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5. 如图,在平面直角坐标系中,已知点$A(-4,1),B(1,1),C(-3,3)$。
(1)画出$△ ABC$,并判断它的形状；
(2)已知点$P$是$y$轴上的一点,若$S_{△ ABC}=S_{△ ABP}$,求点$P$的坐标。
(1)画出$△ ABC$,并判断它的形状；
(2)已知点$P$是$y$轴上的一点,若$S_{△ ABC}=S_{△ ABP}$,求点$P$的坐标。
答案
5.解:(1)$△ABC$如图所示。
由图可知，$ AB^2=5^2=25 $，
$ AC^2=1^2+2^2=5,BC^2=2^2+4^2=20 $，
所以$ AB^2=AC^2+BC^2 $，
所以$ △ABC $为直角三角形，且$ ∠ACB=90° $。
(2)设点$ P $到$ AB $的距离为$ h $，则
$ \frac{1}{2}AB·h=\frac{1}{2}AB×2 $，所以$ h=2 $。
因为点$ P $是$ y $轴上的一点，$ AB// x $轴，
所以点$ P $的坐标为$ (0,3) $或$ (0,-1) $。
解析
【分析】
(1) 先根据A、B、C三点的坐标，在平面直角坐标系中描出对应点，顺次连接得到△ABC；要判断三角形形状，可借助勾股定理的逆定理：分别计算三角形三边长度的平方，验证是否满足两边平方和等于第三边的平方，即可判断是否为直角三角形。
(2) 两个三角形同以AB为底，若面积相等则AB边上的高相等。先求出△ABC中AB边上的高，结合AB平行于x轴的特点，可知点P到直线AB的距离等于该高；再结合点P在y轴上的条件，分点P在AB上方、下方两种情况计算P的纵坐标，即可得到P的坐标，注意不要漏解。
【解析】
(1) 按照坐标描点连线，得到△ABC如图所示：
计算各边长度的平方：
点A(-4,1)，B(1,1)，横坐标差为$1-(-4)=5$，纵坐标相同，故$AB^2=5^2=25$；
点A(-4,1)，C(-3,3)，横坐标差为$-3-(-4)=1$，纵坐标差为$3-1=2$，故$AC^2=1^2+2^2=5$；
点B(1,1)，C(-3,3)，横坐标差为$-3-1=-4$，纵坐标差为$3-1=2$，故$BC^2=(-4)^2+2^2=20$；
可得$AB^2=AC^2+BC^2$，根据勾股定理的逆定理，$△ ABC$为直角三角形，且$∠ ACB=90°$。
(2) 设点P到AB的距离为$h$，
先计算$S_{△ ABC}$：以AB为底，AB长为5，AB边上的高为C到AB的垂直距离，即$3-1=2$，故$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB × 2$。
因为$S_{△ ABC}=S_{△ ABP}$，即$\frac{1}{2}× AB × h=\frac{1}{2}× AB × 2$，解得$h=2$。
由于AB所在直线为$y=1$，平行于x轴，点P在y轴上（横坐标为0），则P的纵坐标与1的差的绝对值为2：
当P在AB上方时，纵坐标为$1+2=3$，即$P(0,3)$；
当P在AB下方时，纵坐标为$1-2=-1$，即$P(0,-1)$。
【答案】
(1) $△ ABC$如图所示，$△ ABC$是直角三角形，$∠ ACB=90°$；
(2) 点P的坐标为$(0,3)$或$(0,-1)$。
【知识点】
勾股定理逆定理；坐标系面积计算；分类讨论
【点评】
本题将平面直角坐标系与三角形的相关知识结合，既考查了勾股定理逆定理的应用，也需要学生掌握坐标系内三角形面积的计算方法，第二问需注意分情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
(1) 先根据A、B、C三点的坐标，在平面直角坐标系中描出对应点，顺次连接得到△ABC；要判断三角形形状，可借助勾股定理的逆定理：分别计算三角形三边长度的平方，验证是否满足两边平方和等于第三边的平方，即可判断是否为直角三角形。
(2) 两个三角形同以AB为底，若面积相等则AB边上的高相等。先求出△ABC中AB边上的高，结合AB平行于x轴的特点，可知点P到直线AB的距离等于该高；再结合点P在y轴上的条件，分点P在AB上方、下方两种情况计算P的纵坐标，即可得到P的坐标，注意不要漏解。
【解析】
(1) 按照坐标描点连线，得到△ABC如图所示：
计算各边长度的平方：
点A(-4,1)，B(1,1)，横坐标差为$1-(-4)=5$，纵坐标相同，故$AB^2=5^2=25$；
