴于点 F,
∵ AD//x 轴,
∴ H,A,D 三点共线,
∴ ∠HED+∠BEF=90°,∠BEF+∠EBF=90°,
∴ ∠HED=∠EBF.
∵ ∠DHE=∠EFB=90°,
∴ △DHE∽△EFB,
∴ $\frac{DH}{EF}=\frac{HE}{BF}=\frac{DE}{BE}=2$.
∵ BF=1,DH=$\frac{k}{2}$,
∴ HE=2,EF=$\frac{k}{4}$,
∴ HF=2+$\frac{k}{4}$.又
∵ HF=DC,
∴ 2+$\frac{k}{4}=k-2$,
∴ $k=\frac{16}{3}$.
(3)把矩形 ABCD 沿 BD 折叠,点 C 的对应点为 E,当点 E,A 重合时,AC⊥BD,
∴ 四边形 ABCD 为正方形,∠ABP=∠DBC=45°,
∴ AB=BC=CD=DA=$\frac{AP}{\sin45°}=\sqrt{2}AP$,$AP=PC=BP=\frac{1}{2}AC$,$BP⊥AC$.
∵ BC//x 轴,
∴ 直线 y=ax 为第一、三象限的角平分线,
∴ y=x.当⊙O 过点 B 时,如图②所示,过点 D 作 DH//x 轴交 y 轴于点 H,
∵ AD//x 轴,
∴ H,A,D 三点共线.
∵ 以点 O 为圆心,AC 长为半径作⊙O,OP=$3\sqrt{2}$,
∴ OP=OB+BP=AC+BP=2AP+AP=3AP=$3\sqrt{2}$,
∴ AP=$\sqrt{2}$,
∴ AB=AD=$\sqrt{2}AP=2$,BD=2AP=$2\sqrt{2}$,BO=AC=2AP=$2\sqrt{2}$.
∵ AB//y 轴,
∴ △DHO∽△DAB,
∴ $\frac{HO}{AB}=\frac{DH}{AD}=\frac{DO}{BD}$,
∴ $\frac{HO}{2}=\frac{DH}{2}=\frac{2\sqrt{2}+2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}$,
∴ HO=HD=4,
∴ HA=HD-DA=4-2=2,
∴ A(2,4),
∴ k=2×4=8.
当⊙O 过点 A 时,根据 A,C 关于直线 OD 对称知,⊙O 必过点 C,如图③所示,连结 AO,CO,过点 D 作 DH//x 轴交 y 轴于点 H,
∵ AO=OC=AC,
∴ △AOC 为等边三角形.
∵ OP⊥AC,
∴ ∠AOP=$\frac{1}{2}×60°=$30°,
∴ AP=$\tan30°×OP=\frac{\sqrt{3}}{3}×3\sqrt{2}=\sqrt{6}=PD$,$AC=BD=2AP=2\sqrt{6}$,
∴ AB=AD=$\sqrt{2}AP=2\sqrt{3}$,$OD=OP+PD=3\sqrt{2}+\sqrt{6}$.
∵ AB//y 轴,
∴ △DHO∽△DAB,
∴ $\frac{HO}{AB}=\frac{DH}{AD}=\frac{DO}{BD}$,
∴ $\frac{HO}{2\sqrt{3}}=\frac{DH}{2\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2\sqrt{6}}$,
∴ HO=DH=3+$\sqrt{3}$,
∴ HA=DH-DA=3+$\sqrt{3}-2\sqrt{3}=3-\sqrt{3}$,
∴ A($3-\sqrt{3},3+\sqrt{3}$),
∴ k=$(3-\sqrt{3})×(3+\sqrt{3})=6$,
∴ 当⊙O 与△ABC 的边有交点时,k 的取值范围为$6≤k≤8$.
