8. 如图，在平面直角坐标系中，O是原点，已知点A的坐标为(4,3)，P是坐标轴上一点。若由O,A,P三点组成的三角形为等腰三角形，则满足条件的点P共有个，其中一个点P的坐标是。

8. 8；$(-5,0)$(答案不唯一)

【分析】
要解决这个问题，我们先计算OA的长度，再分三类讨论等腰三角形的构成，同时考虑点P在x轴、y轴两种位置，避免漏算或重复：1. OA为腰，O为顶角顶点（即OP=OA）；2. OA为腰，A为顶角顶点（即AP=OA）；3. OA为底边（即OP=AP），最后统计所有符合条件的点的数量即可。
【解析】
首先用勾股定理计算OA的长度：
∵点A坐标为(4,3)，
∴$OA=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
分三类讨论：
1. 当OA为腰，O为顶角顶点时，$OP=OA=5$：
P在x轴上时，坐标为$(5,0)$、$(-5,0)$；P在y轴上时，坐标为$(0,5)$、$(0,-5)$，共4个点。
2. 当OA为腰，A为顶角顶点时，$AP=OA=5$：
设P在x轴上坐标为$(x,0)$，则$\sqrt{(x-4)^2+3^2}=5$，解得$x=8$（$x=0$为原点，三点共线舍去），即$(8,0)$；
设P在y轴上坐标为$(0,y)$，则$\sqrt{4^2+(y-3)^2}=5$，解得$y=6$（$y=0$为原点舍去），即$(0,6)$，共2个点。
3. 当OA为底边时，$OP=AP$：
设P在x轴上坐标为$(x,0)$，则$x^2=(x-4)^2+3^2$，解得$x=\frac{25}{8}$，即$(\frac{25}{8},0)$；
设P在y轴上坐标为$(0,y)$，则$y^2=4^2+(y-3)^2$，解得$y=\frac{25}{6}$，即$(0,\frac{25}{6})$，共2个点。
综上，符合条件的点P共有$4+2+2=8$个，其中一个坐标可以写$(-5,0)$（答案不唯一）。
【答案】
8；$(-5,0)$（答案不唯一）
【知识点】
等腰三角形的判定；勾股定理；平面直角坐标系的性质
【点评】
本题重点考查分类讨论思想的应用，解题时需明确等腰三角形的顶点情况，同时结合坐标轴的位置特点计数，要注意舍去三点共线的无效情况，避免漏算或多算。
【难度系数】
0.6

9. 如图，在平面直角坐标系中，已知长方形OABC，且$A(4,0)$，$C(0,8)$。试在$y$轴上找一点$P$，使$△ PAB$是等腰三角形，求符合条件的点$P$的坐标。

9.解:当$ PA=PB $时，
点$ P $的坐标为$ (0,4) $；
当$ AB=AP=8 $时，
$ OP=\sqrt{8^2-4^2}=\sqrt{48}=4\sqrt{3} $，
点$ P $的坐标为$ (0,4\sqrt{3}) $或$ (0,-4\sqrt{3}) $；
当$ BA=BP=8 $时，
$ PC=\sqrt{8^2-4^2}=\sqrt{48}=4\sqrt{3} $，
点$ P $的坐标为$ (0,8+4\sqrt{3}) $或$ (0,8-4\sqrt{3}) $。
综上所述，符合条件的点$ P $的坐标为$ (0,4),(0,4\sqrt{3}),(0,-4\sqrt{3}),(0,8+4\sqrt{3}),(0,8-4\sqrt{3}) $。

【分析】
首先根据长方形的性质确定点B的坐标为$(4,8)$，$AB=8$，且点P在y轴上，坐标可设为$(0,y)$。要使$△ PAB$为等腰三角形，需分三类讨论腰的相等关系：①$PA=PB$，②$AB=AP$，③$AB=BP$，每类结合两点间距离公式（或勾股定理）列方程求解y的值，即可得到P点坐标。
【解析】
由长方形OABC的性质可得：点B坐标为$(4,8)$，$AB=8$，设点P的坐标为$(0,y)$。
1. 当$PA=PB$时：
根据距离公式：$PA^2=(4-0)^2+(0-y)^2$，$PB^2=(4-0)^2+(8-y)^2$
令$PA^2=PB^2$，得$16+y^2=16+(8-y)^2$
化简解得$y=4$，即$P(0,4)$。
2. 当$AB=AP=8$时：
$AP^2=4^2+y^2=8^2$，即$16+y^2=64$
解得$y^2=48$，$y=\pm4\sqrt{3}$，即$P(0,4\sqrt{3})$或$P(0,-4\sqrt{3})$。
3. 当$BA=BP=8$时：
$BP^2=4^2+(8-y)^2=8^2$，即$16+(8-y)^2=64$
解得$(8-y)^2=48$，$8-y=\pm4\sqrt{3}$，即$y=8+4\sqrt{3}$或$y=8-4\sqrt{3}$，对应$P(0,8+4\sqrt{3})$或$P(0,8-4\sqrt{3})$。
【答案】
$(0,4),(0,4\sqrt{3}),(0,-4\sqrt{3}),(0,8+4\sqrt{3}),(0,8-4\sqrt{3})$
【知识点】
等腰三角形性质，两点间距离公式，分类讨论思想
【点评】
本题易错点是遗漏等腰三角形的分类情况，解题时需按腰的组合全面分三类讨论，计算时要注意解的正负性，避免漏解。
【难度系数】
0.5

