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3.如图，AB，DE 中，
DE
段山坡更陡一些，原因是DE 段的坡度大
。答案
DE；DE段的坡度大
解析
【分析】
要判断哪段山坡更陡，需比较两段山坡的坡度大小，坡度是坡面铅直高度与水平宽度的比值，坡度越大坡面越陡。解题步骤为：①先利用勾股定理分别算出两段山坡的水平宽度；②分别计算两段山坡的坡度；③比较坡度大小，坡度大的山坡更陡。
【解析】
坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的比值，坡度越大，坡面越陡。
1. 计算AB段的坡度：
在Rt△ABC中，AB=50m，BC=30m，由勾股定理可得水平宽度：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{50^2-30^2}=\sqrt{1600}=40\mathrm{m}$
则AB段的坡度$i_1=\frac{BC}{AC}=\frac{30}{40}=\frac{3}{4}$
2. 计算DE段的坡度：
在Rt△DEF中，DE=50m，EF=40m，由勾股定理可得水平宽度：
$DF=\sqrt{DE^2-EF^2}=\sqrt{50^2-40^2}=\sqrt{900}=30\mathrm{m}$
则DE段的坡度$i_2=\frac{EF}{DF}=\frac{40}{30}=\frac{4}{3}$
3. 比较坡度：$\frac{4}{3}＞\frac{3}{4}$，因此DE段的坡度更大，山坡更陡。
【答案】
DE；DE段的坡度大
【知识点】
1. 坡度的定义
2. 勾股定理
3. 坡面陡缓判断
【点评】
本题结合实际场景考查坡度的相关应用，只要掌握坡度的计算公式，结合勾股定理求出水平宽度即可解题，核心是理解坡度越大坡面越陡的规律。
【难度系数】
0.8
要判断哪段山坡更陡，需比较两段山坡的坡度大小，坡度是坡面铅直高度与水平宽度的比值，坡度越大坡面越陡。解题步骤为：①先利用勾股定理分别算出两段山坡的水平宽度；②分别计算两段山坡的坡度；③比较坡度大小，坡度大的山坡更陡。
【解析】
坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的比值，坡度越大，坡面越陡。
1. 计算AB段的坡度：
在Rt△ABC中，AB=50m，BC=30m，由勾股定理可得水平宽度：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{50^2-30^2}=\sqrt{1600}=40\mathrm{m}$
则AB段的坡度$i_1=\frac{BC}{AC}=\frac{30}{40}=\frac{3}{4}$
2. 计算DE段的坡度：
在Rt△DEF中，DE=50m，EF=40m，由勾股定理可得水平宽度：
$DF=\sqrt{DE^2-EF^2}=\sqrt{50^2-40^2}=\sqrt{900}=30\mathrm{m}$
则DE段的坡度$i_2=\frac{EF}{DF}=\frac{40}{30}=\frac{4}{3}$
3. 比较坡度：$\frac{4}{3}＞\frac{3}{4}$，因此DE段的坡度更大，山坡更陡。
【答案】
DE；DE段的坡度大
【知识点】
1. 坡度的定义
2. 勾股定理
3. 坡面陡缓判断
【点评】
本题结合实际场景考查坡度的相关应用，只要掌握坡度的计算公式，结合勾股定理求出水平宽度即可解题，核心是理解坡度越大坡面越陡的规律。
【难度系数】
0.8
4. 如图,某一大坝的横截面是四边形ABCD,其中AB//DC,坝顶宽CD=3 m,坝高6 m,迎水坡BC的坡度$i_1=1:2$,背水坡AD的坡度$i_2=1:1$,求斜坡AD的坡角∠A和坝底宽AB。
答案
解:过点 D 作$DE⊥AB$于点 E,过点 C 作$CF⊥AB$于点 F,则四边形 CDEF 是矩形,
则 $CD=EF=3\ \mathrm{m},CF=ED=6\ \mathrm{m}$。
因为背水坡 AD 的坡度 $i_2=1:1$,
所以 $AE=DE=6\ \mathrm{m}$。
所以$△AED$ 为等腰直角三角形。
所以$∠A=45°$。
因为迎水坡 BC 的坡度 $i_1=1:2,CF=6\ \mathrm{m}$,
所以 $FB=2CF=12\ \mathrm{m}$。
则 $AB=BF+EF+AE=12+3+6=21(\mathrm{m})$,
故斜坡 AD 的坡角$∠A$ 为 $45°$,坝底宽 AB 为 21 m。
解析
【分析】
本题是解直角三角形在梯形实际问题中的应用，解题思路如下：首先遇到梯形中求边长、角度的问题，通常通过作高将梯形分割为两个直角三角形和一个矩形，把未知线段拆分到各图形中计算；其次明确坡度的定义：坡度是坡面的垂直高度和水平宽度的比值，结合已知的坝高、各坡的坡度可分别求出两个直角三角形的水平直角边长度；最后坡角可通过坡度对应的正切值求解，坝底宽则是三段线段的和。
