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例6 解方程：$3^{2x+2} - 3^{2x+1} = 486$.
【思路导析】逆用同底数幂的乘法法则，将$3^{2x+2}$与$3^{2x+1}$分别转化为$3^{2x} · 9$与$3^{2x} · 3$，从而得到关于$x$的新方程.
【示范解答】原方程可化为$3^{2x} · 9 - 3^{2x} · 3 = 486$，
即$6 · 3^{2x} = 486$，
所以$3^{2x} = 81$，即$3^{2x} = 3^4$，
所以$2x = 4$，所以$x = 2$.
【思路导析】逆用同底数幂的乘法法则，将$3^{2x+2}$与$3^{2x+1}$分别转化为$3^{2x} · 9$与$3^{2x} · 3$，从而得到关于$x$的新方程.
【示范解答】原方程可化为$3^{2x} · 9 - 3^{2x} · 3 = 486$，
即$6 · 3^{2x} = 486$，
所以$3^{2x} = 81$，即$3^{2x} = 3^4$，
所以$2x = 4$，所以$x = 2$.
答案
解：
原方程可化为 $3^{2x} · 3^2 - 3^{2x} · 3 = 486$，
即 $9 · 3^{2x} - 3 · 3^{2x} = 486$，
整理得 $6 · 3^{2x} = 486$，
两边同时除以6，得 $3^{2x} = 81$，
即 $3^{2x} = 3^4$，
因此 $2x = 4$，
解得 $x = 2$。
原方程可化为 $3^{2x} · 3^2 - 3^{2x} · 3 = 486$，
即 $9 · 3^{2x} - 3 · 3^{2x} = 486$，
整理得 $6 · 3^{2x} = 486$，
两边同时除以6，得 $3^{2x} = 81$，
即 $3^{2x} = 3^4$，
因此 $2x = 4$，
解得 $x = 2$。
解析
【分析】
解题时先观察方程左边两项的特征：底数均为3，指数仅相差1，可逆用同底数幂的乘法法则$a^{m+n}=a^m·a^n$，将$3^{2x+2}$拆分为$3^{2x}·3^2$、$3^{2x+1}$拆分为$3^{2x}·3$，此时两项含有公因式$3^{2x}$，合并同类项后可得到只含$3^{2x}$的等式；再将等式右侧的常数化为以3为底的幂的形式，利用“底数相同且不为1的幂相等时，指数相等”的性质，即可转化为一元一次方程求解$x$。
【解析】
原方程可化为 $3^{2x} · 3^2 - 3^{2x} · 3 = 486$，
即 $9 · 3^{2x} - 3 · 3^{2x} = 486$，
整理得 $6 · 3^{2x} = 486$，
两边同时除以6，得 $3^{2x} = 81$，
即 $3^{2x} = 3^4$，
因此 $2x = 4$，
解得 $x = 2$。
【答案】
$x=2$
【知识点】
同底数幂的乘法、合并同类项、等式的基本性质
【点评】
本题属于幂的运算的综合应用类题目，核心考查对同底数幂乘法法则的逆用能力，解题的突破口是通过拆分指数提取公因式，将指数方程转化为常见的一元一次方程，熟练掌握幂的运算法则并能灵活运用逆运算是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时先观察方程左边两项的特征：底数均为3，指数仅相差1，可逆用同底数幂的乘法法则$a^{m+n}=a^m·a^n$，将$3^{2x+2}$拆分为$3^{2x}·3^2$、$3^{2x+1}$拆分为$3^{2x}·3$，此时两项含有公因式$3^{2x}$，合并同类项后可得到只含$3^{2x}$的等式；再将等式右侧的常数化为以3为底的幂的形式，利用“底数相同且不为1的幂相等时，指数相等”的性质，即可转化为一元一次方程求解$x$。
【解析】
原方程可化为 $3^{2x} · 3^2 - 3^{2x} · 3 = 486$，
即 $9 · 3^{2x} - 3 · 3^{2x} = 486$，
整理得 $6 · 3^{2x} = 486$，
两边同时除以6，得 $3^{2x} = 81$，
即 $3^{2x} = 3^4$，
因此 $2x = 4$，
解得 $x = 2$。
【答案】
$x=2$
【知识点】
同底数幂的乘法、合并同类项、等式的基本性质
【点评】
本题属于幂的运算的综合应用类题目，核心考查对同底数幂乘法法则的逆用能力，解题的突破口是通过拆分指数提取公因式，将指数方程转化为常见的一元一次方程，熟练掌握幂的运算法则并能灵活运用逆运算是解题的关键。
【难度系数】
0.7
例7 已知$a^m=4,b^m=9$，求$(ab)^{2m}$的值.
【思路导析】本题用整体代入法来求解，把$a^m,b^m$分别作为一个整体，逆用幂的运算的法则以及积的乘方把$(ab)^{2m}$化为$a^{2m}b^{2m}=(a^m)^2$
$· (b^m)^2$，再代入$a^m,b^m$的值即可求解.
【示范解答】当$a^m=4,b^m=9$时，$(ab)^{2m}=a^{2m}· b^{2m}=(a^m)^2· (b^m)^2=4^2×9^2=16×81=1296.$
变式探究
【思路导析】本题用整体代入法来求解，把$a^m,b^m$分别作为一个整体，逆用幂的运算的法则以及积的乘方把$(ab)^{2m}$化为$a^{2m}b^{2m}=(a^m)^2$
$· (b^m)^2$，再代入$a^m,b^m$的值即可求解.