点A(-4,1)，C(-3,3)，横坐标差为$-3-(-4)=1$，纵坐标差为$3-1=2$，故$AC^2=1^2+2^2=5$；
点B(1,1)，C(-3,3)，横坐标差为$-3-1=-4$，纵坐标差为$3-1=2$，故$BC^2=(-4)^2+2^2=20$；
可得$AB^2=AC^2+BC^2$，根据勾股定理的逆定理，$△ ABC$为直角三角形，且$∠ ACB=90°$。
(2) 设点P到AB的距离为$h$，
先计算$S_{△ ABC}$：以AB为底，AB长为5，AB边上的高为C到AB的垂直距离，即$3-1=2$，故$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB × 2$。
因为$S_{△ ABC}=S_{△ ABP}$，即$\frac{1}{2}× AB × h=\frac{1}{2}× AB × 2$，解得$h=2$。
由于AB所在直线为$y=1$，平行于x轴，点P在y轴上（横坐标为0），则P的纵坐标与1的差的绝对值为2：
当P在AB上方时，纵坐标为$1+2=3$，即$P(0,3)$；
当P在AB下方时，纵坐标为$1-2=-1$，即$P(0,-1)$。
【答案】
(1) $△ ABC$如图
所示，$△ ABC$是直角三角形，$∠ ACB=90°$；(2) 点P的坐标为$(0,3)$或$(0,-1)$。
【知识点】
勾股定理逆定理；坐标系面积计算；分类讨论
【点评】
本题将平面直角坐标系与三角形的相关知识结合，既考查了勾股定理逆定理的应用，也需要学生掌握坐标系内三角形面积的计算方法，第二问需注意分情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
6. 如图,在平面直角坐标系中,$△ ABO$的顶点A的坐标为$(-3,-3)$,顶点B的坐标为$(-3,4)$,点P为线段AB上任意一点(不与A,B两点重合),点Q是点P关于x轴对称的点。
(1)求$△ ABO$的面积;
(2)若点P的纵坐标为n,则点Q的坐标为
(3)当$△ OPA$的面积是$△ OPQ$面积的2倍时,求点P的坐标。
(1)求$△ ABO$的面积;
(2)若点P的纵坐标为n,则点Q的坐标为
(-3,-n)
;(3)当$△ OPA$的面积是$△ OPQ$面积的2倍时,求点P的坐标。
答案
6.解:(1)根据题意得$ AB=4-(-3)=7 $，
所以$ S_{△ABO}=\frac{1}{2}×7×3=\frac{21}{2} $。
(2)$ (-3,-n) $
(3)因为$ S_{△OPA}=2S_{△OPQ} $，点$ O $到$ AB $的距离为3，所以$ AP=2PQ $。
又因为$ AP=n-(-3)=n+3,PQ=|n-(-n)|=|2n| $，
所以$ n+3=4n $或$ n+3=-4n $，
解得$ n=1 $或$ n=-\frac{3}{5} $。
因此，点$ P $的坐标为$ (-3,1) $或$ (-3,-\frac{3}{5}) $。
所以$ S_{△ABO}=\frac{1}{2}×7×3=\frac{21}{2} $。
(2)$ (-3,-n) $
(3)因为$ S_{△OPA}=2S_{△OPQ} $，点$ O $到$ AB $的距离为3，所以$ AP=2PQ $。
又因为$ AP=n-(-3)=n+3,PQ=|n-(-n)|=|2n| $，
所以$ n+3=4n $或$ n+3=-4n $，
解得$ n=1 $或$ n=-\frac{3}{5} $。
因此，点$ P $的坐标为$ (-3,1) $或$ (-3,-\frac{3}{5}) $。
解析
【分析】
(1) 观察点A、B的坐标可知二者横坐标相同，因此线段AB是垂直于x轴的竖直线段，长度可通过两点纵坐标的差计算；△ABO以AB为底时，对应的高是原点到直线AB（x=-3）的水平距离3，代入三角形面积公式即可求解。
(2) 线段AB上所有点的横坐标均为-3，因此点P横坐标为-3，纵坐标为n；根据关于x轴对称的点的坐标规律：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可直接写出点Q的坐标。
(3) △OPA和△OPQ的高都等于原点到直线AB的距离3，因此两个三角形的面积比等于对应底的长度比，即$AP=2PQ$；再用含n的式子分别表示AP、PQ的长度，注意PQ长度需加绝对值，列方程求解即可得到n的值，进而得到点P的坐标。
【解析】
(1) 由点$A(-3,-3)$、$B(-3,4)$可知，AB为竖直线段，长度为：