【解析】
过点D作$DE⊥AB$于点E，过点C作$CF⊥AB$于点F，
∵$AB// DC$，$DE⊥AB$，$CF⊥AB$，
∴四边形CDEF是矩形，
∴$CD=EF=3\ \mathrm{m}$，$CF=DE=6\ \mathrm{m}$。
1. 求斜坡AD的坡角$∠ A$：
∵背水坡AD的坡度$i_2=1:1$，即$\frac{DE}{AE}=\frac{1}{1}$，
∴$AE=DE=6\ \mathrm{m}$，
在$\mathrm{Rt}△ AED$中，$\tan A=\frac{DE}{AE}=1$，
∴$∠ A=45°$。
2. 求坝底宽AB：
∵迎水坡BC的坡度$i_1=1:2$，即$\frac{CF}{FB}=\frac{1}{2}$，
已知$CF=6\ \mathrm{m}$，
∴$FB=2CF=2×6=12\ \mathrm{m}$，
∴$AB=AE+EF+FB=6+3+12=21\ \mathrm{m}$。
【答案】
斜坡AD的坡角$∠ A$为$45°$，坝底宽AB为21 m。
【知识点】
1. 坡度与坡角
2. 解直角三角形的应用
3. 梯形辅助线作法
【点评】
本题是坡度相关的基础应用题，解题的关键是通过作高将梯形转化为熟悉的直角三角形和矩形，结合坡度的定义即可快速求解，这类题型是实际应用类题的常考类型，需熟练掌握辅助线的作法和坡度的含义。
【难度系数】
0.8
本题是解直角三角形在梯形实际问题中的应用，解题思路如下：首先遇到梯形中求边长、角度的问题，通常通过作高将梯形分割为两个直角三角形和一个矩形，把未知线段拆分到各图形中计算；其次明确坡度的定义：坡度是坡面的垂直高度和水平宽度的比值，结合已知的坝高、各坡的坡度可分别求出两个直角三角形的水平直角边长度；最后坡角可通过坡度对应的正切值求解，坝底宽则是三段线段的和。
【解析】
过点D作$DE⊥AB$于点E，过点C作$CF⊥AB$于点F，
∵$AB// DC$，$DE⊥AB$，$CF⊥AB$，
∴四边形CDEF是矩形，
∴$CD=EF=3\ \mathrm{m}$，$CF=DE=6\ \mathrm{m}$。
1. 求斜坡AD的坡角$∠ A$：
∵背水坡AD的坡度$i_2=1:1$，即$\frac{DE}{AE}=\frac{1}{1}$，
∴$AE=DE=6\ \mathrm{m}$，
在$\mathrm{Rt}△ AED$中，$\tan A=\frac{DE}{AE}=1$，
∴$∠ A=45°$。
2. 求坝底宽AB：
∵迎水坡BC的坡度$i_1=1:2$，即$\frac{CF}{FB}=\frac{1}{2}$，
已知$CF=6\ \mathrm{m}$，
∴$FB=2CF=2×6=12\ \mathrm{m}$，
∴$AB=AE+EF+FB=6+3+12=21\ \mathrm{m}$。
【答案】
斜坡AD的坡角$∠ A$为$45°$，坝底宽AB为21 m。
【知识点】
1. 坡度与坡角
2. 解直角三角形的应用
3. 梯形辅助线作法
【点评】
本题是坡度相关的基础应用题，解题的关键是通过作高将梯形转化为熟悉的直角三角形和矩形，结合坡度的定义即可快速求解，这类题型是实际应用类题的常考类型，需熟练掌握辅助线的作法和坡度的含义。
【难度系数】
0.8
1. 已知$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$\tan A=\frac{4}{3}$，$AC=6$，则$BC$等于（
A.$\frac{32}{3}$
B.$10$
C.$\frac{9}{2}$
D.$8$
D
）。A.$\frac{32}{3}$
B.$10$
C.$\frac{9}{2}$
D.$8$
答案
D
解析
【分析】
本题是直角三角形中利用锐角三角函数求边长的基础题，解题核心是掌握正切函数的定义：在直角三角形中，一个锐角的正切值等于它的对边与邻边的比值。首先明确∠A的对边是BC、邻边是AC（∠C为直角），已知tanA和AC的长度，代入正切公式即可求出BC的长度。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据正切的定义可得：
$\tan A = \frac{∠ A的对边}{∠ A的邻边} = \frac{BC}{AC}$
已知$\tan A=\frac{4}{3}$，$AC=6$，代入上式得：
$\frac{BC}{6}=\frac{4}{3}$
解得：$BC=6×\frac{4}{3}=8$
【答案】
D
【知识点】
1. 正切的定义 2. 解直角三角形
【点评】
本题考查锐角三角函数的基础应用，解题关键是准确区分锐角的对边和邻边，牢记正切的运算公式，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
