课前预习
序号 基础知识
1 正切的概念：在Rt△ABC中，∠C＝90°，锐角A的与的比叫作∠A的正切，记作tan A，即tan A＝$\frac{∠A的对边}{∠A的邻边}$。
2 坡度：（1）斜坡起止点A，B的高度差h与它们的水平距离l的叫作坡度（或坡比），通常用字母i表示。（2）i＝$\frac{h}{l}$＝。
困惑疑问：

1. 对边 邻边
2. 比 tan α

【分析】
本题为基础概念识记类题目，解题思路如下：①正切概念的填空可直接回忆直角三角形中锐角正切的定义：直角三角形中一个锐角的正切为该角的对边与邻边的比值，对应填入即可；②坡度相关填空，首先回忆坡度的定义：坡度是斜坡高度差与水平距离的比值，再结合给出的示意图，坡角为α，根据正切的定义，tanα=h/l，因此坡度i等于坡角的正切值。
【解析】
1. 根据正切的定义：在Rt△ABC中，∠C=90°时，锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，因此两个空依次填对边、邻边。
2. （1）根据坡度的定义：斜坡起止点的高度差与水平距离的比叫做坡度（坡比），因此此处填比；
（2）观察示意图可知斜坡的坡角为α，在直角三角形中，$\tanα = \frac{∠α的对边}{∠α的邻边}=\frac{h}{l}$，因此$i=\frac{h}{l}=\tanα$。
【答案】
1. 对边 邻边
2. （1）比 （2）$\tanα$
【知识点】
正切的定义；坡度的概念；坡比与坡角的关系
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要考察对正切、坡度相关基础定义的记忆与简单应用，掌握核心定义就能轻松解答。
【难度系数】
0.9

思考 1. 如图，任意画两个直角三角形Rt△ABC和Rt△A'B'C'，使∠C=∠C'=90°，∠A=∠A'=α，那么$\frac{BC}{AC}$与$\frac{B'C'}{A'C'}$有什么关系？再画个满足这个条件的Rt△A''B''C''，
∠A''的对边与邻边的比值会发生变化吗？
你发现了什么？

相等;不会;在直角三角形中,当锐角的大小确定时,这个锐角的对边与邻边的比值随之确定。

【分析】
首先观察两个直角三角形的已知条件，它们都有直角，还有一组相等的锐角α，可先通过相似三角形的判定定理证明两个三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质推导两组对边与邻边比值的关系；新画的直角三角形同样满足和原三角形相似的条件，因此比值不会改变，最后归纳即可得到对应的规律。
【解析】
1. 推导$\frac{BC}{AC}$与$\frac{B'C'}{A'C'}$的关系：
在$Rt△ ABC$和$Rt△ A'B'C'$中，$∠ C=∠ C'=90°$，$∠ A=∠ A'=α$，
根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可得$△ ABC ∽ △ A'B'C'$。
由相似三角形的性质得对应边成比例：$\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}$，
对该比例式交叉变形，可得$\frac{BC}{AC}=\frac{B'C'}{A'C'}$，即两个比值相等。
2. 分析$Rt△ A''B''C''$的比值：
若新画的$Rt△ A''B''C''$中$∠ C''=90°$，$∠ A''=α$，同理可证$△ A''B''C'' ∽ △ ABC$，因此$\frac{B''C''}{A''C''}=\frac{BC}{AC}$，即∠A''的对边与邻边的比值不会发生变化。
3. 总结规律：
由上述推导可得出结论：在直角三角形中，当锐角的大小确定时，这个锐角的对边与邻边的比值随之确定。
【答案】
相等;不会;在直角三角形中,当锐角的大小确定时,这个锐角的对边与邻边的比值随之确定。
【知识点】
1.相似三角形的判定与性质
2.锐角三角函数的定义
【点评】
本题是锐角三角函数概念的推导类基础题，借助相似三角形的性质探究固定锐角的对边与邻边的比值的不变性，帮助理解三角函数值和锐角大小的一一对应关系，侧重对基础概念形成过程的考查。
【难度系数】
0.85

1. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，分别根据下列条件求正切值：
（1）若$AC=8$，$BC=15$，则$\tan A =$ ，$\tan B$ ；
（2）若$AB=13$，$BC=5$，则$\tan A =$ ，$\tan B$ 。

(1)$\tan A=\frac{15}{8}\ \ \tan B=\frac{8}{15}$
(2)$\tan A=\frac{5}{12}\ \ \tan B=\frac{12}{5}$