【示范解答】当$a^m=4,b^m=9$时，$(ab)^{2m}=a^{2m}· b^{2m}=(a^m)^2· (b^m)^2=4^2×9^2=16×81=1296.$
变式探究
答案
解：
逆用积的乘方运算法则，得$(ab)^{2m}=a^{2m} · b^{2m}$，
逆用幂的乘方运算法则，得$a^{2m}=(a^m)^2$，$b^{2m}=(b^m)^2$，
将$a^m=4$，$b^m=9$代入得：
$(ab)^{2m}=(a^m)^2 · (b^m)^2=4^2 × 9^2=16 × 81=1296$。
逆用积的乘方运算法则，得$(ab)^{2m}=a^{2m} · b^{2m}$，
逆用幂的乘方运算法则，得$a^{2m}=(a^m)^2$，$b^{2m}=(b^m)^2$，
将$a^m=4$，$b^m=9$代入得：
$(ab)^{2m}=(a^m)^2 · (b^m)^2=4^2 × 9^2=16 × 81=1296$。
解析
【分析】
我们已知$a^m$和$b^m$的值，要求$(ab)^{2m}$的值，首先需要将所求式子向已知条件的形式转化。首先回忆积的乘方运算法则：$(ab)^n=a^n b^n$，逆用这个法则可以把$(ab)^{2m}$拆分为$a^{2m}·b^{2m}$；再回忆幂的乘方运算法则：$(a^m)^n=a^{mn}$，逆用这个法则可将$a^{2m}$转化为$(a^m)^2$，$b^{2m}$转化为$(b^m)^2$，此时式子就变成了含$a^m$和$b^m$的形式，最后将已知数值整体代入计算即可得到结果。
【解析】
逆用积的乘方运算法则，得$(ab)^{2m}=a^{2m} · b^{2m}$，
逆用幂的乘方运算法则，得$a^{2m}=(a^m)^2$，$b^{2m}=(b^m)^2$，
将$a^m=4$，$b^m=9$代入得：
$(ab)^{2m}=(a^m)^2 · (b^m)^2=4^2 × 9^2=16 × 81=1296$。
【答案】
1296
【知识点】
积的乘方运算，幂的乘方运算，整体代入求值
【点评】
本题重点考查幂的相关运算法则的逆用，解题的核心是将所求代数式变形为包含已知条件的结构，运用整体代入思想简化计算，熟练掌握幂的运算法则是解决此类问题的基础。
【难度系数】
0.8
我们已知$a^m$和$b^m$的值，要求$(ab)^{2m}$的值，首先需要将所求式子向已知条件的形式转化。首先回忆积的乘方运算法则：$(ab)^n=a^n b^n$，逆用这个法则可以把$(ab)^{2m}$拆分为$a^{2m}·b^{2m}$；再回忆幂的乘方运算法则：$(a^m)^n=a^{mn}$，逆用这个法则可将$a^{2m}$转化为$(a^m)^2$，$b^{2m}$转化为$(b^m)^2$，此时式子就变成了含$a^m$和$b^m$的形式，最后将已知数值整体代入计算即可得到结果。
【解析】
逆用积的乘方运算法则，得$(ab)^{2m}=a^{2m} · b^{2m}$，
逆用幂的乘方运算法则，得$a^{2m}=(a^m)^2$，$b^{2m}=(b^m)^2$，
将$a^m=4$，$b^m=9$代入得：
$(ab)^{2m}=(a^m)^2 · (b^m)^2=4^2 × 9^2=16 × 81=1296$。
【答案】
1296
【知识点】
积的乘方运算，幂的乘方运算，整体代入求值
【点评】
本题重点考查幂的相关运算法则的逆用，解题的核心是将所求代数式变形为包含已知条件的结构，运用整体代入思想简化计算，熟练掌握幂的运算法则是解决此类问题的基础。
【难度系数】
0.8
已知$a,b$互质，且$(a^{m}b^{2} · ab^{n})^{5}=a^{15}b^{20}$，则$(3m)^{n}=$。
答案
$\boldsymbol{36}$
解析
【分析】
解题时先从化简等式左侧的幂运算表达式入手：第一步先计算括号内的同底数幂乘法，依据“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”合并同类项；第二步计算积的乘方，依据“积的乘方等于把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”、“幂的乘方，底数不变，指数相乘”完成化简。由于a、b互质，化简后等式两边a、b的对应指数分别相等，据此列出关于m、n的一元一次方程，求解出m、n的取值后代入所求代数式计算即可。
【解析】
先化简等式左侧表达式：
1. 计算括号内同底数幂的乘法：
$a^{m}b^{2} · ab^{n} = a^{m+1}b^{2+n}$
2. 计算积的乘方：
$(a^{m+1}b^{2+n})^{5} = a^{5(m+1)}b^{5(2+n)}$
已知化简结果等于$a^{15}b^{20}$，且a、b互质，因此对应指数相等，列方程：
$\begin{cases}5(m+1)=15 \\5(2+n)=20 \end{cases}$
解第一个方程：$m+1=3$，得$m=2$
解第二个方程：$2+n=4$，得$n=2$
将$m=2$，$n=2$代入$(3m)^n$得：
$(3×2)^2 = 6^2 = 36$
【答案】
$\boldsymbol{36}$
【知识点】
同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、代数式求值
【点评】
本题是幂的运算性质的基础应用题型，核心是掌握幂的各类运算法则，通过指数对应相等建立方程求解参数，计算时要注意区分不同幂运算的指数规则，避免运算混淆。
【难度系数】
0.7
解题时先从化简等式左侧的幂运算表达式入手：第一步先计算括号内的同底数幂乘法，依据“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”合并同类项；第二步计算积的乘方，依据“积的乘方等于把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”、“幂的乘方，底数不变，指数相乘”完成化简。由于a、b互质，化简后等式两边a、b的对应指数分别相等，据此列出关于m、n的一元一次方程，求解出m、n的取值后代入所求代数式计算即可。
【解析】
先化简等式左侧表达式：
1. 计算括号内同底数幂的乘法：
$a^{m}b^{2} · ab^{n} = a^{m+1}b^{2+n}$
2. 计算积的乘方：
$(a^{m+1}b^{2+n})^{5} = a^{5(m+1)}b^{5(2+n)}$
已知化简结果等于$a^{15}b^{20}$，且a、b互质，因此对应指数相等，列方程：
$\begin{cases}5(m+1)=15 \\5(2+n)=20 \end{cases}$
解第一个方程：$m+1=3$，得$m=2$
解第二个方程：$2+n=4$，得$n=2$
将$m=2$，$n=2$代入$(3m)^n$得：
$(3×2)^2 = 6^2 = 36$
【答案】
$\boldsymbol{36}$
【知识点】
同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、代数式求值
【点评】
本题是幂的运算性质的基础应用题型，核心是掌握幂的各类运算法则，通过指数对应相等建立方程求解参数，计算时要注意区分不同幂运算的指数规则，避免运算混淆。
【难度系数】
0.7
1. (1) $(x^4)^2 =$ ;
(2) $-(y^4)^3 =$ ;
(3) $(a^m)^4 =$ ;
(4) $(-y^4)^2 =$ .
