登录
1. 用适当的数或式子填空，使所得结果仍是等式。
(1)如果$a-3=b+2$，那么$a+1=$；
(2)如果$3x=2x+5$，那么$3x-$$=5$；
(3)如果$\frac{1}{2}x=5$，那么$x=$；
(4)如果$5m=2n$，那么$m=$。
(1)如果$a-3=b+2$，那么$a+1=$；
(2)如果$3x=2x+5$，那么$3x-$$=5$；
(3)如果$\frac{1}{2}x=5$，那么$x=$；
(4)如果$5m=2n$，那么$m=$。
答案
解：
(1) 根据等式的性质1，等式两边同时加4，得$a+1 = b+6$；
(2) 根据等式的性质1，等式两边同时减去$2x$，得$3x-2x=5$；
(3) 根据等式的性质2，等式两边同时乘2，得$x=10$；
(4) 根据等式的性质2，等式两边同时除以5，得$m=\frac{2}{5}n$。
答案依次为：(1) $\boldsymbol{b+6}$；(2) $\boldsymbol{2x}$；(3) $\boldsymbol{10}$；(4) $\boldsymbol{\frac{2}{5}n}$。
(1) 根据等式的性质1，等式两边同时加4，得$a+1 = b+6$；
(2) 根据等式的性质1，等式两边同时减去$2x$，得$3x-2x=5$；
(3) 根据等式的性质2，等式两边同时乘2，得$x=10$；
(4) 根据等式的性质2，等式两边同时除以5，得$m=\frac{2}{5}n$。
答案依次为：(1) $\boldsymbol{b+6}$；(2) $\boldsymbol{2x}$；(3) $\boldsymbol{10}$；(4) $\boldsymbol{\frac{2}{5}n}$。
解析
【分析】
这组题目考查等式性质的应用，解题核心是牢记等式的两个基本性质：等式性质1是等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；等式性质2是等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。解题时观察等式某一侧的变形方式，对另一侧做完全相同的操作即可：
(1) 左侧从$a-3$变为$a+1$，是加了4，因此右侧$b+2$也要加4；
(2) 右侧从$2x+5$变为5，是减了$2x$，因此左侧$3x$也要减$2x$；
(3) 左侧从$\frac{1}{2}x$变为$x$，是乘了2，因此右侧5也要乘2；
(4) 左侧从$5m$变为$m$，是除以5，因此右侧$2n$也要除以5。
【解析】
(1) 根据等式的性质1，等式两边同时加4，左边$a-3+4=a+1$，右边$b+2+4=b+6$，可得$a+1 = b+6$；
(2) 根据等式的性质1，等式两边同时减去$2x$，左边$3x-2x$，右边$2x+5-2x=5$，可得$3x-2x=5$；
(3) 根据等式的性质2，等式两边同时乘2，左边$\frac{1}{2}x×2=x$，右边$5×2=10$，可得$x=10$；
(4) 根据等式的性质2，等式两边同时除以5（$5≠0$），左边$5m÷5=m$，右边$2n÷5=\frac{2}{5}n$，可得$m=\frac{2}{5}n$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{b+6}$；(2) $\boldsymbol{2x}$；(3) $\boldsymbol{10}$；(4) $\boldsymbol{\frac{2}{5}n}$
【知识点】
等式的性质1，等式的性质2
【点评】
本题是等式性质的基础应用题型，核心要求是掌握等式变形的规则：等式两边必须同时进行相同的加、减、乘、除（除数不为0）操作，确保变形前后等式始终成立，熟练掌握规则即可轻松解题。
【难度系数】
0.9
这组题目考查等式性质的应用，解题核心是牢记等式的两个基本性质：等式性质1是等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；等式性质2是等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。解题时观察等式某一侧的变形方式，对另一侧做完全相同的操作即可：
