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例1 已知$a=b$,则$a-3=b$.
【思路导析】等式的两边加(或减)同一个数(或式子),结果仍为等式.
【请你解答】
【思路导析】等式的两边加(或减)同一个数(或式子),结果仍为等式.
【请你解答】
答案
解：
根据等式的性质1，等式两边同时减去3，由$a=b$可得$a-3=b-3$。
故答案为：$-3$。
根据等式的性质1，等式两边同时减去3，由$a=b$可得$a-3=b-3$。
故答案为：$-3$。
解析
【分析】
这道题考查等式性质的应用，解题时先观察等式左边的变化：已知原式为$a=b$，变形后等式左边是$a-3$，即左边减去了3。根据等式的性质1，要保证等式仍然成立，等式的右边也需要减去同一个数3，据此就能推出横线上应填的内容。
【解析】
根据等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍为等式。
已知$a=b$，将等式两边同时减去3，可得$a-3 = b-3$，因此横线上应填$-3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
等式的性质1
【点评】
本题是基础的等式变形题，核心是牢记等式做加减变形时，两边必须同时进行完全相同的运算，才能保证等式依然成立，做题时注意不要遗漏运算符号。
【难度系数】
0.9
这道题考查等式性质的应用，解题时先观察等式左边的变化：已知原式为$a=b$，变形后等式左边是$a-3$，即左边减去了3。根据等式的性质1，要保证等式仍然成立，等式的右边也需要减去同一个数3，据此就能推出横线上应填的内容。
【解析】
根据等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍为等式。
已知$a=b$，将等式两边同时减去3，可得$a-3 = b-3$，因此横线上应填$-3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
等式的性质1
【点评】
本题是基础的等式变形题，核心是牢记等式做加减变形时，两边必须同时进行完全相同的运算，才能保证等式依然成立，做题时注意不要遗漏运算符号。
【难度系数】
0.9
例2 已知$a=b$,两边同除以$-2$,得到.
【思路导析】等式的两边乘以同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍为等式.
【请你解答】
【思路导析】等式的两边乘以同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍为等式.
【请你解答】
答案
解：
根据等式的性质2，等式两边除以同一个不为0的数，结果仍为等式。
已知$a=b$，两边同除以$-2$，得到$\frac{a}{-2}=\frac{b}{-2}$，即$-\frac{a}{2}=-\frac{b}{2}$。
根据等式的性质2，等式两边除以同一个不为0的数，结果仍为等式。
已知$a=b$，两边同除以$-2$，得到$\frac{a}{-2}=\frac{b}{-2}$，即$-\frac{a}{2}=-\frac{b}{2}$。
解析
【分析】
解题时首先回忆等式的相关性质，题目给出等式$a=b$，要求两边同除以$-2$，首先确认除数$-2$不为0，符合等式性质2的使用条件，接下来只需将等式左右两边同时除以$-2$，再整理成最简形式即可。
【解析】
根据等式的性质2：等式两边除以同一个不为0的数，结果仍为等式。
已知$-2≠0$，将$a=b$两边同时除以$-2$，可得$\frac{a}{-2}=\frac{b}{-2}$，化简后为$-\frac{a}{2}=-\frac{b}{2}$。
【答案】
$-\frac{a}{2}=-\frac{b}{2}$
【知识点】
等式的性质2
【点评】