(2) $-(y^4)^3 =$ ;
(3) $(a^m)^4 =$ ;
(4) $(-y^4)^2 =$ .
答案
解：
(1) $(x^4)^2 = x^{4×2} = x^8$
(2) $-(y^4)^3 = -y^{4×3} = -y^{12}$
(3) $(a^m)^4 = a^{m×4} = a^{4m}$
(4) $(-y^4)^2 = (-1)^2· (y^4)^2 = y^{4×2} = y^8$
(1) $(x^4)^2 = x^{4×2} = x^8$
(2) $-(y^4)^3 = -y^{4×3} = -y^{12}$
(3) $(a^m)^4 = a^{m×4} = a^{4m}$
(4) $(-y^4)^2 = (-1)^2· (y^4)^2 = y^{4×2} = y^8$
解析
【分析】
这组题目考查幂的乘方的运算规则，解题时首先回忆幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即$(a^m)^n=a^{mn}$（$m、n$为正整数）。解题时注意区分负号的位置：若负号在括号外，先计算括号内的幂的乘方，再添加负号；若负号在括号内，先根据乘方的奇偶性判断符号，再计算幂的乘方；若底数的指数为字母，直接按指数相乘的规则计算即可。
【解析】
(1) 根据幂的乘方法则，底数$x$不变，指数相乘：
$(x^4)^2 = x^{4×2} = x^8$
(2) 先计算括号内的幂的乘方，再保留括号外的负号：
$-(y^4)^3 = -y^{4×3} = -y^{12}$
(3) 底数$a$不变，指数$m$和4相乘：
$(a^m)^4 = a^{m×4} = a^{4m}$
(4) 负号在括号内，平方为偶次幂，负号消去，再计算幂的乘方：
$(-y^4)^2 = (-1)^2· (y^4)^2 = y^{4×2} = y^8$
【答案】
(1)$x^8$；(2)$-y^{12}$；(3)$a^{4m}$；(4)$y^8$
【知识点】
1.幂的乘方运算 2.乘方符号法则
【点评】
本题是幂的乘方的基础训练题，重点考查对幂的乘方法则的理解与运用，解题时要格外注意负号的位置对运算结果的影响，掌握好此类基础题型是后续学习复杂整式运算的前提。
【难度系数】
0.9
这组题目考查幂的乘方的运算规则，解题时首先回忆幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即$(a^m)^n=a^{mn}$（$m、n$为正整数）。解题时注意区分负号的位置：若负号在括号外，先计算括号内的幂的乘方，再添加负号；若负号在括号内，先根据乘方的奇偶性判断符号，再计算幂的乘方；若底数的指数为字母，直接按指数相乘的规则计算即可。
【解析】
(1) 根据幂的乘方法则，底数$x$不变，指数相乘：
$(x^4)^2 = x^{4×2} = x^8$
(2) 先计算括号内的幂的乘方，再保留括号外的负号：
$-(y^4)^3 = -y^{4×3} = -y^{12}$
(3) 底数$a$不变，指数$m$和4相乘：
$(a^m)^4 = a^{m×4} = a^{4m}$
(4) 负号在括号内，平方为偶次幂，负号消去，再计算幂的乘方：
$(-y^4)^2 = (-1)^2· (y^4)^2 = y^{4×2} = y^8$
【答案】
(1)$x^8$；(2)$-y^{12}$；(3)$a^{4m}$；(4)$y^8$
【知识点】
1.幂的乘方运算 2.乘方符号法则
【点评】
本题是幂的乘方的基础训练题，重点考查对幂的乘方法则的理解与运用，解题时要格外注意负号的位置对运算结果的影响，掌握好此类基础题型是后续学习复杂整式运算的前提。
【难度系数】
0.9
2. (1)$(mn)^2 = \_\_\_\_\_\_$；
(2)$(-2x^2y)^3 = \_\_\_\_\_\_$；
(3)$(\dfrac{1}{2}mn^3)^3 = \_\_\_\_\_\_$；
(4)$(-2×10^3)^2 = \_\_\_\_\_\_$。
(2)$(-2x^2y)^3 = \_\_\_\_\_\_$；
(3)$(\dfrac{1}{2}mn^3)^3 = \_\_\_\_\_\_$；
(4)$(-2×10^3)^2 = \_\_\_\_\_\_$。
答案
解：
(1) $(mn)^2 = m^2n^2$；
(2) $(-2x^2y)^3 = (-2)^3 · (x^2)^3 · y^3 = -8x^6y^3$；
(3) $(\dfrac{1}{2}mn^3)^3 = (\dfrac{1}{2})^3 · m^3 · (n^3)^3 = \dfrac{1}{8}m^3n^9$；
(4) $(-2×10^3)^2 = (-2)^2 × (10^3)^2 = 4×10^6$。
(1) $(mn)^2 = m^2n^2$；
(2) $(-2x^2y)^3 = (-2)^3 · (x^2)^3 · y^3 = -8x^6y^3$；
(3) $(\dfrac{1}{2}mn^3)^3 = (\dfrac{1}{2})^3 · m^3 · (n^3)^3 = \dfrac{1}{8}m^3n^9$；
(4) $(-2×10^3)^2 = (-2)^2 × (10^3)^2 = 4×10^6$。
解析
【分析】
这几道题均考查积的乘方与幂的乘方的运算法则，解题思路如下：①首先回忆积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；②回忆幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘；③针对每一道小题，先拆分积中的各个因式（包含系数、字母因式、常数因式等），对每个因式分别乘方，再运用幂的乘方法则计算字母的指数，最后合并计算结果，注意负数乘方的符号判断。
