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例1 计算：
(1)$(-8^2)^3$；(2)$(a^m)^2$；(3)$[(-m)^3]^4$；
(4)$(a^{3-m})^2$.
【思路导析】此题是幂的乘方运算.
【请你解答】
(1)$(-8^2)^3$；(2)$(a^m)^2$；(3)$[(-m)^3]^4$；
(4)$(a^{3-m})^2$.
【思路导析】此题是幂的乘方运算.
【请你解答】
答案
解：
(1)
$\begin{aligned}(-8^2)^3&=-(8^2)^3\\&=-8^{2×3}\\&=-8^6\\&=-262144\end{aligned}$
(2)
$(a^m)^2=a^{m·2}=a^{2m}$
(3)
$\begin{aligned}[(-m)^3]^4&=(-m)^{3×4}\\&=(-m)^{12}\\&=m^{12}\end{aligned}$
(4)
$(a^{3-m})^2=a^{2·(3-m)}=a^{6-2m}$
(1)
$\begin{aligned}(-8^2)^3&=-(8^2)^3\\&=-8^{2×3}\\&=-8^6\\&=-262144\end{aligned}$
(2)
$(a^m)^2=a^{m·2}=a^{2m}$
(3)
$\begin{aligned}[(-m)^3]^4&=(-m)^{3×4}\\&=(-m)^{12}\\&=m^{12}\end{aligned}$
(4)
$(a^{3-m})^2=a^{2·(3-m)}=a^{6-2m}$
解析
【分析】
本题考查幂的乘方相关运算，解题核心是运用幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。解题时需注意：①区分负号的位置，提前判断结果的符号；②底数为负数时，根据指数的奇偶性确定最终符号；③指数为多项式时，乘方的指数要和多项式的每一项相乘。各小题具体思路：(1)先确定原式符号为负，再对$(8^2)^3$应用幂的乘方法则计算；(2)直接套用幂的乘方法则计算即可；(3)先应用幂的乘方法则计算指数，再根据负数的偶次幂为正化简；(4)指数为多项式，乘方的指数要分配到多项式的每一项计算。
【解析】
(1)
$\begin{aligned}(-8^2)^3&=-(8^2)^3\\&=-8^{2×3}\\&=-8^6\\&=-262144\end{aligned}$
(2)
$(a^m)^2=a^{m·2}=a^{2m}$
(3)
$\begin{aligned}[(-m)^3]^4&=(-m)^{3×4}\\&=(-m)^{12}\\&=m^{12}\end{aligned}$
(4)
$(a^{3-m})^2=a^{2·(3-m)}=a^{6-2m}$
【答案】
(1)$-262144$；(2)$a^{2m}$；(3)$m^{12}$；(4)$a^{6-2m}$
【知识点】
幂的乘方运算，符号化简，指数运算
【点评】
本题是幂的乘方的基础应用题型，重点考查幂的乘方法则的掌握情况，易错点为混淆负号的位置、负数幂的符号判断出错、指数为多项式时漏乘项，练习时需注意这些细节。
【难度系数】
0.85
本题考查幂的乘方相关运算，解题核心是运用幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。解题时需注意：①区分负号的位置，提前判断结果的符号；②底数为负数时，根据指数的奇偶性确定最终符号；③指数为多项式时，乘方的指数要和多项式的每一项相乘。各小题具体思路：(1)先确定原式符号为负，再对$(8^2)^3$应用幂的乘方法则计算；(2)直接套用幂的乘方法则计算即可；(3)先应用幂的乘方法则计算指数，再根据负数的偶次幂为正化简；(4)指数为多项式，乘方的指数要分配到多项式的每一项计算。
【解析】
(1)
$\begin{aligned}(-8^2)^3&=-(8^2)^3\\&=-8^{2×3}\\&=-8^6\\&=-262144\end{aligned}$
(2)
$(a^m)^2=a^{m·2}=a^{2m}$
(3)
$\begin{aligned}[(-m)^3]^4&=(-m)^{3×4}\\&=(-m)^{12}\\&=m^{12}\end{aligned}$
(4)
$(a^{3-m})^2=a^{2·(3-m)}=a^{6-2m}$
【答案】
(1)$-262144$；(2)$a^{2m}$；(3)$m^{12}$；(4)$a^{6-2m}$
【知识点】