解析
【分析】
(1) 要证明反比例函数图象经过点C，可先设出点B的坐标，结合反比例函数解析式、直线$y=ax$的解析式以及矩形对边平行的性质，依次求出点A、D、C的坐标，再验证点C坐标满足反比例函数解析式即可。
(2) 先将点B坐标代入直线解析式求出a的值，再结合(1)的结论表示出A、C、D的坐标，利用折叠的性质得到边的等量关系，通过作辅助线构造相似三角形，利用相似三角形对应边成比例得到边的关系，结合纵坐标的等量关系列方程求解k。
(3) 折叠后点E与A重合，说明矩形ABCD是正方形，可得直线$y=ax$为$y=x$；再分两种情况讨论：①$\odot O$过点B时，②$\odot O$过点A、C时，分别结合OP的长度、相似三角形的性质求出点A的坐标，进而得到对应的k值，即可确定k的取值范围。
【解析】
(1) 设 $B(m,ma)$，则 $A(m,\frac{k}{m})$，
∵ $AD// x$ 轴，
∴ D 点的纵坐标为$\frac{k}{m}$，
将$y=\frac{k}{m}$代入 $y=ax$ 中，得$\frac{k}{m}=ax$，解得$x=\frac{k}{am}$，
∴ $D(\frac{k}{am},\frac{k}{m})$，
由矩形性质可得C点横坐标与D相同，纵坐标与B相同，即 $C(\frac{k}{am},am)$，
将$x=\frac{k}{am}$代入$y=\frac{k}{x}$中得 $y=am$，
∴ 函数$y=\frac{k}{x}$的图象必经过点 C。
(2)
∵ 点 $B(1,2)$ 在直线 $y=ax$ 上，
∴ $a=2$，即直线解析式为$y=2x$，
∴ 点 A 的横坐标为 1，点 C 的纵坐标为 2，
∵ 函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过点 A,C，
∴ $C(\frac{k}{2},2)$，$A(1,k)$，
∴ $D(\frac{k}{2},k)$，$DC=k-2$，
∵ 把矩形ABCD 沿 BD 折叠，点 C 的对应点为 E，
∴ $BE=BC=\frac{k}{2}-1$，$∠BED=∠BCD=90°$，
∴ $\frac{DC}{BC}=\frac{k-2}{\frac{k}{2}-1}=2=\frac{DE}{BE}$，
如图①，过点 D 作 $DH⊥y$ 轴于点 H，过点 B 作 $BF⊥y$ 轴于点 F，
∵ $AD// x$ 轴，
∴ H,A,D 三点共线，
∴ $∠HED+∠BEF=90°$，$∠BEF+∠EBF=90°$，
∴ $∠HED=∠EBF$，
又
∵ $∠DHE=∠EFB=90°$，
∴ $△ DHE∽△ EFB$，
∴ $\frac{DH}{EF}=\frac{HE}{BF}=\frac{DE}{BE}=2$，
∵ $BF=1$，$DH=\frac{k}{2}$，
∴ $HE=2$，$EF=\frac{k}{4}$，
∴ $HF=2+\frac{k}{4}$，
又
∵ $HF=DC$，
∴ $2+\frac{k}{4}=k-2$，
解得 $k=\frac{16}{3}$。
(3) 把矩形 ABCD 沿 BD 折叠，点 C 的对应点为 E，当点 E,A 重合时，$AC⊥BD$，
∴ 四边形 ABCD 为正方形，$∠ABP=∠DBC=45°$，
∴ $AB=BC=CD=DA=\frac{AP}{\sin45°}=\sqrt{2}AP$，$AP=PC=BP=\frac{1}{2}AC$，$BP⊥AC$，
∵ $BC// x$ 轴，
∴ 直线 $y=ax$ 为第一、三象限的角平分线，即$y=x$，
当$\odot O$ 过点 B 时，如图②所示，过点 D 作 $DH// x$ 轴交 y 轴于点 H，
∵ $AD// x$ 轴，
∴ H,A,D 三点共线，
∵ 以点 O 为圆心，AC 长为半径作$\odot O$，$OP=3\sqrt{2}$，
∴ $OP=OB+BP=AC+BP=2AP+AP=3AP=3\sqrt{2}$，
∴ $AP=\sqrt{2}$，
∴ $AB=AD=\sqrt{2}AP=2$，$BD=2AP=2\sqrt{2}$，$BO=AC=2AP=2\sqrt{2}$，
∵ $AB// y$ 轴，
∴ $△ DHO∽△ DAB$，
∴ $\frac{HO}{AB}=\frac{DH}{AD}=\frac{DO}{BD}$，
∴ $\frac{HO}{2}=\frac{DH}{2}=\frac{2\sqrt{2}+2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}$，