【解析】
(1) 根据积的乘方法则，把m和n分别平方，可得：
$(mn)^2 = m^2n^2$
(2) 先拆分因式为-2、$x^2$、y，分别乘方后结合幂的乘方法则计算：
$(-2x^2y)^3 = (-2)^3 · (x^2)^3 · y^3 = -8x^6y^3$
(3) 拆分因式为$\frac{1}{2}$、m、$n^3$，分别乘方后结合幂的乘方法则计算：
$(\dfrac{1}{2}mn^3)^3 = (\dfrac{1}{2})^3 · m^3 · (n^3)^3 = \dfrac{1}{8}m^3n^9$
(4) 拆分因式为-2、$10^3$，分别乘方后结合幂的乘方法则计算：
$(-2×10^3)^2 = (-2)^2 × (10^3)^2 = 4×10^6$
【答案】
(1)$m^2n^2$；(2)$-8x^6y^3$；(3)$\dfrac{1}{8}m^3n^9$；(4)$4×10^6$
【知识点】
积的乘方运算，幂的乘方运算
【点评】
本题是幂的运算的基础题型，核心考查对积的乘方、幂的乘方法则的掌握，解题时需注意不要漏乘任何一个因式，同时要准确判断乘方的符号、正确计算指数，避免出现指数运算错误。
【难度系数】
0.8
这几道题均考查积的乘方与幂的乘方的运算法则，解题思路如下：①首先回忆积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；②回忆幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘；③针对每一道小题，先拆分积中的各个因式（包含系数、字母因式、常数因式等），对每个因式分别乘方，再运用幂的乘方法则计算字母的指数，最后合并计算结果，注意负数乘方的符号判断。
【解析】
(1) 根据积的乘方法则，把m和n分别平方，可得：
$(mn)^2 = m^2n^2$
(2) 先拆分因式为-2、$x^2$、y，分别乘方后结合幂的乘方法则计算：
$(-2x^2y)^3 = (-2)^3 · (x^2)^3 · y^3 = -8x^6y^3$
(3) 拆分因式为$\frac{1}{2}$、m、$n^3$，分别乘方后结合幂的乘方法则计算：
$(\dfrac{1}{2}mn^3)^3 = (\dfrac{1}{2})^3 · m^3 · (n^3)^3 = \dfrac{1}{8}m^3n^9$
(4) 拆分因式为-2、$10^3$，分别乘方后结合幂的乘方法则计算：
$(-2×10^3)^2 = (-2)^2 × (10^3)^2 = 4×10^6$
【答案】
(1)$m^2n^2$；(2)$-8x^6y^3$；(3)$\dfrac{1}{8}m^3n^9$；(4)$4×10^6$
【知识点】
积的乘方运算，幂的乘方运算
【点评】
本题是幂的运算的基础题型，核心考查对积的乘方、幂的乘方法则的掌握，解题时需注意不要漏乘任何一个因式，同时要准确判断乘方的符号、正确计算指数，避免出现指数运算错误。
【难度系数】
0.8
3. (1)$[(2a - b)^3]^3 = \_\_\_\_\_\_$；
(2)$(-a^3)^5 · (-a^2)^6 = \_\_\_\_\_\_$。
(2)$(-a^3)^5 · (-a^2)^6 = \_\_\_\_\_\_$。
答案
(1) $\boldsymbol{(2a-b)^9}$；(2) $\boldsymbol{-a^{27}}$
解析
【分析】
本题考查幂的运算相关法则的应用。(1)属于幂的乘方运算，底数是多项式，直接套用幂的乘方法则：底数不变，指数相乘即可求解；(2)需要先分别计算两个幂的乘方，计算时先根据负数乘方的符号规律确定每部分的符号，再用幂的乘方法则计算指数，最后根据同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加计算最终结果，注意符号的合并。
【解析】
(1) 根据幂的乘方法则$(x^m)^n=x^{mn}$（$m$、$n$为正整数），可得：
$[(2a - b)^3]^3=(2a-b)^{3×3}=(2a-b)^9$
(2) 先分别计算两个幂的乘方：
根据负数的奇次幂为负，偶次幂为正，结合幂的乘方法则：
$(-a^3)^5=- (a^3)^5=-a^{3×5}=-a^{15}$
$(-a^2)^6=(a^2)^6=a^{2×6}=a^{12}$
再根据同底数幂的乘法法则$x^m · x^n=x^{m+n}$（$m$、$n$为正整数）计算：
$(-a^3)^5 · (-a^2)^6=-a^{15} · a^{12}=-a^{15+12}=-a^{27}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{(2a-b)^9}$；(2) $\boldsymbol{-a^{27}}$
【知识点】
幂的乘方运算；同底数幂的乘法；乘方符号判断
【点评】
本题是幂运算的基础题型，解题关键是熟练掌握各运算法则，同时注意两点：一是底数为多项式时，做幂的乘方运算无需展开多项式，直接将多项式整体作为底数即可；二是负数的乘方要先判断符号，避免符号出错。
【难度系数】
0.8
本题考查幂的运算相关法则的应用。(1)属于幂的乘方运算，底数是多项式，直接套用幂的乘方法则：底数不变，指数相乘即可求解；(2)需要先分别计算两个幂的乘方，计算时先根据负数乘方的符号规律确定每部分的符号，再用幂的乘方法则计算指数，最后根据同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加计算最终结果，注意符号的合并。