(1) 左侧从$a-3$变为$a+1$，是加了4，因此右侧$b+2$也要加4；
(2) 右侧从$2x+5$变为5，是减了$2x$，因此左侧$3x$也要减$2x$；
(3) 左侧从$\frac{1}{2}x$变为$x$，是乘了2，因此右侧5也要乘2；
(4) 左侧从$5m$变为$m$，是除以5，因此右侧$2n$也要除以5。
【解析】
(1) 根据等式的性质1，等式两边同时加4，左边$a-3+4=a+1$，右边$b+2+4=b+6$，可得$a+1 = b+6$；
(2) 根据等式的性质1，等式两边同时减去$2x$，左边$3x-2x$，右边$2x+5-2x=5$，可得$3x-2x=5$；
(3) 根据等式的性质2，等式两边同时乘2，左边$\frac{1}{2}x×2=x$，右边$5×2=10$，可得$x=10$；
(4) 根据等式的性质2，等式两边同时除以5（$5≠0$），左边$5m÷5=m$，右边$2n÷5=\frac{2}{5}n$，可得$m=\frac{2}{5}n$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{b+6}$；(2) $\boldsymbol{2x}$；(3) $\boldsymbol{10}$；(4) $\boldsymbol{\frac{2}{5}n}$
【知识点】
等式的性质1，等式的性质2
【点评】
本题是等式性质的基础应用题型，核心要求是掌握等式变形的规则：等式两边必须同时进行相同的加、减、乘、除（除数不为0）操作，确保变形前后等式始终成立，熟练掌握规则即可轻松解题。
【难度系数】
0.9
2.已知等式$\frac{1}{3}ax=4a$，则下列等式不一定成立的是（）
A.$\frac{1}{3}ax -4a=0$
B.$\frac{1}{3}ax -b=4a -b$
C.$ax=12a$
D.$\frac{1}{3}x=4$
A.$\frac{1}{3}ax -4a=0$
B.$\frac{1}{3}ax -b=4a -b$
C.$ax=12a$
D.$\frac{1}{3}x=4$
答案
D
解析
【分析】
本题考查等式性质的应用，解题思路如下：首先明确等式的两个基本性质：等式性质1指等式两边加或减同一个数（或整式），等式仍然成立；等式性质2指等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。解题时需注意已知等式中的a可能取值为0，运用等式性质2做除法变形时必须确认除数不为0，逐个判断每个选项的等式是否一定成立即可。
【解析】
我们结合等式的性质逐个分析选项：
A选项：将原等式$\frac{1}{3}ax=4a$两边同时减去$4a$，根据等式性质1，可得$\frac{1}{3}ax -4a=0$，该等式一定成立，不符合题意；
B选项：将原等式两边同时减去$b$，根据等式性质1，可得$\frac{1}{3}ax -b=4a -b$，该等式一定成立，不符合题意；
C选项：将原等式两边同时乘3，根据等式性质2，可得$ax=12a$，该等式一定成立，不符合题意；
D选项：若要得到$\frac{1}{3}x=4$，需要将原等式两边同时除以$a$，但当$a=0$时，0不能作为除数，该变形不成立，仅当$a≠0$时该等式才成立，因此该等式不一定成立，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
等式的性质
【点评】
本题是等式性质应用的典型易错题，解题的核心是注意运用等式性质2进行除法变形时，必须保证除数不为0，不能忽略字母取值为0的特殊情况。
【难度系数】
0.6
