8. 如图，某水渠的横断面是梯形，已知其斜坡AD的坡度为1:1.2，斜坡BC的坡度为1:0.8，现测得放水前的水面宽EF为3.8 m，当水闸放水后，水渠内水面宽GH为6 m。则放水后水面上升的高度是()。

A.1.2 m
B.1.1 m
C.0.8 m
D.2.2 m

B

【分析】
解题时首先回忆坡度的定义：坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的比值。我们可以设水面上升的高度为$h$，结合两个斜坡的坡度，分别得到左右两侧水平方向拓宽的宽度；而水面总拓宽的宽度等于GH与EF的差，据此建立方程即可求解$h$的值。
【解析】
设放水后水面上升的高度是$h\ \mathrm{m}$。
根据坡度的定义：
斜坡AD的坡度为$1:1.2$，则水面上升$h$时，AD侧水平方向增加的宽度为$1.2h\ \mathrm{m}$；
斜坡BC的坡度为$1:0.8$，则水面上升$h$时，BC侧水平方向增加的宽度为$0.8h\ \mathrm{m}$。
由题意得水面宽度的总增量为：
$GH-EF=6-3.8=2.2\ \mathrm{m}$
因此可列方程：
$1.2h+0.8h=2.2$
合并同类项得$2h=2.2$，解得$h=1.1$。
【答案】
B
【知识点】
坡度的概念，一元一次方程的应用
【点评】
本题结合水渠放水的生活场景考查坡度的实际应用，解题关键是准确理解坡度的含义，找到水面上升高度和水面宽度增量之间的等量关系，建立方程即可快速求解。
【难度系数】
0.7

9.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC=5$,$\tan C=\frac{3}{4}$,$∠ BAC$的平分线$AD$交边$BC$于点$D$,点$E$在边$AC$上,且$EC=2AE$,$BE$与$AD$相交于点$F$。
(1)求$BC$的长；
(2)求$EF:BF$的值。

(1)$BC=8$
(2)$\frac{1}{3}$

【分析】
(1) 由$AB=AC$可知$△ ABC$是等腰三角形，$AD$是$∠ BAC$的平分线，根据等腰三角形三线合一的性质可得$AD⊥ BC$且$BD=CD$，因此只需求出$CD$的长度即可得到$BC$的长。在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，结合$\tan C=\frac{3}{4}$和$AC=5$，利用三角函数定义和勾股定理即可求出$CD$，进而得到$BC$。
(2) 要求$EF:BF$的比值，可通过作平行线构造相似三角形求解：过点$E$作$EH// BC$交$AD$于点$H$，先由$EH// CD$得到$△ AEH∽△ ACD$，结合$EC=2AE$求出$EH$与$CD$的比值，再结合$BD=CD$得到$EH$与$BD$的比值，最后由$EH// BD$得到$△ EFH∽△ BFD$，根据相似三角形对应边成比例即可求出$EF:BF$的值。
【解析】
(1) $\because AB=AC$，$AD$平分$∠ BAC$
$\therefore AD⊥ BC$，$BD=CD=\frac{1}{2}BC$（等腰三角形三线合一）
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$\tan C=\frac{AD}{CD}=\frac{3}{4}$
设$AD=3k$，$CD=4k$（$k＞0$）
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{(3k)^2+(4k)^2}=5k$
$\because AC=5$，$\therefore 5k=5$，解得$k=1$
$\therefore CD=4×1=4$
$\therefore BC=2CD=8$
(2) 过点$E$作$EH// BC$，交$AD$于点$H$
$\because EH// BC$
$\therefore △ AEH∽△ ACD$
$\therefore \frac{EH}{CD}=\frac{AE}{AC}$
$\because EC=2AE$，$\therefore AC=AE+EC=3AE$，即$\frac{AE}{AC}=\frac{1}{3}$
$\therefore \frac{EH}{CD}=\frac{1}{3}$
由(1)知$CD=BD$，$\therefore \frac{EH}{BD}=\frac{1}{3}$
$\because EH// BD$
$\therefore ∠ HEF=∠ DBF$，$∠ EHF=∠ BDF$
$\therefore △ EFH∽△ BFD$
$\therefore \frac{EF}{BF}=\frac{EH}{BD}=\frac{1}{3}$
即$EF:BF=1:3$
【答案】
(1) $BC=8$
(2) $EF:BF$的值为$\frac{1}{3}$
【知识点】
等腰三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查了等腰三角形性质、锐角三角函数的应用以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是利用等腰三角形三线合一得到直角三角形，通过构造平行线得到相似三角形，是典型的几何基础综合题。
【难度系数】
0.7

