课前预习
基础知识
正弦及余弦的概念
及 三角
函数
在 $Rt△ ABC$ 中，$∠ C = 90°$，锐角A的与的比叫作$∠ A$的正弦，记作$\sin A$，即$\sin A = \frac{∠ A的对边}{斜边}$；锐角A的的比叫作$∠ A$的余弦，记作$\cos A$，即$\cos A = \frac{∠ A的邻边}{斜边}$。锐角A的、、都是锐角A的三角函数。
困惑疑问：

对边 斜边
邻边 斜边
正弦 余弦 正切

【分析】
本题考查锐角三角函数的基础定义，解题时只需回忆直角三角形中正弦、余弦的定义，以及锐角三角函数的包含类别，对应空缺位置逐一匹配即可：首先回忆正弦的定义明确前两个空的内容，再结合余弦的定义填写中间两个空，最后根据锐角三角函数的分类填写最后三个空。
【解析】
在$Rt△ ABC$，$∠ C=90°$时：
1. 正弦的定义为：锐角$A$的对边与斜边的比叫做$∠ A$的正弦，因此前两个空依次填对边、斜边；
2. 余弦的定义为：锐角$A$的邻边与斜边的比叫做$∠ A$的余弦，因此接下来两个空依次填邻边、斜边；
3. 锐角$A$的正弦、余弦、正切都属于锐角$A$的三角函数，因此最后三个空依次填正弦、余弦、正切。
【答案】
对边 斜边
邻边 斜边
正弦 余弦 正切
【知识点】
正弦的定义；余弦的定义；锐角三角函数
【点评】
本题属于基础概念识记题，直接考察教材中锐角三角函数的相关定义，熟练掌握基础概念是解答本题的关键，相关概念是后续学习解直角三角形的核心基础。
【难度系数】
0.9

思考 如图，任意画两个直角三角形$\mathrm{Rt}△ ABC$ 和 $\mathrm{Rt}△ A'B'C'$，使$∠ C=∠ C'=90°,∠ A=∠ A'=α$，那么$\frac{BC}{AB}$与$\frac{B'C'}{A'B'}$有什么关系？$\frac{AC}{AB}$与$\frac{A'C'}{A'B'}$呢？你发现了什么？

相等；相等；发现略。

【分析】
解题时先梳理已知条件：两个直角三角形均含直角和相等的锐角α，首先依据相似三角形的判定定理可证明两个三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质，就能推导出两组对应边的比值相等；进一步可总结出：固定大小的锐角，对应的对边与斜边、邻边与斜边的比值和三角形大小无关，仅和锐角的度数有关。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$ 和 $\mathrm{Rt}△ A'B'C'$中，
∵ $∠ C=∠ C'=90°$，$∠ A=∠ A'=α$，
∴ $\mathrm{Rt}△ ABC ∽ \mathrm{Rt}△ A'B'C'$（两角分别相等的两个三角形相似），
根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{BC}{B'C'}=\frac{AB}{A'B'}$，$\frac{AC}{A'C'}=\frac{AB}{A'B'}$，
对上述比例式交叉变形可得：
$\frac{BC}{AB}=\frac{B'C'}{A'B'}$，$\frac{AC}{AB}=\frac{A'C'}{A'B'}$。
由此可发现：直角三角形中，当一个锐角的度数固定时，该锐角的对边与斜边的比值、邻边与斜边的比值均为定值，和直角三角形的大小没有关系。
【答案】
相等；相等；发现略。
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；锐角三角函数的定义
【点评】
本题是锐角三角函数的入门推导题，通过相似三角形的性质得到固定锐角对应边的比值为定值，是理解三角函数本质的核心基础，需熟练掌握该推导逻辑，为后续三角函数的学习做好铺垫。
【难度系数】
0.8

1. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$a=2$，$b=4$，则$\sin A=$，$\cos A=$。

1.$\sin A=\frac{\sqrt{5}}{5}$，$\cos A=\frac{2\sqrt{5}}{5}$

【分析】
解决本题首先要明确直角三角形中锐角三角函数的定义，结合勾股定理分步计算：第一步先确定∠A的对边、邻边以及三角形的斜边，已知两条直角边长度，先用勾股定理求出斜边长度；第二步根据正弦是对边与斜边的比值、余弦是邻边与斜边的比值，分别代入计算，最后将结果化为最简二次根式即可。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$a=BC=2$，$b=AC=4$，
首先由勾股定理计算斜边$AB$的长度：
$AB=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$
根据锐角三角函数的定义：
$\sin A=\frac{∠A的对边}{斜边}=\frac{BC}{AB}=\frac{2}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$
$\cos A=\frac{∠A的邻边}{斜边}=\frac{AC}{AB}=\frac{4}{2\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$
【答案】
$\sin A=\frac{\sqrt{5}}{5}$，$\cos A=\frac{2\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
勾股定理，正弦的定义，余弦的定义
【点评】
本题属于锐角三角函数的基础应用题，核心考查对正弦、余弦概念的理解，以及勾股定理的简单运用，解题时需注意区分锐角对应的对边和邻边，最终结果要化为最简二次根式。
【难度系数】
0.8

2. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$BC=2$，$∠ A=30°$，则$\sin A=$，$\cos A=$，$\tan A=$。