$AB=4-(-3)=7$
原点O到直线AB（$x=-3$）的距离为3，因此△ABO的面积为：
$S_{△ ABO}=\frac{1}{2}×AB×3=\frac{1}{2}×7×3=\frac{21}{2}$
(2) 点P在AB上，横坐标为-3，纵坐标为n，点Q是点P关于x轴的对称点，横坐标不变，纵坐标为n的相反数，因此点Q的坐标为$(-3,-n)$。
(3)
∵△OPA和△OPQ的高都等于点O到AB的距离3，且$S_{△ OPA}=2S_{△ OPQ}$
∴底的对应关系为$AP=2PQ$
其中$AP$是点P到点A的纵向距离：$AP=n-(-3)=n+3$
$PQ$是点P到点Q的纵向距离，两点纵坐标分别为$n$和$-n$，因此$PQ=|n-(-n)|=|2n|$
代入$AP=2PQ$得：$n+3=2×|2n|$，分两种情况求解：
①当$n≥0$时，$n+3=4n$，解得$n=1$；
②当$n＜0$时，$n+3=-4n$，解得$n=-\frac{3}{5}$。
因此点P的坐标为$(-3,1)$或$(-3,-\frac{3}{5})$。
【答案】
(1) $\frac{21}{2}$；(2) $(-3,-n)$；(3) $(-3,1)$或$(-3,-\frac{3}{5})$
【知识点】
平面直角坐标系坐标特征，关于x轴对称的点的坐标规律，三角形面积计算
【点评】
本题将坐标性质、对称规律和三角形面积计算结合考察，解题关键是发现AB为竖直线段，将面积关系转化为线段长度关系，第三问求解时需注意绝对值的分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
(1) 观察点A、B的坐标可知二者横坐标相同，因此线段AB是垂直于x轴的竖直线段，长度可通过两点纵坐标的差计算；△ABO以AB为底时，对应的高是原点到直线AB（x=-3）的水平距离3，代入三角形面积公式即可求解。
(2) 线段AB上所有点的横坐标均为-3，因此点P横坐标为-3，纵坐标为n；根据关于x轴对称的点的坐标规律：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可直接写出点Q的坐标。
(3) △OPA和△OPQ的高都等于原点到直线AB的距离3，因此两个三角形的面积比等于对应底的长度比，即$AP=2PQ$；再用含n的式子分别表示AP、PQ的长度，注意PQ长度需加绝对值，列方程求解即可得到n的值，进而得到点P的坐标。
【解析】
(1) 由点$A(-3,-3)$、$B(-3,4)$可知，AB为竖直线段，长度为：
$AB=4-(-3)=7$
原点O到直线AB（$x=-3$）的距离为3，因此△ABO的面积为：
$S_{△ ABO}=\frac{1}{2}×AB×3=\frac{1}{2}×7×3=\frac{21}{2}$
(2) 点P在AB上，横坐标为-3，纵坐标为n，点Q是点P关于x轴的对称点，横坐标不变，纵坐标为n的相反数，因此点Q的坐标为$(-3,-n)$。
(3)
∵△OPA和△OPQ的高都等于点O到AB的距离3，且$S_{△ OPA}=2S_{△ OPQ}$
∴底的对应关系为$AP=2PQ$
其中$AP$是点P到点A的纵向距离：$AP=n-(-3)=n+3$
$PQ$是点P到点Q的纵向距离，两点纵坐标分别为$n$和$-n$，因此$PQ=|n-(-n)|=|2n|$
代入$AP=2PQ$得：$n+3=2×|2n|$，分两种情况求解：
①当$n≥0$时，$n+3=4n$，解得$n=1$；
②当$n＜0$时，$n+3=-4n$，解得$n=-\frac{3}{5}$。
因此点P的坐标为$(-3,1)$或$(-3,-\frac{3}{5})$。
【答案】
(1) $\frac{21}{2}$；(2) $(-3,-n)$；(3) $(-3,1)$或$(-3,-\frac{3}{5})$
【知识点】
平面直角坐标系坐标特征，关于x轴对称的点的坐标规律，三角形面积计算
【点评】
本题将坐标性质、对称规律和三角形面积计算结合考察，解题关键是发现AB为竖直线段，将面积关系转化为线段长度关系，第三问求解时需注意绝对值的分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
7. 已知A，B两点在平面直角坐标系中的位置如图所示。
(1)求A，B两点到y轴的距离之和；
(2)求△AOB的面积。
(1)求A，B两点到y轴的距离之和；
(2)求△AOB的面积。
答案
7.解:(1)A,B两点到$ y $轴的距离之和为$ 1+3=4 $。