本题是直角三角形中利用锐角三角函数求边长的基础题，解题核心是掌握正切函数的定义：在直角三角形中，一个锐角的正切值等于它的对边与邻边的比值。首先明确∠A的对边是BC、邻边是AC（∠C为直角），已知tanA和AC的长度，代入正切公式即可求出BC的长度。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据正切的定义可得：
$\tan A = \frac{∠ A的对边}{∠ A的邻边} = \frac{BC}{AC}$
已知$\tan A=\frac{4}{3}$，$AC=6$，代入上式得：
$\frac{BC}{6}=\frac{4}{3}$
解得：$BC=6×\frac{4}{3}=8$
【答案】
D
【知识点】
1. 正切的定义 2. 解直角三角形
【点评】
本题考查锐角三角函数的基础应用，解题关键是准确区分锐角的对边和邻边，牢记正切的运算公式，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
2. 在 $\mathrm{Rt} △ ABC$ 中，$∠ C = 90°$，如果把 $\mathrm{Rt} △ ABC$ 的各边的长都缩小为原来的 $\frac{1}{4}$，则 $∠ A$ 的正切值(
A.缩小为原来的 $\frac{1}{4}$
B.扩大为原来的4倍
C.缩小为原来的 $\frac{1}{2}$
D.不变
D
)。A.缩小为原来的 $\frac{1}{4}$
B.扩大为原来的4倍
C.缩小为原来的 $\frac{1}{2}$
D.不变
答案
D
解析
【分析】
解题时首先要明确锐角正切值的定义：在直角三角形中，一个锐角的正切值等于它的对边与邻边的比值。其次要理解，当三角形各边按相同比例缩放时，得到的新三角形与原三角形相似，对应角的大小不变；也可以直接计算缩放后∠A的对边与邻边的比值，判断比值是否变化即可得到答案。
【解析】
在$\mathrm{Rt} △ ABC$中，$∠ C = 90°$，根据正切的定义可得：$\tan A = \frac{∠A的对边}{∠A的邻边} = \frac{BC}{AC}$。
将$\mathrm{Rt} △ ABC$各边的长都缩小为原来的$\frac{1}{4}$后，新三角形中$∠A$的对边长变为$\frac{1}{4}BC$，邻边长变为$\frac{1}{4}AC$，此时：
$\tan A' = \frac{\frac{1}{4}BC}{\frac{1}{4}AC} = \frac{BC}{AC} = \tan A$
也可根据相似三角形的性质判断：边长等比例缩放后得到的新三角形与原三角形相似，$∠A$的大小不变，因此其正切值也不变。
【答案】
D
【知识点】
1. 锐角正切的定义
2. 相似三角形的性质
【点评】
本题考查对锐角三角函数本质的理解，需要明确锐角的三角函数值仅与角的大小有关，与所在直角三角形的边长无关，解题时不要被边长缩放的干扰条件误导。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确锐角正切值的定义：在直角三角形中，一个锐角的正切值等于它的对边与邻边的比值。其次要理解，当三角形各边按相同比例缩放时，得到的新三角形与原三角形相似，对应角的大小不变；也可以直接计算缩放后∠A的对边与邻边的比值，判断比值是否变化即可得到答案。
【解析】
在$\mathrm{Rt} △ ABC$中，$∠ C = 90°$，根据正切的定义可得：$\tan A = \frac{∠A的对边}{∠A的邻边} = \frac{BC}{AC}$。
将$\mathrm{Rt} △ ABC$各边的长都缩小为原来的$\frac{1}{4}$后，新三角形中$∠A$的对边长变为$\frac{1}{4}BC$，邻边长变为$\frac{1}{4}AC$，此时：
$\tan A' = \frac{\frac{1}{4}BC}{\frac{1}{4}AC} = \frac{BC}{AC} = \tan A$
也可根据相似三角形的性质判断：边长等比例缩放后得到的新三角形与原三角形相似，$∠A$的大小不变，因此其正切值也不变。
【答案】
D
【知识点】
1. 锐角正切的定义
2. 相似三角形的性质
【点评】
本题考查对锐角三角函数本质的理解，需要明确锐角的三角函数值仅与角的大小有关，与所在直角三角形的边长无关，解题时不要被边长缩放的干扰条件误导。
【难度系数】
0.9
3.如图，一名滑雪运动员沿着坡度$i=3:4$的斜坡，从点A滑行到点B。若$AB=500\ \mathrm{m}$，则这名滑雪运动员下降的高度为(
A.300 m
B.$\dfrac{2000}{3}\ \mathrm{m}$
C.$\dfrac{1500}{4}\ \mathrm{m}$
D.400 m
A
)。A.300 m