本题考查等式性质的基础应用，解题时需注意运用等式性质做除法运算时，除数不能为0，熟练掌握等式性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆等式的相关性质，题目给出等式$a=b$，要求两边同除以$-2$，首先确认除数$-2$不为0，符合等式性质2的使用条件，接下来只需将等式左右两边同时除以$-2$，再整理成最简形式即可。
【解析】
根据等式的性质2：等式两边除以同一个不为0的数，结果仍为等式。
已知$-2≠0$，将$a=b$两边同时除以$-2$，可得$\frac{a}{-2}=\frac{b}{-2}$，化简后为$-\frac{a}{2}=-\frac{b}{2}$。
【答案】
$-\frac{a}{2}=-\frac{b}{2}$
【知识点】
等式的性质2
【点评】
本题考查等式性质的基础应用，解题时需注意运用等式性质做除法运算时，除数不能为0，熟练掌握等式性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9
例3 用等式的性质解下列方程：
(1)$x - 3 = 5$；
(2)$\frac{3}{2}x = 2$。
【思路导析】根据等式的性质把方程化为$x=a$的形式。
【请你解答】
(1)$x - 3 = 5$；
(2)$\frac{3}{2}x = 2$。
【思路导析】根据等式的性质把方程化为$x=a$的形式。
【请你解答】
答案
解：
(1) 根据等式的性质1，方程两边同时加3，得
$x - 3 + 3 = 5 + 3$
化简，得
$x = 8$
(2) 根据等式的性质2，方程两边同时乘$\frac{2}{3}$，得
$\frac{3}{2}x × \frac{2}{3} = 2 × \frac{2}{3}$
化简，得
$x = \frac{4}{3}$
(1) 根据等式的性质1，方程两边同时加3，得
$x - 3 + 3 = 5 + 3$
化简，得
$x = 8$
(2) 根据等式的性质2，方程两边同时乘$\frac{2}{3}$，得
$\frac{3}{2}x × \frac{2}{3} = 2 × \frac{2}{3}$
化简，得
$x = \frac{4}{3}$
解析
【分析】
解方程的最终目标是将方程转化为$x=a$的形式。对于方程(1)，左侧为$x$减3，要消去常数项$-3$，根据等式的性质1，给等式两边同时加3即可得到$x$的值；对于方程(2)，左侧为$x$乘系数$\frac{3}{2}$，要消去$x$的系数，根据等式的性质2，给等式两边同时乘$\frac{3}{2}$的倒数$\frac{2}{3}$，即可得到$x$的值。
【解析】
(1) 根据等式的性质1，方程两边同时加3，得
$x - 3 + 3 = 5 + 3$
化简，得
$x = 8$
(2) 根据等式的性质2，方程两边同时乘$\frac{2}{3}$，得
$\frac{3}{2}x × \frac{2}{3} = 2 × \frac{2}{3}$
化简，得
$x = \frac{4}{3}$
【答案】
(1)$x=8$；(2)$x=\frac{4}{3}$
【知识点】
等式的性质；解一元一次方程
【点评】
本题是等式性质的基础应用题型，解题核心是根据方程的结构特点选择对应的等式性质，逐步将方程化简为$x=a$的形式，熟练掌握等式的两个性质是解一元一次方程的重要基础。
【难度系数】
0.9
解方程的最终目标是将方程转化为$x=a$的形式。对于方程(1)，左侧为$x$减3，要消去常数项$-3$，根据等式的性质1，给等式两边同时加3即可得到$x$的值；对于方程(2)，左侧为$x$乘系数$\frac{3}{2}$，要消去$x$的系数，根据等式的性质2，给等式两边同时乘$\frac{3}{2}$的倒数$\frac{2}{3}$，即可得到$x$的值。
【解析】
(1) 根据等式的性质1，方程两边同时加3，得
$x - 3 + 3 = 5 + 3$
化简，得
$x = 8$
(2) 根据等式的性质2，方程两边同时乘$\frac{2}{3}$，得
$\frac{3}{2}x × \frac{2}{3} = 2 × \frac{2}{3}$
化简，得
$x = \frac{4}{3}$