本题考查等式性质的应用，解题思路如下：首先明确等式的两个基本性质：等式性质1指等式两边加或减同一个数（或整式），等式仍然成立；等式性质2指等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。解题时需注意已知等式中的a可能取值为0，运用等式性质2做除法变形时必须确认除数不为0，逐个判断每个选项的等式是否一定成立即可。
【解析】
我们结合等式的性质逐个分析选项：
A选项：将原等式$\frac{1}{3}ax=4a$两边同时减去$4a$，根据等式性质1，可得$\frac{1}{3}ax -4a=0$，该等式一定成立，不符合题意；
B选项：将原等式两边同时减去$b$，根据等式性质1，可得$\frac{1}{3}ax -b=4a -b$，该等式一定成立，不符合题意；
C选项：将原等式两边同时乘3，根据等式性质2，可得$ax=12a$，该等式一定成立，不符合题意；
D选项：若要得到$\frac{1}{3}x=4$，需要将原等式两边同时除以$a$，但当$a=0$时，0不能作为除数，该变形不成立，仅当$a≠0$时该等式才成立，因此该等式不一定成立，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
等式的性质
【点评】
本题是等式性质应用的典型易错题，解题的核心是注意运用等式性质2进行除法变形时，必须保证除数不为0，不能忽略字母取值为0的特殊情况。
【难度系数】
0.6
3.中央电视台某节目中，有一期的题目如图所示，两个天平都平衡，则与2个球体相等质量的正方体的个数为()
A.5个
B.4个
C.3个
D.2个
A.5个
B.4个
C.3个
D.2个
答案
A
解析
【分析】
解决这道题的核心是利用天平平衡时左右两边质量相等的特点，先找到圆柱和正方体的质量关系，再借助圆柱这个中间量，推导出球体和正方体的质量关系，最终求出2个球体对应的正方体个数。第一步先观察右侧天平，得到正方体和圆柱的等量关系；第二步观察左侧天平，得到球体和圆柱的等量关系；第三步通过等量代换，消去圆柱这个中间量，得到球体和正方体的关系即可求解。
【解析】
设一个球体的质量为$x$，一个圆柱的质量为$y$，一个正方体的质量为$z$。
1. 根据右侧天平平衡可得：$2z=2y$，根据等式的性质，两边同时除以2，得$z=y$，即1个正方体的质量和1个圆柱的质量相等。
2. 根据左侧天平平衡可得：$2x=5y$，即2个球体的质量等于5个圆柱的质量。
3. 将$y=z$代入$2x=5y$中，可得$2x=5z$，说明2个球体的质量等于5个正方体的质量。
【答案】
A
【知识点】
等式的性质，等量代换
【点评】
本题结合天平平衡的生活场景考查等量关系的推导，解题的关键是先通过天平得到不同物体间的质量关系，再借助中间量完成代换，整体逻辑清晰，侧重对基础等量转化能力的考查。
【难度系数】
0.8
解决这道题的核心是利用天平平衡时左右两边质量相等的特点，先找到圆柱和正方体的质量关系，再借助圆柱这个中间量，推导出球体和正方体的质量关系，最终求出2个球体对应的正方体个数。第一步先观察右侧天平，得到正方体和圆柱的等量关系；第二步观察左侧天平，得到球体和圆柱的等量关系；第三步通过等量代换，消去圆柱这个中间量，得到球体和正方体的关系即可求解。
【解析】
设一个球体的质量为$x$，一个圆柱的质量为$y$，一个正方体的质量为$z$。
1. 根据右侧天平平衡可得：$2z=2y$，根据等式的性质，两边同时除以2，得$z=y$，即1个正方体的质量和1个圆柱的质量相等。
2. 根据左侧天平平衡可得：$2x=5y$，即2个球体的质量等于5个圆柱的质量。
3. 将$y=z$代入$2x=5y$中，可得$2x=5z$，说明2个球体的质量等于5个正方体的质量。
【答案】
A
【知识点】
等式的性质，等量代换
【点评】
本题结合天平平衡的生活场景考查等量关系的推导，解题的关键是先通过天平得到不同物体间的质量关系，再借助中间量完成代换，整体逻辑清晰，侧重对基础等量转化能力的考查。
【难度系数】
0.8
4.根据等式性质进行变形,下列变形错误的是
()
A.若 $ x - a = y - a $,则 $ x = y $
B.若 $ ac^2 = bc^2 $,则 $ a = b $