10. 如图,在长方形 OABC 中,O 为平面直角坐标系的原点,点 A 的坐标为$(a,0)$,点 C 的坐标为$(0,b)$,且 a,b 满足$\sqrt{a-4}+|b-6|=0$,点 B 在第一象限内,点 P 从原点出发,以每秒 2 个单位长度的速度沿 O—C—B—A—O 的路线移动。
(1)点 B 的坐标为;点 P 移动 3.5 s时,点 P 的坐标为。
(2)在移动过程中,当点 P 到 x 轴的距离为 4 个单位长度时,求点 P 移动的时间。
(3)当点 P 沿着 O—C—B 的路线移动时,是否存在某一时刻使$△ OBP$的面积为 10? 若存在,求出点 P 移动的时间;若不存在,请说明理由。

10.解:(1)$(4,6)$；$(1,6)$
(2)在移动过程中，当点$ P $到$ x $轴的距离为4个单位长度时，存在两种情况:①点$ P $在$ OC $上，此时$ OP=4 $，移动的时间为$ 4÷2=2(\mathrm{s}) $；②点$ P $在$ AB $上，此时$ AP=4 $，点$ P $运动的路程为$ 6+4+6-4=12 $，移动的时间为$ 12÷2=6(\mathrm{s}) $。
所以在移动的过程中，当点$ P $到$ x $轴的距离为4个单位长度时，点$ P $移动的时间为2 s或6 s。
(3)存在。
当点$ P $在$ OC $上时，
$ \frac{1}{2}OP·BC=\frac{1}{2}×2t×4=10 $，解得$ t=\frac{5}{2} $；
当点$ P $在$ BC $上时，
$ \frac{1}{2}BP·OC=\frac{1}{2}×(10-2t)×6=10 $，解得$ t=\frac{10}{3} $。
因此，当$ △OBP $的面积为10时，点$ P $移动的时间为$ \frac{5}{2} $ s或$ \frac{10}{3} $ s。

【分析】
解题第一步先利用非负数的性质：算术平方根和绝对值都是非负数，若两者的和为0，则各自均为0，求出a、b的值，即可得到长方形各顶点的坐标，这是整道题的解题基础。
(1) 先计算点P移动3.5s的总路程，结合长方形各边的长度判断点P所在的线段，再写出对应坐标；
(2) 点P到x轴的距离为4，即点P的纵坐标为4，分点P在OC上、点P在AB上两种情况，分别计算对应路程，再结合速度求出移动时间；
(3) 分点P在OC上、点P在BC上两种情况，分别用含时间t的式子表示出△OBP的底和高，根据面积为10列方程求解，判断解是否符合对应线段的时间范围即可。
【解析】
首先根据$\sqrt{a-4}+|b-6|=0$，且$\sqrt{a-4}≥0$，$|b-6|≥0$，可得：
$a-4=0$，$b-6=0$，解得$a=4$，$b=6$。
(1) 因为四边形OABC是长方形，A(4,0)，C(0,6)，所以点B的横坐标与A相同，纵坐标与C相同，即B(4,6)。
点P的速度为每秒2个单位长度，移动3.5s的总路程为$2×3.5=7$，OC长为6，因此点P到达C点后沿CB向右移动了$7-6=1$个单位，所以点P坐标为(1,6)。
(2) 点P到x轴的距离为4，即点P的纵坐标为4，分两种情况：
① 点P在OC上时，此时$OP=4$，移动时间为$4÷2=2(\mathrm{s})$；
② 点P在AB上时，此时$AP=4$，点P运动的总路程为$OC+CB+(AB-AP)=6+4+(6-4)=12$，移动时间为$12÷2=6(\mathrm{s})$。
综上，点P移动的时间为2s或6s。
(3) 存在，分两种情况讨论：
设点P移动的时间为t s。
① 当点P在OC上时（$0≤ t≤3$），$OP=2t$，△OBP的底为OP，高为BC的长度4，
由面积公式得：$\frac{1}{2}× OP× BC=\frac{1}{2}×2t×4=10$，解得$t=\frac{5}{2}$，符合取值范围；
② 当点P在BC上时（$3＜ t≤5$），点P运动的路程为$2t$，则$CP=2t-6$，$BP=4-(2t-6)=10-2t$，△OBP的底为BP，高为OC的长度6，
由面积公式得：$\frac{1}{2}× BP× OC=\frac{1}{2}×(10-2t)×6=10$，解得$t=\frac{10}{3}$，符合取值范围。
综上，点P移动的时间为$\frac{5}{2}\mathrm{s}$或$\frac{10}{3}\mathrm{s}$。
【答案】
(1) $(4,6)$；$(1,6)$
(2) $\boldsymbol{2\ \mathrm{s}}$或$\boldsymbol{6\ \mathrm{s}}$
(3) 存在，移动时间为$\boldsymbol{\frac{5}{2}\ \mathrm{s}}$或$\boldsymbol{\frac{10}{3}\ \mathrm{s}}$
【知识点】
非负数的性质，平面直角坐标系，动点面积计算
【点评】
本题综合考查了非负性的应用、平面直角坐标系中点的坐标特征、动点的行程与面积计算，解题的关键是掌握分类讨论的思想，对动点所在的不同线段分情况分析，避免漏解。
【难度系数】
0.65