【解析】
(1) 根据幂的乘方法则$(x^m)^n=x^{mn}$（$m$、$n$为正整数），可得：
$[(2a - b)^3]^3=(2a-b)^{3×3}=(2a-b)^9$
(2) 先分别计算两个幂的乘方：
根据负数的奇次幂为负，偶次幂为正，结合幂的乘方法则：
$(-a^3)^5=- (a^3)^5=-a^{3×5}=-a^{15}$
$(-a^2)^6=(a^2)^6=a^{2×6}=a^{12}$
再根据同底数幂的乘法法则$x^m · x^n=x^{m+n}$（$m$、$n$为正整数）计算：
$(-a^3)^5 · (-a^2)^6=-a^{15} · a^{12}=-a^{15+12}=-a^{27}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{(2a-b)^9}$；(2) $\boldsymbol{-a^{27}}$
【知识点】
幂的乘方运算；同底数幂的乘法；乘方符号判断
【点评】
本题是幂运算的基础题型，解题关键是熟练掌握各运算法则，同时注意两点：一是底数为多项式时，做幂的乘方运算无需展开多项式，直接将多项式整体作为底数即可；二是负数的乘方要先判断符号，避免符号出错。
【难度系数】
0.8
4.若$a^x=2,b^x=3$,则$(a^2b)^{2x}=$.
答案
$\boldsymbol{144}$
解析
【分析】
本题可利用幂的乘方与积的乘方的运算法则，将所求代数式变形为含有已知条件$a^x$、$b^x$的形式，再代入数值计算即可。解题时先根据积的乘方拆分代数式，再依据幂的乘方将指数变形，最终凑出已知的幂的形式代入求解。
【解析】
根据幂的运算法则逐步化简：
1. 利用积的乘方法则$(ab)^n=a^nb^n$，可得：
$(a^2b)^{2x}=(a^2)^{2x}· b^{2x}$
2. 利用幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$，进一步变形：
$(a^2)^{2x}=a^{2×2x}=a^{4x}=(a^x)^4$，$b^{2x}=(b^x)^2$
3. 代入已知$a^x=2$，$b^x=3$计算：
原式$=(a^x)^4· (b^x)^2=2^4×3^2=16×9=144$
【答案】
$\boldsymbol{144}$
【知识点】
积的乘方运算；幂的乘方运算；代数式代入求值
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查幂的运算法则的灵活运用，解题的关键是熟练掌握积的乘方、幂的乘方的运算规则，能够将所求代数式合理变形为匹配已知条件的形式，计算时注意指数运算的准确性即可。
【难度系数】
0.8
本题可利用幂的乘方与积的乘方的运算法则，将所求代数式变形为含有已知条件$a^x$、$b^x$的形式，再代入数值计算即可。解题时先根据积的乘方拆分代数式，再依据幂的乘方将指数变形，最终凑出已知的幂的形式代入求解。
【解析】
根据幂的运算法则逐步化简：
1. 利用积的乘方法则$(ab)^n=a^nb^n$，可得：
$(a^2b)^{2x}=(a^2)^{2x}· b^{2x}$
2. 利用幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$，进一步变形：
$(a^2)^{2x}=a^{2×2x}=a^{4x}=(a^x)^4$，$b^{2x}=(b^x)^2$
3. 代入已知$a^x=2$，$b^x=3$计算：
原式$=(a^x)^4· (b^x)^2=2^4×3^2=16×9=144$
【答案】
$\boldsymbol{144}$
【知识点】
积的乘方运算；幂的乘方运算；代数式代入求值
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查幂的运算法则的灵活运用，解题的关键是熟练掌握积的乘方、幂的乘方的运算规则，能够将所求代数式合理变形为匹配已知条件的形式，计算时注意指数运算的准确性即可。
【难度系数】
0.8
5.若$10^a = 5$，$10^b = 6$，则$10^{2a + 3b} = \_\_\_\_\_\_$
答案
解：
$10^{2a+3b}=10^{2a} · 10^{3b}$
$=(10^a)^2 · (10^b)^3$
将$10^a=5$，$10^b=6$代入得：
原式$=5^2 × 6^3$
$=25 × 216$
$=5400$
$10^{2a+3b}=10^{2a} · 10^{3b}$
$=(10^a)^2 · (10^b)^3$
将$10^a=5$，$10^b=6$代入得：
原式$=5^2 × 6^3$
$=25 × 216$
$=5400$
解析
【分析】
我们要计算指数为和的形式的幂，首先回忆同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，逆用该法则可将$10^{2a+3b}$拆分为$10^{2a}·10^{3b}$；再观察拆分后的幂的指数都是乘积形式，回忆幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，逆用该法则可将$10^{2a}$转化为$(10^a)^2$，$10^{3b}$转化为$(10^b)^3$，此时待求式中出现了已知给出的$10^a$和$10^b$，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：$10^{2a+3b}=10^{2a} · 10^{3b}$