B.$\dfrac{2000}{3}\ \mathrm{m}$
C.$\dfrac{1500}{4}\ \mathrm{m}$
D.400 m
答案
A
解析
【分析】
解题时首先明确坡度的定义：坡度i是坡面的铅直高度与水平宽度的比值。我们可以过点A作水平边的垂线构造直角三角形，将下降高度、水平滑行距离、斜坡长分别对应直角三角形的三条边，结合坡度给出的边长比例关系，用勾股定理列方程即可求出下降高度。
【解析】
过点A作$AC⊥ BC$（$BC$为过B的水平线），垂足为C，则$AC$就是运动员下降的高度，$BC$为水平滑行距离。
由坡度$i=3:4$可得$\frac{AC}{BC}=\frac{3}{4}$，设$AC=3x\ \mathrm{m}$，则$BC=4x\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，根据勾股定理：
$AC^2+BC^2=AB^2$
代入$AB=500\ \mathrm{m}$得：
$(3x)^2+(4x)^2=500^2$
$25x^2=250000$
解得$x=100$（长度为正，舍去负根）
因此$AC=3x=3×100=300\ \mathrm{m}$。
【答案】
A
【知识点】
坡度的定义，勾股定理，解直角三角形
【点评】
本题结合滑雪的实际场景考查坡度的相关应用，解题的核心是正确理解坡度的含义，构造直角三角形利用勾股定理计算边长，是对基础知识点的常规考查。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确坡度的定义：坡度i是坡面的铅直高度与水平宽度的比值。我们可以过点A作水平边的垂线构造直角三角形，将下降高度、水平滑行距离、斜坡长分别对应直角三角形的三条边，结合坡度给出的边长比例关系，用勾股定理列方程即可求出下降高度。
【解析】
过点A作$AC⊥ BC$（$BC$为过B的水平线），垂足为C，则$AC$就是运动员下降的高度，$BC$为水平滑行距离。
由坡度$i=3:4$可得$\frac{AC}{BC}=\frac{3}{4}$，设$AC=3x\ \mathrm{m}$，则$BC=4x\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，根据勾股定理：
$AC^2+BC^2=AB^2$
代入$AB=500\ \mathrm{m}$得：
$(3x)^2+(4x)^2=500^2$
$25x^2=250000$
解得$x=100$（长度为正，舍去负根）
因此$AC=3x=3×100=300\ \mathrm{m}$。
【答案】
A
【知识点】
坡度的定义，勾股定理，解直角三角形
【点评】
本题结合滑雪的实际场景考查坡度的相关应用，解题的核心是正确理解坡度的含义，构造直角三角形利用勾股定理计算边长，是对基础知识点的常规考查。
【难度系数】
0.8
4.如图，$△ ABC$的顶点都在正方形网格的格点上，则$\tan A$的值为（
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{10}}{10}$
C.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
D.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
A
）。A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{10}}{10}$
C.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
D.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
答案
A
解析
【分析】
要计算∠A的正切值，首先回忆锐角正切的定义：锐角的正切是该角在直角三角形中对边与邻边的比值，因此需要先构造包含∠A的直角三角形。我们可以利用网格的特点，设每个小正方形边长为1，先求出△ABC的面积和各边长度，通过作AB边上的高构造直角三角形，再结合勾股定理求出直角边的长度，最后代入正切定义计算即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
1. 计算△ABC的面积和相关边长：
由网格可知BC=2，点A到BC的垂直距离为3，因此$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × BC × 3 = \frac{1}{2} × 2 × 3 = 3$；
由勾股定理得：$AB=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$，$AC=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$。
