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2. 如图,在边长为1的小正方形组成的10×10网格中(我们把组成网格的小正方形的顶点称为格点),△ABC的三个顶点均在网格的格点上。
(1)请在所给的网格中建立平面直角坐标系,使△ABC的顶点A的坐标为(-3,5);
(2)在(1)的坐标系中,直接写出△ABC其他两个顶点的坐标;
(3)在(1)的坐标系中,△ABC各顶点的纵坐标不变,将横坐标都乘-1,描出对应的A',B',C'三点,依次连接这三个点,并判断所得三角形与原三角形有怎样的位置关系。
(1)请在所给的网格中建立平面直角坐标系,使△ABC的顶点A的坐标为(-3,5);
(2)在(1)的坐标系中,直接写出△ABC其他两个顶点的坐标;
(3)在(1)的坐标系中,△ABC各顶点的纵坐标不变,将横坐标都乘-1,描出对应的A',B',C'三点,依次连接这三个点,并判断所得三角形与原三角形有怎样的位置关系。
答案
2.解:(1)略
(2)$△ABC$其他两个顶点分别为$B(-4,2),C(-1,3)$。
(3)图略,所得三角形与原三角形关于$y$轴对称。
(2)$△ABC$其他两个顶点分别为$B(-4,2),C(-1,3)$。
(3)图略,所得三角形与原三角形关于$y$轴对称。
解析
【分析】
解题思路如下：1. 建立坐标系：已知点A坐标为(-3,5)，根据平面直角坐标系坐标定义，横坐标为-3说明A在y轴左侧3个单位，纵坐标为5说明A在x轴上方5个单位，因此将A点向右平移3格、向下平移5格的位置即为原点，以此建立x轴向右为正、y轴向上为正的坐标系即可。2. 求B、C坐标：在建立好的坐标系中，根据点的位置读取横纵坐标，水平方向左负右正，竖直方向下负上正。3. 判断图形位置关系：纵坐标不变、横坐标乘-1的坐标变换，对应点的坐标特征为$(x,y)$变为$(-x,y)$，符合关于y轴对称的点的坐标规律，因此可直接得出两三角形的对称关系。
【解析】
(1) 以点A向右3个单位、向下5个单位的格点为坐标原点，规定水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，建立平面直角坐标系即可。
(2) 观察坐标系中B、C的位置：B点距离y轴左侧4个单位，x轴上方2个单位，故坐标为$(-4,2)$；C点距离y轴左侧1个单位，x轴上方3个单位，故坐标为$(-1,3)$。
(3) 若各点纵坐标不变，横坐标乘-1，则原坐标$(x,y)$变为$(-x,y)$，根据关于y轴对称的点的坐标特征：横坐标互为相反数，纵坐标相同，可知依次连接$A'$、$B'$、$C'$得到的三角形与原$△ ABC$关于y轴对称。
【答案】
(1) 略；
(2) $B(-4,2)$，$C(-1,3)$；
(3) 所得三角形与原三角形关于y轴对称。
【知识点】
平面直角坐标系建立；格点坐标读取；关于y轴对称的坐标特征
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础应用题，结合网格考察坐标系建立、坐标读取和坐标变换的规律，解题核心是掌握坐标与点的位置的对应关系，以及对称变换的坐标特点。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：1. 建立坐标系：已知点A坐标为(-3,5)，根据平面直角坐标系坐标定义，横坐标为-3说明A在y轴左侧3个单位，纵坐标为5说明A在x轴上方5个单位，因此将A点向右平移3格、向下平移5格的位置即为原点，以此建立x轴向右为正、y轴向上为正的坐标系即可。2. 求B、C坐标：在建立好的坐标系中，根据点的位置读取横纵坐标，水平方向左负右正，竖直方向下负上正。3. 判断图形位置关系：纵坐标不变、横坐标乘-1的坐标变换，对应点的坐标特征为$(x,y)$变为$(-x,y)$，符合关于y轴对称的点的坐标规律，因此可直接得出两三角形的对称关系。
【解析】
(1) 以点A向右3个单位、向下5个单位的格点为坐标原点，规定水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，建立平面直角坐标系即可。