解得 $HO=HD=4$，
∴ $HA=HD-DA=4-2=2$，即$A(2,4)$，
∴ $k=2×4=8$，
当$\odot O$ 过点 A 时，根据 A,C 关于直线 OD 对称知，$\odot O$ 必过点 C，如图③所示，连结 AO,CO，过点 D 作 $DH// x$ 轴交 y 轴于点 H，
∵ $AO=OC=AC$，
∴ $△ AOC$ 为等边三角形，
∵ $OP⊥AC$，
∴ $∠AOP=\frac{1}{2}×60°=30°$，
∴ $AP=\tan30°×OP=\frac{\sqrt{3}}{3}×3\sqrt{2}=\sqrt{6}=PD$，$AC=BD=2AP=2\sqrt{6}$，
∴ $AB=AD=\sqrt{2}AP=2\sqrt{3}$，$OD=OP+PD=3\sqrt{2}+\sqrt{6}$，
∵ $AB// y$ 轴，
∴ $△ DHO∽△ DAB$，
∴ $\frac{HO}{AB}=\frac{DH}{AD}=\frac{DO}{BD}$，
∴ $\frac{HO}{2\sqrt{3}}=\frac{DH}{2\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2\sqrt{6}}$，
解得 $HO=DH=3+\sqrt{3}$，
∴ $HA=DH-DA=3+\sqrt{3}-2\sqrt{3}=3-\sqrt{3}$，即$A(3-\sqrt{3},3+\sqrt{3})$，
∴ $k=(3-\sqrt{3})×(3+\sqrt{3})=6$，
综上，当$\odot O$ 与$△ ABC$ 的边有交点时，k 的取值范围为$6≤k≤8$。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $k=\frac{16}{3}$；
(3) $6≤k≤8$
【知识点】
反比例函数图象与性质，折叠的性质，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是反比例函数与几何综合题，结合了矩形、正方形、折叠、相似三角形、圆的相关知识，设问层层递进，既考查了基础的坐标法应用，也考查了分类讨论思想和综合运用几何性质解决问题的能力。
【难度系数】
0.3
(1) 要证明反比例函数图象经过点C，可先设出点B的坐标，结合反比例函数解析式、直线$y=ax$的解析式以及矩形对边平行的性质，依次求出点A、D、C的坐标，再验证点C坐标满足反比例函数解析式即可。
(2) 先将点B坐标代入直线解析式求出a的值，再结合(1)的结论表示出A、C、D的坐标，利用折叠的性质得到边的等量关系，通过作辅助线构造相似三角形，利用相似三角形对应边成比例得到边的关系，结合纵坐标的等量关系列方程求解k。
(3) 折叠后点E与A重合，说明矩形ABCD是正方形，可得直线$y=ax$为$y=x$；再分两种情况讨论：①$\odot O$过点B时，②$\odot O$过点A、C时，分别结合OP的长度、相似三角形的性质求出点A的坐标，进而得到对应的k值，即可确定k的取值范围。
【解析】
(1) 设 $B(m,ma)$，则 $A(m,\frac{k}{m})$，
∵ $AD// x$ 轴，
∴ D 点的纵坐标为$\frac{k}{m}$，
将$y=\frac{k}{m}$代入 $y=ax$ 中，得$\frac{k}{m}=ax$，解得$x=\frac{k}{am}$，
∴ $D(\frac{k}{am},\frac{k}{m})$，
由矩形性质可得C点横坐标与D相同，纵坐标与B相同，即 $C(\frac{k}{am},am)$，
将$x=\frac{k}{am}$代入$y=\frac{k}{x}$中得 $y=am$，
∴ 函数$y=\frac{k}{x}$的图象必经过点 C。
(2)
∵ 点 $B(1,2)$ 在直线 $y=ax$ 上，
∴ $a=2$，即直线解析式为$y=2x$，
∴ 点 A 的横坐标为 1，点 C 的纵坐标为 2，
∵ 函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过点 A,C，
∴ $C(\frac{k}{2},2)$，$A(1,k)$，
∴ $D(\frac{k}{2},k)$，$DC=k-2$，
∵ 把矩形ABCD 沿 BD 折叠，点 C 的对应点为 E，
∴ $BE=BC=\frac{k}{2}-1$，$∠BED=∠BCD=90°$，
∴ $\frac{DC}{BC}=\frac{k-2}{\frac{k}{2}-1}=2=\frac{DE}{BE}$，