根据幂的乘方的逆运算，可得：
$10^{2a}=(10^a)^2$，$10^{3b}=(10^b)^3$
因此原式$=(10^a)^2 · (10^b)^3$
将$10^a=5$，$10^b=6$代入上式，得：
原式$=5^2 × 6^3$
$=25 × 216$
$=5400$
【答案】
5400
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的乘方
【点评】
本题主要考查幂的运算性质的灵活运用，解题的关键是熟练掌握同底数幂乘法和幂的乘方的运算法则，能正确逆用法则将待求式变形为与已知条件相关的形式，计算时要注意准确计算乘方和乘法运算。
【难度系数】
0.8
我们要计算指数为和的形式的幂，首先回忆同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，逆用该法则可将$10^{2a+3b}$拆分为$10^{2a}·10^{3b}$；再观察拆分后的幂的指数都是乘积形式，回忆幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，逆用该法则可将$10^{2a}$转化为$(10^a)^2$，$10^{3b}$转化为$(10^b)^3$，此时待求式中出现了已知给出的$10^a$和$10^b$，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：$10^{2a+3b}=10^{2a} · 10^{3b}$
根据幂的乘方的逆运算，可得：
$10^{2a}=(10^a)^2$，$10^{3b}=(10^b)^3$
因此原式$=(10^a)^2 · (10^b)^3$
将$10^a=5$，$10^b=6$代入上式，得：
原式$=5^2 × 6^3$
$=25 × 216$
$=5400$
【答案】
5400
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的乘方
【点评】
本题主要考查幂的运算性质的灵活运用，解题的关键是熟练掌握同底数幂乘法和幂的乘方的运算法则，能正确逆用法则将待求式变形为与已知条件相关的形式，计算时要注意准确计算乘方和乘法运算。
【难度系数】
0.8
6. 给出下列四个计算过程:①$(a^{4})^{4}=a^{4+4}=a^{8};$
②$[(b^{2})^{2}]^{2}=b^{2×2×2}=b^{8};$③$[(-x)^{3}]^{2}=x^{6};$
④$(-y^{2})^{3}=y^{6}.$其中正确的个数是()
A.0
B.1
C.2
D.3
②$[(b^{2})^{2}]^{2}=b^{2×2×2}=b^{8};$③$[(-x)^{3}]^{2}=x^{6};$
④$(-y^{2})^{3}=y^{6}.$其中正确的个数是()
A.0
B.1
C.2
D.3
答案
C
解析
【分析】
本题主要考查幂的乘方、积的乘方的运算法则应用。解题思路如下：首先回忆相关运算规则：1.幂的乘方，底数不变，指数相乘；2.积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；3.负数的偶次幂为正，奇次幂为负。接下来依次对4个计算过程逐一验证正误，最后统计正确的个数即可选出对应选项。
【解析】
我们逐个分析4个计算过程：
① 根据幂的乘方法则，$(a^{4})^{4}=a^{4×4}=a^{16}$，原式错误地将指数相加得到$a^8$，故①错误；
② 多次幂的乘方仍遵循指数相乘的规则，$[(b^{2})^{2}]^{2}=b^{2×2×2}=b^{8}$，计算正确，故②正确；
③ 先按幂的乘方法则计算，$[(-x)^{3}]^{2}=(-x)^{3×2}=(-x)^6$，负数的偶次幂为正，故$(-x)^6=x^6$，计算正确，故③正确；
④ 根据积的乘方法则，$(-y^{2})^{3}=(-1)^3· (y^2)^3=-y^{2×3}=-y^6$，原式符号判断错误，故④错误。
综上，正确的是②和③，共2个。
【答案】
C
【知识点】
幂的乘方运算，积的乘方运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，解题关键是准确区分幂的各类运算法则，尤其要注意不要混淆幂的乘方的“指数相乘”和同底数幂加法的“指数相加”规则，同时要注意含负号的乘方运算的符号判断。
【难度系数】
0.7
本题主要考查幂的乘方、积的乘方的运算法则应用。解题思路如下：首先回忆相关运算规则：1.幂的乘方，底数不变，指数相乘；2.积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；3.负数的偶次幂为正，奇次幂为负。接下来依次对4个计算过程逐一验证正误，最后统计正确的个数即可选出对应选项。
【解析】
我们逐个分析4个计算过程：
① 根据幂的乘方法则，$(a^{4})^{4}=a^{4×4}=a^{16}$，原式错误地将指数相加得到$a^8$，故①错误；
② 多次幂的乘方仍遵循指数相乘的规则，$[(b^{2})^{2}]^{2}=b^{2×2×2}=b^{8}$，计算正确，故②正确；
③ 先按幂的乘方法则计算，$[(-x)^{3}]^{2}=(-x)^{3×2}=(-x)^6$，负数的偶次幂为正，故$(-x)^6=x^6$，计算正确，故③正确；