C.若 $ 2x = x + y $,则 $ x = y $
D.若 $ \frac{x}{m - 1} = \frac{y}{m - 1} $,则 $ x = y $
()
A.若 $ x - a = y - a $,则 $ x = y $
B.若 $ ac^2 = bc^2 $,则 $ a = b $
C.若 $ 2x = x + y $,则 $ x = y $
D.若 $ \frac{x}{m - 1} = \frac{y}{m - 1} $,则 $ x = y $
答案
B
解析
【分析】
解决本题的核心是熟练掌握等式的两条基本性质，尤其要注意：使用等式性质2对等式两边同时除以一个数时，这个数必须不为0，否则变形不成立。解题时逐个分析每个选项的变形是否符合等式性质，重点判断变形过程中除以的数是否存在为0的可能，即可找出错误的变形。
【解析】
首先回顾等式的基本性质：
性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；
性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
对各选项逐一分析：
A选项：等式$x - a = y - a$两边同时加$a$，符合等式性质1，可得$x=y$，变形正确，不符合题意。
B选项：当$c=0$时，$c^2=0$，此时无论$a$、$b$取何值，$ac^2 = bc^2$都成立，不能直接两边除以$c^2$得到$a=b$，变形错误，符合题意。
C选项：等式$2x = x + y$两边同时减$x$，符合等式性质1，可得$x=y$，变形正确，不符合题意。
D选项：等式$\frac{x}{m - 1} = \frac{y}{m - 1}$成立的前提是分母$m-1≠0$，两边同时乘$(m-1)$，符合等式性质2，可得$x=y$，变形正确，不符合题意。
综上，变形错误的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
1.等式的基本性质
2.0的运算特性
【点评】
本题是等式性质应用的典型易错题，解题的关键是牢记运用等式性质2时，除数不能为0的限制，遇到含平方、分母的字母系数变形时，要先确认除数不为0再进行运算。
【难度系数】
0.6
解决本题的核心是熟练掌握等式的两条基本性质，尤其要注意：使用等式性质2对等式两边同时除以一个数时，这个数必须不为0，否则变形不成立。解题时逐个分析每个选项的变形是否符合等式性质，重点判断变形过程中除以的数是否存在为0的可能，即可找出错误的变形。
【解析】
首先回顾等式的基本性质：
性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；
性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
对各选项逐一分析：
A选项：等式$x - a = y - a$两边同时加$a$，符合等式性质1，可得$x=y$，变形正确，不符合题意。
B选项：当$c=0$时，$c^2=0$，此时无论$a$、$b$取何值，$ac^2 = bc^2$都成立，不能直接两边除以$c^2$得到$a=b$，变形错误，符合题意。
C选项：等式$2x = x + y$两边同时减$x$，符合等式性质1，可得$x=y$，变形正确，不符合题意。
D选项：等式$\frac{x}{m - 1} = \frac{y}{m - 1}$成立的前提是分母$m-1≠0$，两边同时乘$(m-1)$，符合等式性质2，可得$x=y$，变形正确，不符合题意。
综上，变形错误的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
1.等式的基本性质
2.0的运算特性
【点评】
本题是等式性质应用的典型易错题，解题的关键是牢记运用等式性质2时，除数不能为0的限制，遇到含平方、分母的字母系数变形时，要先确认除数不为0再进行运算。
【难度系数】
0.6
5.利用等式的性质解下列方程，并检验.