【答案】
(1)$x=8$；(2)$x=\frac{4}{3}$
【知识点】
等式的性质；解一元一次方程
【点评】
本题是等式性质的基础应用题型，解题核心是根据方程的结构特点选择对应的等式性质，逐步将方程化简为$x=a$的形式，熟练掌握等式的两个性质是解一元一次方程的重要基础。
【难度系数】
0.9
例4 能不能由$(a+3)x = b-1$得到等式$x=\frac{b-1}{a+3}$，为什么？反之，能不能由$x=\frac{b-1}{a+3}$得到$(a+3)x = b-1$，为什么？
【思路导析】应用等式两边“乘以同一个数或除以同一个不为0的数”进行分析。
【规范解答】不能由$(a+3)x = b-1$得到$x=\frac{b-1}{a+3}$。因为当$a=-3$时，$a+3=0$，而0不能为除数，即不符合等式的性质2的规定，所以不能得到。
由$x=\frac{b-1}{a+3}$可以得到$(a+3)x = b-1$。因为$x=\frac{b-1}{a+3}$是已知条件，已知条件中已经隐含着条件$a+3≠0$，等式两边乘同一个数，等式仍成立，所以可以得到。
变式探究
【思路导析】应用等式两边“乘以同一个数或除以同一个不为0的数”进行分析。
【规范解答】不能由$(a+3)x = b-1$得到$x=\frac{b-1}{a+3}$。因为当$a=-3$时，$a+3=0$，而0不能为除数，即不符合等式的性质2的规定，所以不能得到。
由$x=\frac{b-1}{a+3}$可以得到$(a+3)x = b-1$。因为$x=\frac{b-1}{a+3}$是已知条件，已知条件中已经隐含着条件$a+3≠0$，等式两边乘同一个数，等式仍成立，所以可以得到。
变式探究
答案
解：不能由$(a+3)x = b-1$得到$x=\frac{b-1}{a+3}$。
因为当$a=-3$时，$a+3=0$，等式的性质2要求等式两边不能同时除以0，不符合等式性质2的规定，所以不能得到该等式。
能由$x=\frac{b-1}{a+3}$得到$(a+3)x = b-1$。
因为$x=\frac{b-1}{a+3}$的已知条件中已经隐含了$a+3≠0$，根据等式的性质2，等式两边同时乘同一个不为0的数$a+3$，等式仍然成立，所以可以得到该等式。
因为当$a=-3$时，$a+3=0$，等式的性质2要求等式两边不能同时除以0，不符合等式性质2的规定，所以不能得到该等式。
能由$x=\frac{b-1}{a+3}$得到$(a+3)x = b-1$。
因为$x=\frac{b-1}{a+3}$的已知条件中已经隐含了$a+3≠0$，根据等式的性质2，等式两边同时乘同一个不为0的数$a+3$，等式仍然成立，所以可以得到该等式。
解析
【分析】
解题时需围绕等式的性质2展开思考：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。首先分析第一种变形：要从$(a+3)x = b-1$得到$x=\frac{b-1}{a+3}$，需要给等式两边同时除以$a+3$，此时要先判断$a+3$是否可能为0，当$a=-3$时$a+3=0$，0不能作除数，因此不能直接变形。再分析第二种变形：$x=\frac{b-1}{a+3}$是成立的式子，说明$a+3$作为除数不为0，此时给等式两边同时乘$a+3$，符合等式性质2的要求，因此可以完成变形。
【解析】
1. 判断能否由$(a+3)x = b-1$得到$x=\frac{b-1}{a+3}$：
不能。因为当$a=-3$时，$a+3=0$，等式的性质2要求等式两边不能同时除以0，不符合等式性质2的规定，所以不能得到该等式。
2. 判断能否由$x=\frac{b-1}{a+3}$得到$(a+3)x = b-1$：
能。因为$x=\frac{b-1}{a+3}$的已知条件中已经隐含了$a+3≠0$，根据等式的性质2，等式两边同时乘同一个不为0的数$a+3$，等式仍然成立，所以可以得到该等式。
【答案】