(2) 观察坐标系中B、C的位置：B点距离y轴左侧4个单位，x轴上方2个单位，故坐标为$(-4,2)$；C点距离y轴左侧1个单位，x轴上方3个单位，故坐标为$(-1,3)$。
(3) 若各点纵坐标不变，横坐标乘-1，则原坐标$(x,y)$变为$(-x,y)$，根据关于y轴对称的点的坐标特征：横坐标互为相反数，纵坐标相同，可知依次连接$A'$、$B'$、$C'$得到的三角形与原$△ ABC$关于y轴对称。
【答案】
(1) 略；
(2) $B(-4,2)$，$C(-1,3)$；
(3) 所得三角形与原三角形关于y轴对称。
【知识点】
平面直角坐标系建立；格点坐标读取；关于y轴对称的坐标特征
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础应用题，结合网格考察坐标系建立、坐标读取和坐标变换的规律，解题核心是掌握坐标与点的位置的对应关系，以及对称变换的坐标特点。
【难度系数】
0.8
3. 如图，已知点$P(4m+7,2m+5)$在第一象限的角平分线上，A，B两点分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上，$∠ BPA=90°$。
(1)求点P的坐标；
(2)若点B的坐标为$(0,1)$，求点A的坐标。
(1)求点P的坐标；
(2)若点B的坐标为$(0,1)$，求点A的坐标。
答案
3.解:(1)因为点$ P $在第一象限的角平分线上，
所以$ 4m+7=2m+5 $，解得$ m=-1 $。
此时，$ 4m+7=3,2m+5=3 $，所以点$ P $的坐标为$ (3,3) $。
(2)如图，过点$ P $作$ PC⊥y $轴于点$ C $，$ PD⊥x $轴于点$ D $，
则$ ∠PCO=∠COD=∠ODP=90° $，所以$ ∠CPD=90° $，
即$ ∠CPB+∠BPD=90° $。
又因为$ ∠APB=∠BPD+∠DPA=90° $，
所以$ ∠CPB=∠DPA $。
在$ △BCP $与$ △ADP $中，因为$\begin{cases}∠CPB=∠DPA,\\PC=PD,\\∠PCB=∠PDA=90°,\end{cases}$
所以$ △BCP≌△ADP(ASA) $。
所以$ BC=AD=3-1=2 $，所以$ OA=3+2=5 $，
所以点$ A $的坐标为$ (5,0) $。
解析
【分析】
(1) 求点P的坐标时，首先利用第一象限角平分线上的点的坐标特征：横、纵坐标相等，列出关于m的方程，解方程求出m后再代入计算即可得到P点坐标。
(2) 求点A的坐标时，先过P向x轴、y轴作垂线构造直角三角形，结合P点横纵坐标相等得到两条垂线段长度相等，再利用同角的余角相等得到一组对应角相等，用ASA证明两个直角三角形全等，根据全等性质求出AD的长度，进而求出OA的长度，即可得到A点坐标。
【解析】
(1) 因为点$ P $在第一象限的角平分线上，第一象限角平分线上的点横、纵坐标相等，因此可得：
$4m+7=2m+5$
解得$ m=-1 $。
将$m=-1$代入坐标计算：
横坐标：$4m+7=4×(-1)+7=3$，纵坐标：$2m+5=2×(-1)+5=3$，所以点$ P $的坐标为$ (3,3) $。
(2) 过点$ P $作$ PC⊥y $轴于点$ C $，$ PD⊥x $轴于点$ D $，
则$ ∠PCO=∠COD=∠ODP=90° $，因此四边形OCPD为矩形，可得$ ∠CPD=90° $，
即$ ∠CPB+∠BPD=90° $。
又因为$ ∠APB=∠BPD+∠DPA=90° $，根据同角的余角相等，可得$ ∠CPB=∠DPA $。
由$P(3,3)$得$PC=PD=3$，在$ △BCP $与$ △ADP $中：
$\begin{cases}∠CPB=∠DPA,\\PC=PD,\\∠PCB=∠PDA=90°,\end{cases}$
所以$ △BCP≌△ADP(ASA) $。
已知$B(0,1)$，则$BC=OC-OB=3-1=2$，由全等性质得$ AD=BC=2 $，所以$ OA=OD+AD=3+2=5 $，因此点$ A $的坐标为$ (5,0) $。
【答案】
(1) 点P的坐标为$\boldsymbol{(3,3)}$；
(2) 点A的坐标为$\boldsymbol{(5,0)}$。