10.类似在直角三角形中研究三角函数，我们新定义:等腰三角形中底边与腰的比叫作底角的邻对（can）。如图①，在$△ ABC$中，$AB=AC$，底角$B$的邻对记作$\mathrm{can } B$，这时$\mathrm{can } B=\frac{\mathrm{底边}}{\mathrm{腰}}=\frac{BC}{AB}$，容易知道一个角的大小与这个角的邻对值也是一一对应的。根据上述角的邻对的定义，解下列问题:
(1)$\mathrm{can } 30°=$;
(2)如图②，已知在$△ ABC$中，$AB=AC$，$\mathrm{can } B=\frac{8}{5}$，$S_{△ ABC}=24$，求$△ ABC$周长。

课后反思
存在的问题:
改进的措施:

(1)$\sqrt{3}$
(2)$18\sqrt{2}$

【分析】
(1) 根据新定义，$\mathrm{can}30°$是底角为$30°$的等腰三角形中底边与腰的比值。我们可以过等腰三角形顶点作底边上的高，将等腰三角形拆分为两个全等的直角三角形，利用直角三角形的边角关系表示出底边和腰的长度关系，即可求出比值。
(2) 已知$\mathrm{can}B=\frac{8}{5}$，即底边$BC$和腰$AB$的比为$8:5$，我们可以通过设参数的方式表示腰和底边的长度，再作底边上的高，用勾股定理求出高的表达式，结合三角形面积为24列方程求出参数，最后代入计算周长即可。
【解析】
(1) 过点$A$作$AD⊥ BC$于点$D$，
$\because AB=AC$，$\therefore BD=\frac{1}{2}BC$，
$\because ∠ B=30°$，在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$\cos B=\frac{BD}{AB}$，
$\therefore BD=AB·\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}AB$，
$\therefore BC=2BD=\sqrt{3}AB$，
根据定义$\mathrm{can}B=\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{3}AB}{AB}=\sqrt{3}$，即$\mathrm{can}30°=\sqrt{3}$。
(2) 过点$A$作$AD⊥ BC$于点$D$，
$\because AB=AC$，$\therefore BD=\frac{1}{2}BC$，
$\because \mathrm{can}B=\frac{BC}{AB}=\frac{8}{5}$，设$AB=AC=5k(k＞0)$，则$BC=8k$，
$\therefore BD=\frac{1}{2}×8k=4k$，
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{(5k)^2-(4k)^2}=3k$，
$\because S_{△ ABC}=24$，$\therefore \frac{1}{2}× BC× AD=24$，
代入得：$\frac{1}{2}×8k×3k=24$，即$12k^2=24$，
解得$k^2=2$，$\because k＞0$，$\therefore k=\sqrt{2}$，
$\therefore △ ABC$的周长为$AB+AC+BC=5k+5k+8k=18k=18\sqrt{2}$。
【答案】
(1)$\sqrt{3}$；(2)$18\sqrt{2}$
【知识点】
新定义运算、等腰三角形的性质、勾股定理
【点评】
本题属于新定义类题型，解题的核心是准确理解“邻对”的定义，结合等腰三角形三线合一、勾股定理、三角形面积公式即可求解，解题过程中合理设参数可以有效简化计算。
【难度系数】
0.7