不能由$(a+3)x = b-1$得到$x=\frac{b-1}{a+3}$。因为当$a=-3$时，$a+3=0$，等式的性质2要求等式两边不能同时除以0，不符合等式性质2的规定，所以不能得到该等式。能由$x=\frac{b-1}{a+3}$得到$(a+3)x = b-1$。因为$x=\frac{b-1}{a+3}$的已知条件中已经隐含了$a+3≠0$，根据等式的性质2，等式两边同时乘同一个不为0的数$a+3$，等式仍然成立，所以可以得到该等式。
【知识点】
1. 等式的性质2
2. 除数不为0的规定
【点评】
本题主要考查等式性质2的应用，易错点是忽略等式两边除以的数不能为0的限制。解题时需注意：若变形需要除以含字母的式子，必须先确认该式子不会等于0；若式子中含字母的部分处在除数位置，则默认其不为0，可直接做乘该式子的变形。
【难度系数】
0.7
解题时需围绕等式的性质2展开思考：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。首先分析第一种变形：要从$(a+3)x = b-1$得到$x=\frac{b-1}{a+3}$，需要给等式两边同时除以$a+3$，此时要先判断$a+3$是否可能为0，当$a=-3$时$a+3=0$，0不能作除数，因此不能直接变形。再分析第二种变形：$x=\frac{b-1}{a+3}$是成立的式子，说明$a+3$作为除数不为0，此时给等式两边同时乘$a+3$，符合等式性质2的要求，因此可以完成变形。
【解析】
1. 判断能否由$(a+3)x = b-1$得到$x=\frac{b-1}{a+3}$：
不能。因为当$a=-3$时，$a+3=0$，等式的性质2要求等式两边不能同时除以0，不符合等式性质2的规定，所以不能得到该等式。
2. 判断能否由$x=\frac{b-1}{a+3}$得到$(a+3)x = b-1$：
能。因为$x=\frac{b-1}{a+3}$的已知条件中已经隐含了$a+3≠0$，根据等式的性质2，等式两边同时乘同一个不为0的数$a+3$，等式仍然成立，所以可以得到该等式。
【答案】
不能由$(a+3)x = b-1$得到$x=\frac{b-1}{a+3}$。因为当$a=-3$时，$a+3=0$，等式的性质2要求等式两边不能同时除以0，不符合等式性质2的规定，所以不能得到该等式。能由$x=\frac{b-1}{a+3}$得到$(a+3)x = b-1$。因为$x=\frac{b-1}{a+3}$的已知条件中已经隐含了$a+3≠0$，根据等式的性质2，等式两边同时乘同一个不为0的数$a+3$，等式仍然成立，所以可以得到该等式。
【知识点】
1. 等式的性质2
2. 除数不为0的规定
【点评】
本题主要考查等式性质2的应用，易错点是忽略等式两边除以的数不能为0的限制。解题时需注意：若变形需要除以含字母的式子，必须先确认该式子不会等于0；若式子中含字母的部分处在除数位置，则默认其不为0，可直接做乘该式子的变形。
【难度系数】
0.7
变式探究
老师在黑板上写了一个等式 $4(2x+1)=\frac{1}{2}m·(2x+1)$，甲同学说 $m=8$；乙同学说不一定，当 $m≠8$ 时，这个等式也可能成立。甲、乙两位同学的说法正确吗？用等式的性质说明理由。
老师在黑板上写了一个等式 $4(2x+1)=\frac{1}{2}m·(2x+1)$，甲同学说 $m=8$；乙同学说不一定，当 $m≠8$ 时，这个等式也可能成立。甲、乙两位同学的说法正确吗？用等式的性质说明理由。
答案
解：乙同学的说法正确，甲同学的说法错误，理由如下：
根据等式的性质2：等式两边同时除以同一个不为0的整式，等式仍然成立。
① 当$2x+1 ≠ 0$时，等式$4(2x+1)=\frac{1}{2}m · (2x+1)$两边同时除以$(2x+1)$，可得$4=\frac{1}{2}m$，两边同时乘2，解得$m=8$。
② 当$2x+1=0$，即$x=-\frac{1}{2}$时，等式左边$=4×0=0$，等式右边$=\frac{1}{2}m × 0=0$，此时无论$m$取何值，等式都成立，即当$m ≠ 8$时，该等式也可以成立。
综上，甲的说法错误，乙的说法正确。