④ 根据积的乘方法则，$(-y^{2})^{3}=(-1)^3· (y^2)^3=-y^{2×3}=-y^6$，原式符号判断错误，故④错误。
综上，正确的是②和③，共2个。
【答案】
C
【知识点】
幂的乘方运算，积的乘方运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，解题关键是准确区分幂的各类运算法则，尤其要注意不要混淆幂的乘方的“指数相乘”和同底数幂加法的“指数相加”规则，同时要注意含负号的乘方运算的符号判断。
【难度系数】
0.7
7. 给出下列计算:①$(4x^3)^2=8x^6$;②$(-5a^5b^5)^2=-25a^{10}b^{10}$;③$(-\dfrac{2}{3}x)^3=-\dfrac{8}{3}x^3$;④$(3x^2y^3)^4=81x^6y^7$.其中错误的个数是()
A.1
B.2
C.3
D.4
A.1
B.2
C.3
D.4
答案
D
解析
【分析】
本题考查幂的乘方与积的乘方的运算法则，解题思路是先明确相关运算法则：积的乘方需把积中的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方是底数不变，指数相乘。接下来逐一验证4个计算的正误，最后统计错误的个数即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析每个计算：
① 根据积的乘方与幂的乘方法则：$(4x^3)^2=4^2 · (x^3)^2=16x^{3×2}=16x^6$，原式计算为$8x^6$，错误；
② 平方运算结果为非负：$(-5a^5b^5)^2=(-5)^2 · (a^5)^2 · (b^5)^2=25a^{10}b^{10}$，原式计算为$-25a^{10}b^{10}$，错误；
③ 系数要完整乘方：$(-\dfrac{2}{3}x)^3=(-\dfrac{2}{3})^3 · x^3=-\dfrac{8}{27}x^3$，原式计算为$-\dfrac{8}{3}x^3$，错误；
④ 幂的乘方指数要相乘而非相加：$(3x^2y^3)^4=3^4 · (x^2)^4 · (y^3)^4=81x^8y^{12}$，原式计算为$81x^6y^7$，错误。
综上，4个计算全部错误，错误的个数是4。
【答案】
D
【知识点】
积的乘方运算；幂的乘方运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心是对幂的相关运算法则的准确应用，解题时要注意系数的乘方运算、符号的判断以及指数的运算规则，避免因记混法则出现计算错误。
【难度系数】
0.7
本题考查幂的乘方与积的乘方的运算法则，解题思路是先明确相关运算法则：积的乘方需把积中的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方是底数不变，指数相乘。接下来逐一验证4个计算的正误，最后统计错误的个数即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析每个计算：
① 根据积的乘方与幂的乘方法则：$(4x^3)^2=4^2 · (x^3)^2=16x^{3×2}=16x^6$，原式计算为$8x^6$，错误；
② 平方运算结果为非负：$(-5a^5b^5)^2=(-5)^2 · (a^5)^2 · (b^5)^2=25a^{10}b^{10}$，原式计算为$-25a^{10}b^{10}$，错误；
③ 系数要完整乘方：$(-\dfrac{2}{3}x)^3=(-\dfrac{2}{3})^3 · x^3=-\dfrac{8}{27}x^3$，原式计算为$-\dfrac{8}{3}x^3$，错误；
④ 幂的乘方指数要相乘而非相加：$(3x^2y^3)^4=3^4 · (x^2)^4 · (y^3)^4=81x^8y^{12}$，原式计算为$81x^6y^7$，错误。
综上，4个计算全部错误，错误的个数是4。
【答案】
D
【知识点】
积的乘方运算；幂的乘方运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心是对幂的相关运算法则的准确应用，解题时要注意系数的乘方运算、符号的判断以及指数的运算规则，避免因记混法则出现计算错误。
【难度系数】
0.7
8.已知$2^a = 4$，$2^b = 8$，$2^c = 16$，那么下列关于$a$，$b$，$c$的大小关系正确的是()
A.$b + a ＜ c$
B.$2b ＜ a + c$
C.$2b = a + c$
D.$2a ＞ b + c$
A.$b + a ＜ c$
B.$2b ＜ a + c$
C.$2b = a + c$
D.$2a ＞ b + c$
答案
C
解析
【分析】
解题可采用两种思路：第一种是先根据乘方的意义，把等号右侧的数都改写为以2为底的幂的形式，直接得到a、b、c的数值，再代入各选项验证大小关系即可，这种方法更直观易操作；第二种是利用幂的运算性质，将选项中的指数关系转化为同底数幂的关系推导，同样可以得出结论。
【解析】
方法一：直接计算a、b、c的值验证
∵ $2^a = 4 = 2^2$，
∴ $a=2$
∵ $2^b = 8 = 2^3$，
∴ $b=3$
∵ $2^c = 16 = 2^4$，
∴ $c=4$
逐一判断选项：
A选项：$b+a=3+2=5$，$c=4$，$5＞4$，即$b+a＞c$，A错误；
B选项：$2b=2×3=6$，$a+c=2+4=6$，可得$2b=a+c$，B错误；
C选项：由上述计算可知$2b=a+c$，C正确；