(1)$7x - 6 = 8$；
(2)$0.4x + 10 = -1$；
(3)$\frac{1}{3} - \frac{x}{4} = \frac{1}{2}$。
(1)$7x - 6 = 8$；
(2)$0.4x + 10 = -1$；
(3)$\frac{1}{3} - \frac{x}{4} = \frac{1}{2}$。
答案
解：
(1) 方程两边同时加6，根据等式的性质1，得
$7x - 6 + 6 = 8 + 6$
化简得 $7x = 14$
方程两边同时除以7，根据等式的性质2，得
$x = 2$
检验：把$x=2$代入原方程，左边$=7×2 -6=8$，右边$=8$，左边$=$右边，所以$x=2$是原方程的解。
(2) 方程两边同时减10，根据等式的性质1，得
$0.4x + 10 - 10 = -1 -10$
化简得 $0.4x = -11$
方程两边同时除以0.4，根据等式的性质2，得
$x = -27.5$
检验：把$x=-27.5$代入原方程，左边$=0.4×(-27.5)+10=-1$，右边$=-1$，左边$=$右边，所以$x=-27.5$是原方程的解。
(3) 方程两边同时减$\frac{1}{3}$，根据等式的性质1，得
$\frac{1}{3} - \frac{x}{4} - \frac{1}{3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$
化简得 $-\frac{x}{4} = \frac{1}{6}$
方程两边同时乘$-4$，根据等式的性质2，得
$x = -\frac{2}{3}$
检验：把$x=-\frac{2}{3}$代入原方程，左边$=\frac{1}{3} - \frac{-\frac{2}{3}}{4}=\frac{1}{2}$，右边$=\frac{1}{2}$，左边$=$右边，所以$x=-\frac{2}{3}$是原方程的解。
(1) 方程两边同时加6，根据等式的性质1，得
$7x - 6 + 6 = 8 + 6$
化简得 $7x = 14$
方程两边同时除以7，根据等式的性质2，得
$x = 2$
检验：把$x=2$代入原方程，左边$=7×2 -6=8$，右边$=8$，左边$=$右边，所以$x=2$是原方程的解。
(2) 方程两边同时减10，根据等式的性质1，得
$0.4x + 10 - 10 = -1 -10$
化简得 $0.4x = -11$
方程两边同时除以0.4，根据等式的性质2，得
$x = -27.5$
检验：把$x=-27.5$代入原方程，左边$=0.4×(-27.5)+10=-1$，右边$=-1$，左边$=$右边，所以$x=-27.5$是原方程的解。
(3) 方程两边同时减$\frac{1}{3}$，根据等式的性质1，得
$\frac{1}{3} - \frac{x}{4} - \frac{1}{3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$
化简得 $-\frac{x}{4} = \frac{1}{6}$
方程两边同时乘$-4$，根据等式的性质2，得
$x = -\frac{2}{3}$
检验：把$x=-\frac{2}{3}$代入原方程，左边$=\frac{1}{3} - \frac{-\frac{2}{3}}{4}=\frac{1}{2}$，右边$=\frac{1}{2}$，左边$=$右边，所以$x=-\frac{2}{3}$是原方程的解。
解析
【分析】
要利用等式的性质解方程，首先明确等式的两个基本性质：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。解题思路为：①先用等式的性质1消去方程左边的常数项，将方程化为“未知数的倍数=常数”的形式；②再用等式的性质2将未知数的系数化为1，得到方程的解；③最后将解代入原方程，验证左右两边是否相等，确认解的正确性。
【解析】
(1) 方程两边同时加6，根据等式的性质1，得
$7x - 6 + 6 = 8 + 6$
化简得 $7x = 14$
方程两边同时除以7，根据等式的性质2，得
$x = 2$
检验：把$x=2$代入原方程，左边$=7×2 -6=8$，右边$=8$，左边$=$右边，所以$x=2$是原方程的解。
(2) 方程两边同时减10，根据等式的性质1，得
$0.4x + 10 - 10 = -1 -10$