(2)$ S_{△AOB}=2 $。
(2)$ S_{△AOB}=2 $。
解析
【分析】
(1) 解决第一问首先要明确：平面直角坐标系中，点到y轴的距离等于该点横坐标的绝对值。因此先从图中读取A、B两点的横坐标，分别计算两点到y轴的距离后相加即可得到结果。
(2) 解决第二问求△AOB的面积，因为△AOB的边都不与坐标轴平行，属于不规则三角形，我们可以通过分割法求解：先找到直线AB与x轴的交点，将△AOB分割为两个以x轴上线段为公共底的小三角形，两个小三角形的高分别为A、B两点纵坐标的绝对值，分别计算两个小三角形的面积再求和，即可得到△AOB的总面积。
【解析】
由图可知，点A的坐标为$(-1,2)$，点B的坐标为$(3,-2)$。
(1) 点到y轴的距离为该点横坐标的绝对值：
A点到y轴的距离为$|-1|=1$，
B点到y轴的距离为$|3|=3$，
因此A、B两点到y轴的距离之和为$1+3=4$。
(2) 设直线AB的解析式为$y=kx+b$，将A$(-1,2)$、B$(3,-2)$代入解析式得：
$\begin{cases} -k + b = 2 \\ 3k + b = -2 \end{cases}$
两式相减得$4k=-4$，解得$k=-1$，
将$k=-1$代入$-k + b = 2$，解得$b=1$，
因此直线AB的解析式为$y=-x+1$。
令$y=0$，解得$x=1$，即直线AB与x轴的交点为$C(1,0)$，则$OC=1$。
$S_{△ AOC} = \frac{1}{2} × OC × |y_A| = \frac{1}{2} × 1 × 2 = 1$，
$S_{△ BOC} = \frac{1}{2} × OC × |y_B| = \frac{1}{2} × 1 × 2 = 1$，
因此$S_{△ AOB} = S_{△ AOC} + S_{△ BOC} = 1 + 1 = 2$。
【答案】
(1) $\boxed{4}$；(2) $\boxed{2}$
【知识点】
点到坐标轴的距离，三角形面积计算，一次函数的应用
【点评】
本题围绕平面直角坐标系的基础知识点展开，第一问直接考察点到坐标轴距离的概念，较为简单；第二问需要灵活运用分割法将不规则三角形转化为易求面积的规则图形，锻炼学生坐标系下的几何图形转化能力。
【难度系数】
0.7
(1) 解决第一问首先要明确：平面直角坐标系中，点到y轴的距离等于该点横坐标的绝对值。因此先从图中读取A、B两点的横坐标，分别计算两点到y轴的距离后相加即可得到结果。
(2) 解决第二问求△AOB的面积，因为△AOB的边都不与坐标轴平行，属于不规则三角形，我们可以通过分割法求解：先找到直线AB与x轴的交点，将△AOB分割为两个以x轴上线段为公共底的小三角形，两个小三角形的高分别为A、B两点纵坐标的绝对值，分别计算两个小三角形的面积再求和，即可得到△AOB的总面积。
【解析】
由图可知，点A的坐标为$(-1,2)$，点B的坐标为$(3,-2)$。
(1) 点到y轴的距离为该点横坐标的绝对值：
A点到y轴的距离为$|-1|=1$，
B点到y轴的距离为$|3|=3$，
因此A、B两点到y轴的距离之和为$1+3=4$。
(2) 设直线AB的解析式为$y=kx+b$，将A$(-1,2)$、B$(3,-2)$代入解析式得：
$\begin{cases} -k + b = 2 \\ 3k + b = -2 \end{cases}$
两式相减得$4k=-4$，解得$k=-1$，
将$k=-1$代入$-k + b = 2$，解得$b=1$，
因此直线AB的解析式为$y=-x+1$。
令$y=0$，解得$x=1$，即直线AB与x轴的交点为$C(1,0)$，则$OC=1$。
$S_{△ AOC} = \frac{1}{2} × OC × |y_A| = \frac{1}{2} × 1 × 2 = 1$，
$S_{△ BOC} = \frac{1}{2} × OC × |y_B| = \frac{1}{2} × 1 × 2 = 1$，
因此$S_{△ AOB} = S_{△ AOC} + S_{△ BOC} = 1 + 1 = 2$。
【答案】
(1) $\boxed{4}$；(2) $\boxed{2}$
【知识点】
点到坐标轴的距离，三角形面积计算，一次函数的应用
【点评】
本题围绕平面直角坐标系的基础知识点展开，第一问直接考察点到坐标轴距离的概念，较为简单；第二问需要灵活运用分割法将不规则三角形转化为易求面积的规则图形，锻炼学生坐标系下的几何图形转化能力。
【难度系数】
0.7