【分析】
解题首先要明确直角三角形中锐角正切的定义：锐角的正切值等于该角的对边长度与邻边长度的比值，即$\tanα=\frac{∠α的对边}{∠α的邻边}$。对于第(1)小问，题目直接给出两条直角边的长度，只需分别找到∠A、∠B对应的对边和邻边，代入定义计算即可；对于第(2)小问，已知斜边和一条直角边，需要先用勾股定理求出另一条未知直角边的长度，再代入正切定义计算两个角的正切值。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据锐角正切的定义可得：$\tan A=\frac{BC}{AC}$，$\tan B=\frac{AC}{BC}$。
（1）已知$AC=8$，$BC=15$，直接代入公式计算：
$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{15}{8}$，$\tan B=\frac{AC}{BC}=\frac{8}{15}$。
（2）已知$AB=13$，$BC=5$，先由勾股定理求$AC$的长度：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$，
再代入正切公式计算：
$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{5}{12}$，$\tan B=\frac{AC}{BC}=\frac{12}{5}$。
【答案】
(1)$\tan A=\frac{15}{8}$，$\tan B=\frac{8}{15}$；(2)$\tan A=\frac{5}{12}$，$\tan B=\frac{12}{5}$
【知识点】
锐角正切的定义，勾股定理
【点评】
本题属于锐角三角函数的基础考查题，解题核心是准确区分每个锐角对应的对边和邻边，当缺少直角边条件时，先借助勾股定理求出所需边长再代入计算，主要检验对基础概念的掌握程度。
【难度系数】
0.85

2. 在$△ ABC$中，$∠ C = 90°$，$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$的对边分别是$a$，$b$，$c$。
(1)若$a:b=2:3$，则$\tan A =$ ；
(2)若$c=4b$，$\tan A =$ ；

(1)$\tan A=\frac{2}{3}$
(2)$\tan A=\sqrt{15}$

【分析】
本题围绕直角三角形中锐角的正切值求解展开，解题核心是牢记正切的定义：直角三角形中，锐角的正切值等于该角的对边与邻边的比值。第(1)问直接给出两条直角边的比例，可直接代入定义计算；第(2)问已知斜边和其中一条直角边的关系，需要先借助勾股定理求出∠A的对边长度，再代入正切定义计算。
【解析】
(1) 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据正切的定义可得：$\tan A=\frac{∠ A的对边}{∠ A的邻边}=\frac{a}{b}$。已知$a:b=2:3$，即$\frac{a}{b}=\frac{2}{3}$，因此$\tan A=\frac{2}{3}$。
(2) 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理可知$a^2+b^2=c^2$。将$c=4b$代入得：$a=\sqrt{c^2-b^2}=\sqrt{(4b)^2-b^2}=\sqrt{16b^2-b^2}=\sqrt{15}b$（三角形边长为正数，故取正根）。再代入正切公式得$\tan A=\frac{a}{b}=\frac{\sqrt{15}b}{b}=\sqrt{15}$。
【答案】
(1)$\frac{2}{3}$；(2)$\sqrt{15}$
【知识点】
1. 锐角正切的定义；2. 勾股定理
【点评】
本题属于锐角三角函数的基础练习题，侧重考查对正切概念的理解和简单应用，解题时要准确区分锐角的对边和邻边，涉及未知边长时结合勾股定理求解即可，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.8

思考 2.(1)斜坡的倾斜程度用什么来表示？
(2)坡度表示的是度数吗？实质是表示什么？

(1)坡度。
(2)不是。实质是表示垂直距离与水平距离的比值。

【分析】
对于第(1)问，可回忆描述坡面陡缓特征的相关数学概念，专门用来表示斜坡倾斜程度的量就是坡度；对于第(2)问，先回顾坡度的定义，坡度是两类长度的比值，由此可判断它不是表示角度的度数，再结合定义就能直接得出它的实质含义。
【解析】
(1) 根据坡面相关的基础概念可知，斜坡的倾斜程度用坡度来表示。
(2) 由坡度的定义可得：坡度是坡面垂直高度与水平宽度的比值，属于没有单位的比值类量，因此它不是度数，实质表示的是垂直距离与水平距离的比值。
【答案】
(1)坡度。
(2)不是。实质是表示垂直距离与水平距离的比值。
【知识点】
坡度的概念；坡度的意义
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，主要考查对坡度基础概念的掌握情况，学习时要注意区分坡度和坡角的概念，避免将二者混淆。
【难度系数】
0.9