如图①，过点 D 作 $DH⊥y$ 轴于点 H，过点 B 作 $BF⊥y$ 轴于点 F，
∵ $AD// x$ 轴，
∴ H,A,D 三点共线，
∴ $∠HED+∠BEF=90°$，$∠BEF+∠EBF=90°$，
∴ $∠HED=∠EBF$，
又
∵ $∠DHE=∠EFB=90°$，
∴ $△ DHE∽△ EFB$，
∴ $\frac{DH}{EF}=\frac{HE}{BF}=\frac{DE}{BE}=2$，
∵ $BF=1$，$DH=\frac{k}{2}$，
∴ $HE=2$，$EF=\frac{k}{4}$，
∴ $HF=2+\frac{k}{4}$，
又
∵ $HF=DC$，
∴ $2+\frac{k}{4}=k-2$，
解得 $k=\frac{16}{3}$。
(3) 把矩形 ABCD 沿 BD 折叠，点 C 的对应点为 E，当点 E,A 重合时，$AC⊥BD$，
∴ 四边形 ABCD 为正方形，$∠ABP=∠DBC=45°$，
∴ $AB=BC=CD=DA=\frac{AP}{\sin45°}=\sqrt{2}AP$，$AP=PC=BP=\frac{1}{2}AC$，$BP⊥AC$，
∵ $BC// x$ 轴，
∴ 直线 $y=ax$ 为第一、三象限的角平分线，即$y=x$，
当$\odot O$ 过点 B 时，如图②所示，过点 D 作 $DH// x$ 轴交 y 轴于点 H，
∵ $AD// x$ 轴，
∴ H,A,D 三点共线，
∵ 以点 O 为圆心，AC 长为半径作$\odot O$，$OP=3\sqrt{2}$，
∴ $OP=OB+BP=AC+BP=2AP+AP=3AP=3\sqrt{2}$，
∴ $AP=\sqrt{2}$，
∴ $AB=AD=\sqrt{2}AP=2$，$BD=2AP=2\sqrt{2}$，$BO=AC=2AP=2\sqrt{2}$，
∵ $AB// y$ 轴，
∴ $△ DHO∽△ DAB$，
∴ $\frac{HO}{AB}=\frac{DH}{AD}=\frac{DO}{BD}$，
∴ $\frac{HO}{2}=\frac{DH}{2}=\frac{2\sqrt{2}+2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}$，
解得 $HO=HD=4$，
∴ $HA=HD-DA=4-2=2$，即$A(2,4)$，
∴ $k=2×4=8$，
当$\odot O$ 过点 A 时，根据 A,C 关于直线 OD 对称知，$\odot O$ 必过点 C，如图③所示，连结 AO,CO，过点 D 作 $DH// x$ 轴交 y 轴于点 H，
∵ $AO=OC=AC$，
∴ $△ AOC$ 为等边三角形，
∵ $OP⊥AC$，
∴ $∠AOP=\frac{1}{2}×60°=30°$，
∴ $AP=\tan30°×OP=\frac{\sqrt{3}}{3}×3\sqrt{2}=\sqrt{6}=PD$，$AC=BD=2AP=2\sqrt{6}$，
∴ $AB=AD=\sqrt{2}AP=2\sqrt{3}$，$OD=OP+PD=3\sqrt{2}+\sqrt{6}$，
∵ $AB// y$ 轴，
∴ $△ DHO∽△ DAB$，
∴ $\frac{HO}{AB}=\frac{DH}{AD}=\frac{DO}{BD}$，
∴ $\frac{HO}{2\sqrt{3}}=\frac{DH}{2\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2\sqrt{6}}$，
解得 $HO=DH=3+\sqrt{3}$，
∴ $HA=DH-DA=3+\sqrt{3}-2\sqrt{3}=3-\sqrt{3}$，即$A(3-\sqrt{3},3+\sqrt{3})$，
∴ $k=(3-\sqrt{3})×(3+\sqrt{3})=6$，
综上，当$\odot O$ 与$△ ABC$ 的边有交点时，k 的取值范围为$6≤k≤8$。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $k=\frac{16}{3}$；
(3) $6≤k≤8$
【知识点】
反比例函数图象与性质，折叠的性质，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是反比例函数与几何综合题，结合了矩形、正方形、折叠、相似三角形、圆的相关知识，设问层层递进，既考查了基础的坐标法应用，也考查了分类讨论思想和综合运用几何性质解决问题的能力。
【难度系数】
0.3