2. 过点C作$CD ⊥ AB$于点D，根据三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AB × CD$，代入数值得：
$3 = \frac{1}{2} × 3\sqrt{2} × CD$，解得$CD=\sqrt{2}$。
3. 在$Rt△ ACD$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AC^2 - CD^2}=\sqrt{(\sqrt{10})^2 - (\sqrt{2})^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。
4. 根据正切的定义：$\tan A = \frac{\mathrm{∠A的对边}}{\mathrm{∠A的邻边}} = \frac{CD}{AD} = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$。
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
锐角正切的定义，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题结合网格考查锐角三角函数的计算，解题核心是构造包含所求锐角的直角三角形，需要熟练掌握正切定义和勾股定理的应用，也可以通过坐标法等其他方法求解，能较好地考查学生的几何计算能力。
【难度系数】
0.7
要计算∠A的正切值，首先回忆锐角正切的定义：锐角的正切是该角在直角三角形中对边与邻边的比值，因此需要先构造包含∠A的直角三角形。我们可以利用网格的特点，设每个小正方形边长为1，先求出△ABC的面积和各边长度，通过作AB边上的高构造直角三角形，再结合勾股定理求出直角边的长度，最后代入正切定义计算即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
1. 计算△ABC的面积和相关边长：
由网格可知BC=2，点A到BC的垂直距离为3，因此$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × BC × 3 = \frac{1}{2} × 2 × 3 = 3$；
由勾股定理得：$AB=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$，$AC=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$。
2. 过点C作$CD ⊥ AB$于点D，根据三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AB × CD$，代入数值得：
$3 = \frac{1}{2} × 3\sqrt{2} × CD$，解得$CD=\sqrt{2}$。
3. 在$Rt△ ACD$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AC^2 - CD^2}=\sqrt{(\sqrt{10})^2 - (\sqrt{2})^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。
4. 根据正切的定义：$\tan A = \frac{\mathrm{∠A的对边}}{\mathrm{∠A的邻边}} = \frac{CD}{AD} = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$。
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
锐角正切的定义，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题结合网格考查锐角三角函数的计算，解题核心是构造包含所求锐角的直角三角形，需要熟练掌握正切定义和勾股定理的应用，也可以通过坐标法等其他方法求解，能较好地考查学生的几何计算能力。
【难度系数】
0.7
5.如图,有6个大小相同的小正方形,恰好放置在△ABC中,则tan B=
$\frac{1}{2}$
。答案
$\frac{1}{2}$
解析
【分析】
首先观察图形可知△ABC是直角三角形，∠C=90°，要求tanB，根据锐角正切的定义，tanB是∠B的对边与邻边的比值，我们可以设每个小正方形的边长为1，借助网格中AB边上的格点，计算竖直方向的变化量和水平方向的变化量的比值，即可求出tanB的值。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，由图可得∠C=90°。
观察斜边AB的走向：沿AB向B点方向移动时，水平方向每向右移动2个单位长度，竖直方向就向下移动1个单位长度。