【知识点】
象限角平分线的坐标特征、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是平面直角坐标系与几何结合的基础综合题，第一问属于基础考点，直接套用象限角平分线的坐标性质即可求解；第二问考察构造辅助线证明全等的能力，是坐标系几何题的常见考法，掌握此类辅助线的构造思路和全等判定定理是解题的核心。
【难度系数】
0.7
(1) 求点P的坐标时，首先利用第一象限角平分线上的点的坐标特征：横、纵坐标相等，列出关于m的方程，解方程求出m后再代入计算即可得到P点坐标。
(2) 求点A的坐标时，先过P向x轴、y轴作垂线构造直角三角形，结合P点横纵坐标相等得到两条垂线段长度相等，再利用同角的余角相等得到一组对应角相等，用ASA证明两个直角三角形全等，根据全等性质求出AD的长度，进而求出OA的长度，即可得到A点坐标。
【解析】
(1) 因为点$ P $在第一象限的角平分线上，第一象限角平分线上的点横、纵坐标相等，因此可得：
$4m+7=2m+5$
解得$ m=-1 $。
将$m=-1$代入坐标计算：
横坐标：$4m+7=4×(-1)+7=3$，纵坐标：$2m+5=2×(-1)+5=3$，所以点$ P $的坐标为$ (3,3) $。
(2) 过点$ P $作$ PC⊥y $轴于点$ C $，$ PD⊥x $轴于点$ D $，
则$ ∠PCO=∠COD=∠ODP=90° $，因此四边形OCPD为矩形，可得$ ∠CPD=90° $，
即$ ∠CPB+∠BPD=90° $。
又因为$ ∠APB=∠BPD+∠DPA=90° $，根据同角的余角相等，可得$ ∠CPB=∠DPA $。
由$P(3,3)$得$PC=PD=3$，在$ △BCP $与$ △ADP $中：
$\begin{cases}∠CPB=∠DPA,\\PC=PD,\\∠PCB=∠PDA=90°,\end{cases}$
所以$ △BCP≌△ADP(ASA) $。
已知$B(0,1)$，则$BC=OC-OB=3-1=2$，由全等性质得$ AD=BC=2 $，所以$ OA=OD+AD=3+2=5 $，因此点$ A $的坐标为$ (5,0) $。
【答案】
(1) 点P的坐标为$\boldsymbol{(3,3)}$；
(2) 点A的坐标为$\boldsymbol{(5,0)}$。
【知识点】
象限角平分线的坐标特征、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是平面直角坐标系与几何结合的基础综合题，第一问属于基础考点，直接套用象限角平分线的坐标性质即可求解；第二问考察构造辅助线证明全等的能力，是坐标系几何题的常见考法，掌握此类辅助线的构造思路和全等判定定理是解题的核心。
【难度系数】
0.7
4.【数学应用】在某海面上，B港在观测站A的正北方向$10\sqrt{3}$ n mile处，一艘轮船从B港出发匀速向正东方向航行，当航行到M处时，从观测站A测得轮船在北偏东$30°$方向上，再航行$\frac{1}{2}$ h到达N港。已知轮船的航行速度是40 n mile/h。
(1)运用平面内点的位置的确定方法，画出草图，借助图形计算B，N两港间的距离(提示:在直角三角形中，$30°$角所对的直角边长等于斜边长的一半)；
(2)试用两种不同的方法描述N港所在的位置。
(1)运用平面内点的位置的确定方法，画出草图，借助图形计算B，N两港间的距离(提示:在直角三角形中，$30°$角所对的直角边长等于斜边长的一半)；
(2)试用两种不同的方法描述N港所在的位置。
答案
4.解:(1)如图，在$ Rt△ABM $中，因为$ ∠BAM=30° $，
所以设$ BM=x $ n mile，则$ AM=2x $ n mile，于是有
$ (10\sqrt{3})^2+x^2=4x^2 $，所以$ x=10 $。
又因为$ MN=40×\frac{1}{2}=20(\mathrm{n mile}) $，
所以$ B,N $两港间的距离为$ 10+20=30(\mathrm{n mile}) $。
(2)(答案不唯一，合理即可)①用表示方向的角和距离确定，则$ N $港在$ B $港的正东方向30 n mile处；