化简得 $0.4x = -11$
方程两边同时除以0.4，根据等式的性质2，得
$x = -27.5$
检验：把$x=-27.5$代入原方程，左边$=0.4×(-27.5)+10=-1$，右边$=-1$，左边$=$右边，所以$x=-27.5$是原方程的解。
(3) 方程两边同时减$\frac{1}{3}$，根据等式的性质1，得
$\frac{1}{3} - \frac{x}{4} - \frac{1}{3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$
化简得 $-\frac{x}{4} = \frac{1}{6}$
方程两边同时乘$-4$，根据等式的性质2，得
$x = -\frac{2}{3}$
检验：把$x=-\frac{2}{3}$代入原方程，左边$=\frac{1}{3} - \frac{-\frac{2}{3}}{4}=\frac{1}{2}$，右边$=\frac{1}{2}$，左边$=$右边，所以$x=-\frac{2}{3}$是原方程的解。
【答案】
(1)$x=2$；(2)$x=-27.5$；(3)$x=-\frac{2}{3}$
【知识点】
等式的性质；解一元一次方程；方程的检验
【点评】
本题是应用等式性质解方程的基础题型，重点考查对等式性质的理解和实操能力，帮助学生掌握解方程的基本逻辑，养成解后验算的良好习惯。
【难度系数】
0.85
要利用等式的性质解方程，首先明确等式的两个基本性质：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。解题思路为：①先用等式的性质1消去方程左边的常数项，将方程化为“未知数的倍数=常数”的形式；②再用等式的性质2将未知数的系数化为1，得到方程的解；③最后将解代入原方程，验证左右两边是否相等，确认解的正确性。
【解析】
(1) 方程两边同时加6，根据等式的性质1，得
$7x - 6 + 6 = 8 + 6$
化简得 $7x = 14$
方程两边同时除以7，根据等式的性质2，得
$x = 2$
检验：把$x=2$代入原方程，左边$=7×2 -6=8$，右边$=8$，左边$=$右边，所以$x=2$是原方程的解。
(2) 方程两边同时减10，根据等式的性质1，得
$0.4x + 10 - 10 = -1 -10$
化简得 $0.4x = -11$
方程两边同时除以0.4，根据等式的性质2，得
$x = -27.5$
检验：把$x=-27.5$代入原方程，左边$=0.4×(-27.5)+10=-1$，右边$=-1$，左边$=$右边，所以$x=-27.5$是原方程的解。
(3) 方程两边同时减$\frac{1}{3}$，根据等式的性质1，得
$\frac{1}{3} - \frac{x}{4} - \frac{1}{3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$
化简得 $-\frac{x}{4} = \frac{1}{6}$
方程两边同时乘$-4$，根据等式的性质2，得
$x = -\frac{2}{3}$
检验：把$x=-\frac{2}{3}$代入原方程，左边$=\frac{1}{3} - \frac{-\frac{2}{3}}{4}=\frac{1}{2}$，右边$=\frac{1}{2}$，左边$=$右边，所以$x=-\frac{2}{3}$是原方程的解。
【答案】
(1)$x=2$；(2)$x=-27.5$；(3)$x=-\frac{2}{3}$
【知识点】
等式的性质；解一元一次方程；方程的检验
【点评】
本题是应用等式性质解方程的基础题型，重点考查对等式性质的理解和实操能力，帮助学生掌握解方程的基本逻辑，养成解后验算的良好习惯。
【难度系数】
0.85
6. 对于有理数$a,b,c,d$,规定一种运算$\begin{vmatrix} a&b \\ c&d \end{vmatrix}=ad-bc$,如$\begin{vmatrix} 1&0 \\ 2&-2 \end{vmatrix}=1×(-2)-0×2=-2$.
若$\begin{vmatrix} 0&-4 \\ 3-x&5 \end{vmatrix}=8$,求$x$的值.
若$\begin{vmatrix} 0&-4 \\ 3-x&5 \end{vmatrix}=8$,求$x$的值.