根据正切的定义，$\tan B=\frac{\mathrm{∠B的对边}}{\mathrm{∠B的邻边}}=\frac{\mathrm{竖直下降的长度}}{\mathrm{水平向右的长度}}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
锐角正切的定义；直角三角形的性质
【点评】
本题结合网格考查锐角三角函数的计算，解题的核心是掌握正切的定义，通过网格中线段的变化量快速求解，难度不大。
【难度系数】
0.7
首先观察图形可知△ABC是直角三角形，∠C=90°，要求tanB，根据锐角正切的定义，tanB是∠B的对边与邻边的比值，我们可以设每个小正方形的边长为1，借助网格中AB边上的格点，计算竖直方向的变化量和水平方向的变化量的比值，即可求出tanB的值。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，由图可得∠C=90°。
观察斜边AB的走向：沿AB向B点方向移动时，水平方向每向右移动2个单位长度，竖直方向就向下移动1个单位长度。
根据正切的定义，$\tan B=\frac{\mathrm{∠B的对边}}{\mathrm{∠B的邻边}}=\frac{\mathrm{竖直下降的长度}}{\mathrm{水平向右的长度}}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
锐角正切的定义；直角三角形的性质
【点评】
本题结合网格考查锐角三角函数的计算，解题的核心是掌握正切的定义，通过网格中线段的变化量快速求解，难度不大。
【难度系数】
0.7
6. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90°$，$AB = 26$，$\tan A = \frac{5}{12}$，那么$BC =$
10
。答案
10
解析
【分析】
这是一道解直角三角形的基础题，解题思路可按以下步骤梳理：首先回忆锐角正切的定义：在直角三角形中，锐角的正切值等于该角的对边与邻边的比值，由此可得到BC和AC的比例关系；接下来采用设参数的方法，将BC和AC用含同一个参数的式子表示，再结合直角三角形的勾股定理，代入斜边AB的长度即可求出参数的值，最后就能算出BC的长度。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
根据正切的定义可得：$\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{5}{12}$，
设$BC=5k$（$k＞0$），则$AC=12k$，
由勾股定理得：$BC^2 + AC^2 = AB^2$，
代入已知$AB=26$可得：$(5k)^2 + (12k)^2 = 26^2$，
化简得：$25k^2 + 144k^2 = 676$，即$169k^2=676$，
解得$k^2=4$，因为边长为正，所以$k=2$，
因此$BC=5k=5×2=10$。
【答案】
10
【知识点】
正切的定义，勾股定理，解直角三角形
【点评】
本题属于基础题型，主要考查锐角三角函数定义与勾股定理的结合应用，利用比例设参数的方法是解这类题的常用技巧，能快速建立各边之间的联系，降低计算难度。
【难度系数】
0.85
这是一道解直角三角形的基础题，解题思路可按以下步骤梳理：首先回忆锐角正切的定义：在直角三角形中，锐角的正切值等于该角的对边与邻边的比值，由此可得到BC和AC的比例关系；接下来采用设参数的方法，将BC和AC用含同一个参数的式子表示，再结合直角三角形的勾股定理，代入斜边AB的长度即可求出参数的值，最后就能算出BC的长度。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
根据正切的定义可得：$\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{5}{12}$，
设$BC=5k$（$k＞0$），则$AC=12k$，
由勾股定理得：$BC^2 + AC^2 = AB^2$，
代入已知$AB=26$可得：$(5k)^2 + (12k)^2 = 26^2$，
化简得：$25k^2 + 144k^2 = 676$，即$169k^2=676$，
解得$k^2=4$，因为边长为正，所以$k=2$，
因此$BC=5k=5×2=10$。
【答案】
10
【知识点】
正切的定义，勾股定理，解直角三角形
【点评】
本题属于基础题型，主要考查锐角三角函数定义与勾股定理的结合应用，利用比例设参数的方法是解这类题的常用技巧，能快速建立各边之间的联系，降低计算难度。
【难度系数】
0.85
7.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D。