根据等式的性质2：等式两边同时除以同一个不为0的整式，等式仍然成立。
① 当$2x+1 ≠ 0$时，等式$4(2x+1)=\frac{1}{2}m · (2x+1)$两边同时除以$(2x+1)$，可得$4=\frac{1}{2}m$，两边同时乘2，解得$m=8$。
② 当$2x+1=0$，即$x=-\frac{1}{2}$时，等式左边$=4×0=0$，等式右边$=\frac{1}{2}m × 0=0$，此时无论$m$取何值，等式都成立，即当$m ≠ 8$时，该等式也可以成立。
综上，甲的说法错误，乙的说法正确。
解析
【分析】
要判断两位同学的说法是否正确，核心是正确运用等式的性质2分析：等式两边同时除以同一个整式时，必须保证这个整式不为0。观察到等式两边都含有整式$(2x+1)$，因此不能直接将其约去，需要分两种情况讨论：第一种是$2x+1≠0$的情况，第二种是$2x+1=0$的情况，分别推导两种情况下$m$的取值，即可判断两人说法的正误。
【解析】
乙同学的说法正确，甲同学的说法错误，理由如下：
根据等式的性质2：等式两边同时除以同一个不为0的整式，等式仍然成立。
① 当$2x+1 ≠ 0$时，等式$4(2x+1)=\frac{1}{2}m · (2x+1)$两边同时除以$(2x+1)$，可得$4=\frac{1}{2}m$，两边同时乘2，解得$m=8$。
② 当$2x+1=0$，即$x=-\frac{1}{2}$时，等式左边$=4×0=0$，等式右边$=\frac{1}{2}m × 0=0$，此时无论$m$取何值，等式都成立，即当$m ≠ 8$时，该等式也可以成立。
综上，甲的说法错误，乙的说法正确。
【答案】
甲同学说法错误，乙同学说法正确。当$2x+1≠0$时$m=8$；当$2x+1=0$即$x=-\frac{1}{2}$时，无论$m$取何值等式都成立，因此$m≠8$时等式也可能成立。
【知识点】
1. 等式的性质2
2. 分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略等式两边同除以的整式可能为0的情况，直接约分化简得到$m=8$，导致判断错误。解题时要牢记运用等式性质2时除数不能为0，遇到等式两边含相同整式的情况需分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
要判断两位同学的说法是否正确，核心是正确运用等式的性质2分析：等式两边同时除以同一个整式时，必须保证这个整式不为0。观察到等式两边都含有整式$(2x+1)$，因此不能直接将其约去，需要分两种情况讨论：第一种是$2x+1≠0$的情况，第二种是$2x+1=0$的情况，分别推导两种情况下$m$的取值，即可判断两人说法的正误。
【解析】
乙同学的说法正确，甲同学的说法错误，理由如下：
根据等式的性质2：等式两边同时除以同一个不为0的整式，等式仍然成立。
① 当$2x+1 ≠ 0$时，等式$4(2x+1)=\frac{1}{2}m · (2x+1)$两边同时除以$(2x+1)$，可得$4=\frac{1}{2}m$，两边同时乘2，解得$m=8$。
② 当$2x+1=0$，即$x=-\frac{1}{2}$时，等式左边$=4×0=0$，等式右边$=\frac{1}{2}m × 0=0$，此时无论$m$取何值，等式都成立，即当$m ≠ 8$时，该等式也可以成立。
综上，甲的说法错误，乙的说法正确。
【答案】
甲同学说法错误，乙同学说法正确。当$2x+1≠0$时$m=8$；当$2x+1=0$即$x=-\frac{1}{2}$时，无论$m$取何值等式都成立，因此$m≠8$时等式也可能成立。
【知识点】
1. 等式的性质2
2. 分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略等式两边同除以的整式可能为0的情况，直接约分化简得到$m=8$，导致判断错误。解题时要牢记运用等式性质2时除数不能为0，遇到等式两边含相同整式的情况需分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