②用有序实数对确定，设$ A(0,0),B(0,10\sqrt{3}) $，则$ N $港在$ (30,10\sqrt{3}) $处。
解析
【分析】
解决本题的思路如下：(1)首先结合题意明确△ABM和△ABN都是直角三角形，先在Rt△ABM中利用30°直角三角形的性质和勾股定理求出BM的长度，再根据轮船的航行速度和时间算出MN的长度，相加即可得到BN的距离；(2)平面内确定点的位置常用两种方法：一种是用方向角加距离的相对位置表示法，另一种是用平面直角坐标系中的有序实数对表示法，结合已知数据对应描述即可。
【解析】
(1) 在$Rt△ ABM$中，$∠ BAM=30°$，根据直角三角形中30°角所对直角边是斜边的一半，设$BM=x$ n mile，则$AM=2x$ n mile。
由勾股定理得：$AB^2 + BM^2 = AM^2$，代入$AB=10\sqrt{3}$ n mile，可得：
$(10\sqrt{3})^2 + x^2 = (2x)^2$
化简得：$300 + x^2 = 4x^2$，即$3x^2=300$，解得$x=10$（负值舍去），即$BM=10$ n mile。
轮船从M到N航行的距离$MN=40×\frac{1}{2}=20$ n mile，
因此$BN=BM+MN=10+20=30$ n mile。
(2) 描述N港位置的两种方法：
① 方向+距离表示：N港在B港的正东方向30 n mile处；
② 有序实数对表示：设观测站A为坐标原点$(0,0)$，正北方向为y轴正方向，正东方向为x轴正方向，则B点坐标为$(0,10\sqrt{3})$，N港的坐标为$(30,10\sqrt{3})$。
【答案】
(1) B，N两港间的距离为30 n mile；
(2) 示例：① N港在B港的正东方向30 n mile处；② 设$A(0,0),B(0,10\sqrt{3})$，则N港坐标为$(30,10\sqrt{3})$。
【知识点】
勾股定理；直角三角形性质；位置的确定
【点评】
本题结合海上航行的实际场景，考查了直角三角形相关性质的应用和平面内确定位置的常用方法，解题时结合图形梳理各线段、角度的关系即可快速求解，注重基础知识的实际应用。
【难度系数】
0.7
解决本题的思路如下：(1)首先结合题意明确△ABM和△ABN都是直角三角形，先在Rt△ABM中利用30°直角三角形的性质和勾股定理求出BM的长度，再根据轮船的航行速度和时间算出MN的长度，相加即可得到BN的距离；(2)平面内确定点的位置常用两种方法：一种是用方向角加距离的相对位置表示法，另一种是用平面直角坐标系中的有序实数对表示法，结合已知数据对应描述即可。
【解析】
(1) 在$Rt△ ABM$中，$∠ BAM=30°$，根据直角三角形中30°角所对直角边是斜边的一半，设$BM=x$ n mile，则$AM=2x$ n mile。
由勾股定理得：$AB^2 + BM^2 = AM^2$，代入$AB=10\sqrt{3}$ n mile，可得：
$(10\sqrt{3})^2 + x^2 = (2x)^2$
化简得：$300 + x^2 = 4x^2$，即$3x^2=300$，解得$x=10$（负值舍去），即$BM=10$ n mile。
轮船从M到N航行的距离$MN=40×\frac{1}{2}=20$ n mile，
因此$BN=BM+MN=10+20=30$ n mile。
(2) 描述N港位置的两种方法：
① 方向+距离表示：N港在B港的正东方向30 n mile处；
② 有序实数对表示：设观测站A为坐标原点$(0,0)$，正北方向为y轴正方向，正东方向为x轴正方向，则B点坐标为$(0,10\sqrt{3})$，N港的坐标为$(30,10\sqrt{3})$。
【答案】
(1) B，N两港间的距离为30 n mile；
(2) 示例：① N港在B港的正东方向30 n mile处；② 设$A(0,0),B(0,10\sqrt{3})$，则N港坐标为$(30,10\sqrt{3})$。
【知识点】
勾股定理；直角三角形性质；位置的确定
【点评】
本题结合海上航行的实际场景，考查了直角三角形相关性质的应用和平面内确定位置的常用方法，解题时结合图形梳理各线段、角度的关系即可快速求解，注重基础知识的实际应用。
【难度系数】
0.7