答案
解：根据题中的新运算规则，得
$0×5 - (-4)×(3-x) = 8$
化简，得
$4(3-x) = 8$
等式两边同时除以4，得
$3 - x = 2$
等式两边同时减去3，得
$-x = -1$
等式两边同时乘$-1$，得
$x = 1$
$0×5 - (-4)×(3-x) = 8$
化简，得
$4(3-x) = 8$
等式两边同时除以4，得
$3 - x = 2$
等式两边同时减去3，得
$-x = -1$
等式两边同时乘$-1$，得
$x = 1$
解析
【分析】
解题时首先要准确理解题目给出的新运算规则：二阶行列式的计算结果为左上角元素乘右下角元素，减去右上角元素乘左下角元素。接下来先确定所求行列式中对应的四个元素：a=0，b=-4，c=3-x，d=5，将元素代入新运算公式就能得到关于x的一元一次方程，最后利用等式的性质逐步解方程即可求出x的值。
【解析】
根据题中的新运算规则，得
$0×5 - (-4)×(3-x) = 8$
化简，得
$4(3-x) = 8$
等式两边同时除以4，得
$3 - x = 2$
等式两边同时减去3，得
$-x = -1$
等式两边同时乘$-1$，得
$x = 1$
【答案】
$x=1$
【知识点】
新定义运算，解一元一次方程，等式的性质
【点评】
本题结合新定义运算考查一元一次方程的求解，核心是正确理解新运算的规则，列方程时注意符号处理，后续按照等式的性质逐步计算即可，细心作答就能避免出错。
【难度系数】
0.8
解题时首先要准确理解题目给出的新运算规则：二阶行列式的计算结果为左上角元素乘右下角元素，减去右上角元素乘左下角元素。接下来先确定所求行列式中对应的四个元素：a=0，b=-4，c=3-x，d=5，将元素代入新运算公式就能得到关于x的一元一次方程，最后利用等式的性质逐步解方程即可求出x的值。
【解析】
根据题中的新运算规则，得
$0×5 - (-4)×(3-x) = 8$
化简，得
$4(3-x) = 8$
等式两边同时除以4，得
$3 - x = 2$
等式两边同时减去3，得
$-x = -1$
等式两边同时乘$-1$，得
$x = 1$
【答案】
$x=1$
【知识点】
新定义运算，解一元一次方程，等式的性质
【点评】
本题结合新定义运算考查一元一次方程的求解，核心是正确理解新运算的规则，列方程时注意符号处理，后续按照等式的性质逐步计算即可，细心作答就能避免出错。
【难度系数】
0.8
7.一般情况下$\frac{m}{2}+\frac{n}{4}=\frac{m+n}{2+4}$不成立，但有些数可以使得它成立，例如$m=n=0$.我们称使得$\frac{m}{2}+\frac{n}{4}=\frac{m+n}{2+4}$成立的一对数$m,n$为“相伴数对”，记为$(m,n)$.
(1)试说明$(1,-4)$是相伴数对；
(2)若$(x,4)$是相伴数对，求$x$的值.
(1)试说明$(1,-4)$是相伴数对；
(2)若$(x,4)$是相伴数对，求$x$的值.