2.$\sin A=\frac{1}{2}$，$\cos A=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan A=\frac{\sqrt{3}}{3}$

【分析】
解题可从两个思路入手：思路1：已知∠A=30°属于特殊锐角，可直接回忆30°角的三角函数值得到结果；思路2：结合直角三角形性质和锐角三角函数定义推导，首先根据30°角所对直角边等于斜边的一半求出斜边AB的长度，再用勾股定理求出另一条直角边AC的长度，最后根据正弦（对边比斜边）、余弦（邻边比斜边）、正切（对边比邻边）的定义分别计算即可。
【解析】
方法一：直接利用特殊角的三角函数值
∵$∠ A=30°$
∴$\sin A=\sin30°=\frac{1}{2}$，$\cos A=\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan A=\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
方法二：结合三角函数定义推导
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=30°$，$BC=2$，
∵30°角所对的直角边等于斜边的一半，
∴斜边$AB=2BC=2×2=4$，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{4^2-2^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，
根据锐角三角函数的定义：
$\sin A=\frac{∠A的对边}{斜边}=\frac{BC}{AB}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，
$\cos A=\frac{∠A的邻边}{斜边}=\frac{AC}{AB}=\frac{2\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\tan A=\frac{∠A的对边}{∠A的邻边}=\frac{BC}{AC}=\frac{2}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
【答案】
$\sin A=\frac{1}{2}$，$\cos A=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan A=\frac{\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
特殊角的三角函数值；锐角三角函数的定义；勾股定理
【点评】
本题属于基础题，既可以直接记忆特殊角的三角函数值快速作答，也可以通过三角函数的定义结合直角三角形的性质推导计算，需要熟练掌握特殊角的三角函数值，同时也要理解三角函数的定义，做到灵活应用。
【难度系数】
0.9

3. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据下列条件求出$∠ A$和$∠ B$的正弦、余弦的值：
(1)$a=1,b=\sqrt{3}$；
(2)$b=\sqrt{7},c=4\sqrt{2}$。

3.解:(1)因为 $a=1,b=\sqrt{3}$，
所以 $c=\sqrt{1^{2}+(\sqrt{3})^{2}}=2$。
所以 $\sin A=\frac{a}{c}=\frac{1}{2},\cos A=\frac{b}{c}=\frac{\sqrt{3}}{2}$；
$\sin B=\frac{b}{c}=\frac{\sqrt{3}}{2},\cos B=\frac{a}{c}=\frac{1}{2}$。
(2)因为 $b=\sqrt{7},c=4\sqrt{2}$，
所以 $a=\sqrt{(4\sqrt{2})^{2}-(\sqrt{7})^{2}}=5$。
所以 $\sin A=\frac{a}{c}=\frac{5\sqrt{2}}{8},\cos A=\frac{b}{c}=\frac{\sqrt{14}}{8}$；
$\sin B=\frac{b}{c}=\frac{\sqrt{14}}{8},\cos B=\frac{a}{c}=\frac{5\sqrt{2}}{8}$。

【分析】
本题是直角三角形中锐角正弦、余弦值的计算问题，解题思路分为两步：第一步，利用勾股定理求出直角三角形未知边的长度，得到三边的完整长度；第二步，根据锐角正弦（锐角对边与斜边的比值）、余弦（锐角邻边与斜边的比值）的定义，分别找到∠A、∠B对应的对边和邻边，代入比值计算，最后将结果化为最简二次根式即可。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$a=1,b=\sqrt{3}$，
由勾股定理可得斜边$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=2$。
根据锐角三角函数定义：
$\sin A=\frac{a}{c}=\frac{1}{2}$，$\cos A=\frac{b}{c}=\frac{\sqrt{3}}{2}$；
$\sin B=\frac{b}{c}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos B=\frac{a}{c}=\frac{1}{2}$。
(2) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$b=\sqrt{7},c=4\sqrt{2}$，
由勾股定理可得直角边$a=\sqrt{c^2-b^2}=\sqrt{(4\sqrt{2})^2-(\sqrt{7})^2}=\sqrt{32-7}=5$。
根据锐角三角函数定义，化简得：
$\sin A=\frac{a}{c}=\frac{5}{4\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{2}}{8}$，$\cos A=\frac{b}{c}=\frac{\sqrt{7}}{4\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{14}}{8}$；
$\sin B=\frac{b}{c}=\frac{\sqrt{14}}{8}$，$\cos B=\frac{a}{c}=\frac{5\sqrt{2}}{8}$。
【答案】
(1) $\sin A=\frac{1}{2},\cos A=\frac{\sqrt{3}}{2}$；$\sin B=\frac{\sqrt{3}}{2},\cos B=\frac{1}{2}$。
(2) $\sin A=\frac{5\sqrt{2}}{8},\cos A=\frac{\sqrt{14}}{8}$；$\sin B=\frac{\sqrt{14}}{8},\cos B=\frac{5\sqrt{2}}{8}$。
【知识点】
勾股定理，正弦的定义，余弦的定义
【点评】
本题是锐角三角函数的基础计算题，核心是掌握勾股定理的应用以及正弦、余弦的定义，解题时要注意准确区分每个锐角的对边和邻边，计算结果要化为最简二次根式，熟练掌握本题型可为后续解直角三角形的应用打好基础。
【难度系数】
0.8