D选项：$2a=2×2=4$，$b+c=3+4=7$，$4＜7$，即$2a＜b+c$，D错误。
方法二：利用幂的运算性质推导
∵ $2^a=4$，$2^c=16$
∴ $2^a · 2^c = 2^{a+c} = 4×16=64$
又
∵ $2^b=8$，
∴ $(2^b)^2=2^{2b}=8^2=64$
∴ $2^{a+c}=2^{2b}$，同底数幂相等时指数相等，故$a+c=2b$，C正确。
【答案】
C
【知识点】
乘方的意义；幂的乘方；同底数幂的乘法
【点评】
本题属于幂的运算的基础应用型题目，解题方法灵活，既可以直接计算指数数值验证结果，也可以通过幂的运算性质推导，能够很好地考查学生对幂的相关性质的掌握程度和灵活运用能力。
【难度系数】
0.8
解题可采用两种思路：第一种是先根据乘方的意义，把等号右侧的数都改写为以2为底的幂的形式，直接得到a、b、c的数值，再代入各选项验证大小关系即可，这种方法更直观易操作；第二种是利用幂的运算性质，将选项中的指数关系转化为同底数幂的关系推导，同样可以得出结论。
【解析】
方法一：直接计算a、b、c的值验证
∵ $2^a = 4 = 2^2$，
∴ $a=2$
∵ $2^b = 8 = 2^3$，
∴ $b=3$
∵ $2^c = 16 = 2^4$，
∴ $c=4$
逐一判断选项：
A选项：$b+a=3+2=5$，$c=4$，$5＞4$，即$b+a＞c$，A错误；
B选项：$2b=2×3=6$，$a+c=2+4=6$，可得$2b=a+c$，B错误；
C选项：由上述计算可知$2b=a+c$，C正确；
D选项：$2a=2×2=4$，$b+c=3+4=7$，$4＜7$，即$2a＜b+c$，D错误。
方法二：利用幂的运算性质推导
∵ $2^a=4$，$2^c=16$
∴ $2^a · 2^c = 2^{a+c} = 4×16=64$
又
∵ $2^b=8$，
∴ $(2^b)^2=2^{2b}=8^2=64$
∴ $2^{a+c}=2^{2b}$，同底数幂相等时指数相等，故$a+c=2b$，C正确。
【答案】
C
【知识点】
乘方的意义；幂的乘方；同底数幂的乘法
【点评】
本题属于幂的运算的基础应用型题目，解题方法灵活，既可以直接计算指数数值验证结果，也可以通过幂的运算性质推导，能够很好地考查学生对幂的相关性质的掌握程度和灵活运用能力。
【难度系数】
0.8
9. 如果$(a^m b^n)^3 = a^9 b^{12}$，那么$m,n$的值等于()
A.$m=9,n=4$
B.$m=3,n=4$
C.$m=4,n=3$
D.$m=9,n=6$
A.$m=9,n=4$
B.$m=3,n=4$
C.$m=4,n=3$
D.$m=9,n=6$
答案
B
解析
【分析】
解题时先回忆幂的相关运算法则，首先对等式左边的积的乘方进行展开：第一步用积的乘方法则，把积里的每个因式分别乘方；第二步用幂的乘方法则，底数不变，指数相乘。展开后等式两边都是同底数幂相乘的形式，根据两个含相同字母的幂相等时，相同底数的对应指数相等，即可列出关于m、n的一元一次方程，解方程就能得到m、n的值。
【解析】
先计算等式左边的式子：
根据积的乘方法则：$(a^m b^n)^3=(a^m)^3 · (b^n)^3$
再根据幂的乘方法则：$(a^m)^3=a^{3m}$，$(b^n)^3=b^{3n}$
因此左边化简结果为：$a^{3m}b^{3n}$
已知$(a^m b^n)^3 = a^9 b^{12}$，可得：$a^{3m}b^{3n}=a^9 b^{12}$
等式两边同底数幂的指数对应相等，因此列方程：
$3m=9$，解得$m=3$
$3n=12$，解得$n=4$
所以$m=3,n=4$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
积的乘方运算，幂的乘方运算，指数对应相等
【点评】
本题是幂的运算的基础题型，核心考察对积的乘方、幂的乘方运算法则的掌握，以及利用等式两边同底数幂指数相等建立方程求解未知量的方法，熟练掌握幂的运算法则是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆幂的相关运算法则，首先对等式左边的积的乘方进行展开：第一步用积的乘方法则，把积里的每个因式分别乘方；第二步用幂的乘方法则，底数不变，指数相乘。展开后等式两边都是同底数幂相乘的形式，根据两个含相同字母的幂相等时，相同底数的对应指数相等，即可列出关于m、n的一元一次方程，解方程就能得到m、n的值。
【解析】
先计算等式左边的式子：
根据积的乘方法则：$(a^m b^n)^3=(a^m)^3 · (b^n)^3$
再根据幂的乘方法则：$(a^m)^3=a^{3m}$，$(b^n)^3=b^{3n}$
因此左边化简结果为：$a^{3m}b^{3n}$
已知$(a^m b^n)^3 = a^9 b^{12}$，可得：$a^{3m}b^{3n}=a^9 b^{12}$
等式两边同底数幂的指数对应相等，因此列方程：
$3m=9$，解得$m=3$
$3n=12$，解得$n=4$
所以$m=3,n=4$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
积的乘方运算，幂的乘方运算，指数对应相等
【点评】
本题是幂的运算的基础题型，核心考察对积的乘方、幂的乘方运算法则的掌握，以及利用等式两边同底数幂指数相等建立方程求解未知量的方法，熟练掌握幂的运算法则是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8