答案
解：
(1) 当$m=1$，$n=-4$时，
左边$=\frac{1}{2}+\frac{-4}{4}=\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}$，
右边$=\frac{1+(-4)}{2+4}=\frac{-3}{6}=-\frac{1}{2}$，
左边$=$右边，
所以$(1,-4)$是相伴数对。
(2) 因为$(x,4)$是相伴数对，代入等式得：
$\frac{x}{2}+\frac{4}{4}=\frac{x+4}{2+4}$
整理得：$\frac{x}{2}+1=\frac{x+4}{6}$
根据等式的性质2，等式两边同时乘6，得：
$3x+6=x+4$
根据等式的性质1，等式两边同时减去$x$，得：
$2x+6=4$
根据等式的性质1，等式两边同时减去6，得：
$2x=-2$
根据等式的性质2，等式两边同时除以2，得：
$x=-1$
(1) 当$m=1$，$n=-4$时，
左边$=\frac{1}{2}+\frac{-4}{4}=\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}$，
右边$=\frac{1+(-4)}{2+4}=\frac{-3}{6}=-\frac{1}{2}$，
左边$=$右边，
所以$(1,-4)$是相伴数对。
(2) 因为$(x,4)$是相伴数对，代入等式得：
$\frac{x}{2}+\frac{4}{4}=\frac{x+4}{2+4}$
整理得：$\frac{x}{2}+1=\frac{x+4}{6}$
根据等式的性质2，等式两边同时乘6，得：
$3x+6=x+4$
根据等式的性质1，等式两边同时减去$x$，得：
$2x+6=4$
根据等式的性质1，等式两边同时减去6，得：
$2x=-2$
根据等式的性质2，等式两边同时除以2，得：
$x=-1$
解析
【分析】
（1）判断数对是否为相伴数对的核心是验证数对是否满足给定等式，只需将数对中的m、n分别代入等式左右两边计算，若两边结果相等，即可判定为相伴数对；（2）已知(x,4)是相伴数对，说明该组数值满足等式，将m=x、n=4代入等式得到关于x的一元一次方程，再利用等式的性质逐步解方程即可求出x的值。
【解析】
(1) 当$m=1$，$n=-4$时，
左边$=\frac{1}{2}+\frac{-4}{4}=\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}$，
右边$=\frac{1+(-4)}{2+4}=\frac{-3}{6}=-\frac{1}{2}$，
左边$=$右边，
所以$(1,-4)$是相伴数对。
(2) 因为$(x,4)$是相伴数对，代入等式得：
$\frac{x}{2}+\frac{4}{4}=\frac{x+4}{2+4}$
整理得：$\frac{x}{2}+1=\frac{x+4}{6}$
根据等式的性质2，等式两边同时乘6，得：
$3x+6=x+4$
根据等式的性质1，等式两边同时减去$x$，得：
$2x+6=4$
根据等式的性质1，等式两边同时减去6，得：
$2x=-2$
根据等式的性质2，等式两边同时除以2，得：
$x=-1$
【答案】
(1) $(1,-4)$是相伴数对；(2) $x=-1$
【知识点】
新定义理解、等式的性质、一元一次方程解法
【点评】
本题结合新定义考查基础运算与解方程能力，解题关键是准确理解“相伴数对”的定义，将新定义问题转化为常规的代数计算问题，计算时注意符号规范即可。
【难度系数】
0.8
（1）判断数对是否为相伴数对的核心是验证数对是否满足给定等式，只需将数对中的m、n分别代入等式左右两边计算，若两边结果相等，即可判定为相伴数对；（2）已知(x,4)是相伴数对，说明该组数值满足等式，将m=x、n=4代入等式得到关于x的一元一次方程，再利用等式的性质逐步解方程即可求出x的值。
【解析】
(1) 当$m=1$，$n=-4$时，
左边$=\frac{1}{2}+\frac{-4}{4}=\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}$，
右边$=\frac{1+(-4)}{2+4}=\frac{-3}{6}=-\frac{1}{2}$，
左边$=$右边，
所以$(1,-4)$是相伴数对。
(2) 因为$(x,4)$是相伴数对，代入等式得：
$\frac{x}{2}+\frac{4}{4}=\frac{x+4}{2+4}$
整理得：$\frac{x}{2}+1=\frac{x+4}{6}$
根据等式的性质2，等式两边同时乘6，得：
$3x+6=x+4$
根据等式的性质1，等式两边同时减去$x$，得：
$2x+6=4$
根据等式的性质1，等式两边同时减去6，得：
$2x=-2$
根据等式的性质2，等式两边同时除以2，得：
$x=-1$
【答案】
(1) $(1,-4)$是相伴数对；(2) $x=-1$
【知识点】
新定义理解、等式的性质、一元一次方程解法
【点评】
本题结合新定义考查基础运算与解方程能力，解题关键是准确理解“相伴数对”的定义，将新定义问题转化为常规的代数计算问题，计算时注意符号规范即可。
【难度系数】
0.8