(1)若$AC=\sqrt{5},BC=2$,求$\tan∠ BCD$；
(2)若$BD=1,AD=9$,求$\tan∠ BCD$。
(1)若$AC=\sqrt{5},BC=2$,求$\tan∠ BCD$；
(2)若$BD=1,AD=9$,求$\tan∠ BCD$。
答案
(1)$\tan∠ BCD=\frac{2\sqrt{5}}{5}$
(2)$\tan∠ BCD=\frac{1}{3}$
(2)$\tan∠ BCD=\frac{1}{3}$
解析
【分析】
解题首先观察图形特征：Rt△ABC中∠ACB=90°，CD⊥AB，可通过“同角的余角相等”推导得∠BCD=∠A，将求∠BCD的正切值转化为求∠A的正切值，简化计算：
(1) 第一问已知Rt△ABC的两条直角边，直接根据正切的定义计算tan∠A即可得到结果；
(2) 第二问已知AD、BD的长度，可先通过相似三角形的性质求出CD的长度，再在Rt△BCD中根据正切定义计算。
【解析】
解：
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠A + ∠B = 90°，∠BCD + ∠B = 90°，
∴∠BCD = ∠A。
(1) 在Rt△ABC中，根据正切的定义：
$\tan∠ A = \frac{\mathrm{∠A的对边}}{\mathrm{∠A的邻边}} = \frac{BC}{AC}$
代入$AC=\sqrt{5},BC=2$得：
$\tan∠ A = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$
∴$\tan∠ BCD = \tan∠ A = \frac{2\sqrt{5}}{5}$。
(2)
∵∠CDA=∠CDB=90°，∠A=∠BCD，
∴△ACD∽△CBD，
∴$\frac{CD}{AD} = \frac{BD}{CD}$，即$CD^2 = AD · BD$，
代入$BD=1,AD=9$得：$CD^2=1×9=9$，
∵CD为线段长度，取正值，
∴CD=3，
在Rt△BCD中，$\tan∠ BCD = \frac{BD}{CD} = \frac{1}{3}$。
【答案】
(1)$\tan∠BCD=\frac{2\sqrt{5}}{5}$；(2)$\tan∠BCD=\frac{1}{3}$
【知识点】
同角的余角相等，锐角正切的定义，相似三角形的性质
【点评】
本题是锐角三角函数的基础应用题型，核心技巧是通过等角转化将未知角的三角函数值转化为易求角的三角函数值，第二问结合相似三角形的性质求边长，掌握角的转化思路能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
解题首先观察图形特征：Rt△ABC中∠ACB=90°，CD⊥AB，可通过“同角的余角相等”推导得∠BCD=∠A，将求∠BCD的正切值转化为求∠A的正切值，简化计算：
(1) 第一问已知Rt△ABC的两条直角边，直接根据正切的定义计算tan∠A即可得到结果；
(2) 第二问已知AD、BD的长度，可先通过相似三角形的性质求出CD的长度，再在Rt△BCD中根据正切定义计算。
【解析】
解：
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠A + ∠B = 90°，∠BCD + ∠B = 90°，
∴∠BCD = ∠A。
(1) 在Rt△ABC中，根据正切的定义：
$\tan∠ A = \frac{\mathrm{∠A的对边}}{\mathrm{∠A的邻边}} = \frac{BC}{AC}$
代入$AC=\sqrt{5},BC=2$得：
$\tan∠ A = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$
∴$\tan∠ BCD = \tan∠ A = \frac{2\sqrt{5}}{5}$。
(2)
∵∠CDA=∠CDB=90°，∠A=∠BCD，
∴△ACD∽△CBD，
∴$\frac{CD}{AD} = \frac{BD}{CD}$，即$CD^2 = AD · BD$，
代入$BD=1,AD=9$得：$CD^2=1×9=9$，
∵CD为线段长度，取正值，
∴CD=3，
在Rt△BCD中，$\tan∠ BCD = \frac{BD}{CD} = \frac{1}{3}$。
【答案】
(1)$\tan∠BCD=\frac{2\sqrt{5}}{5}$；(2)$\tan∠BCD=\frac{1}{3}$
【知识点】
同角的余角相等，锐角正切的定义，相似三角形的性质
【点评】
本题是锐角三角函数的基础应用题型，核心技巧是通过等角转化将未知角的三角函数值转化为易求角的三角函数值，第二问结合相似三角形的性质求边长，掌握角的转化思路能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