幂的乘方运算，符号化简，指数运算
【点评】
本题是幂的乘方的基础应用题型，重点考查幂的乘方法则的掌握情况，易错点为混淆负号的位置、负数幂的符号判断出错、指数为多项式时漏乘项，练习时需注意这些细节。
【难度系数】
0.85
例2 计算：
(1)$(-\dfrac{1}{2}a^3b)^2$；(2)$-(-3a^2b^3)^4$；
(3)$(-x^3y^2)^5$；(4)$[(-x^2y)^3·(-x^2y)^2]^3$。
【思路导析】按照积的乘方的运算法则，把积中的每一个因式分别乘方即可。
【请你解答】
(1)$(-\dfrac{1}{2}a^3b)^2$；(2)$-(-3a^2b^3)^4$；
(3)$(-x^3y^2)^5$；(4)$[(-x^2y)^3·(-x^2y)^2]^3$。
【思路导析】按照积的乘方的运算法则，把积中的每一个因式分别乘方即可。
【请你解答】
答案
解：
(1) 原式$=(-\dfrac{1}{2})^2 · (a^3)^2 · b^2$
$=\dfrac{1}{4}a^6b^2$
(2) 原式$=-[(-3)^4 · (a^2)^4 · (b^3)^4]$
$=-(81a^8b^{12})$
$=-81a^8b^{12}$
(3) 原式$=(-1)^5 · (x^3)^5 · (y^2)^5$
$=-x^{15}y^{10}$
(4) 原式$=[(-x^2y)^{3+2}]^3$
$=[(-x^2y)^5]^3$
$=(-x^2y)^{15}$
$=(-1)^{15} · (x^2)^{15} · y^{15}$
$=-x^{30}y^{15}$
(1) 原式$=(-\dfrac{1}{2})^2 · (a^3)^2 · b^2$
$=\dfrac{1}{4}a^6b^2$
(2) 原式$=-[(-3)^4 · (a^2)^4 · (b^3)^4]$
$=-(81a^8b^{12})$
$=-81a^8b^{12}$
(3) 原式$=(-1)^5 · (x^3)^5 · (y^2)^5$
$=-x^{15}y^{10}$
(4) 原式$=[(-x^2y)^{3+2}]^3$
$=[(-x^2y)^5]^3$
$=(-x^2y)^{15}$
$=(-1)^{15} · (x^2)^{15} · y^{15}$
$=-x^{30}y^{15}$
解析
【分析】
解决这类幂的运算题，首先要牢记相关运算法则：1.积的乘方：把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；2.幂的乘方：底数不变，指数相乘；3.同底数幂相乘：底数不变，指数相加。解题时先观察式子结构：(1)(2)(3)均为积的乘方形式，先拆分因式分别乘方，再计算幂的乘方，注意负号的乘方结果（偶数次方正，奇数次方负）；第(4)题中括号内是同底数幂相乘，先按同底数幂乘法法则合并，再依次计算幂的乘方、积的乘方即可。
【解析】
(1) 原式$=(-\dfrac{1}{2})^2 · (a^3)^2 · b^2$
$=\dfrac{1}{4}a^6b^2$
(2) 原式$=-[(-3)^4 · (a^2)^4 · (b^3)^4]$
$=-(81a^8b^{12})$
$=-81a^8b^{12}$
(3) 原式$=(-1)^5 · (x^3)^5 · (y^2)^5$
$=-x^{15}y^{10}$
(4) 原式$=[(-x^2y)^{3+2}]^3$
$=[(-x^2y)^5]^3$
$=(-x^2y)^{15}$
$=(-1)^{15} · (x^2)^{15} · y^{15}$
$=-x^{30}y^{15}$
【答案】
(1)$\dfrac{1}{4}a^6b^2$；(2)$-81a^8b^{12}$；(3)$-x^{15}y^{10}$；(4)$-x^{30}y^{15}$
【知识点】
积的乘方运算；幂的乘方运算；同底数幂的乘法
【点评】
本题是幂的运算的基础巩固题，核心考查各类幂的运算法则的应用，解题时需格外注意符号的判断以及各类指数运算规则的区分，避免因法则混淆或符号失误丢分，熟练掌握法则即可快速准确求解。
【难度系数】
0.85
解决这类幂的运算题，首先要牢记相关运算法则：1.积的乘方：把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；2.幂的乘方：底数不变，指数相乘；3.同底数幂相乘：底数不变，指数相加。解题时先观察式子结构：(1)(2)(3)均为积的乘方形式，先拆分因式分别乘方，再计算幂的乘方，注意负号的乘方结果（偶数次方正，奇数次方负）；第(4)题中括号内是同底数幂相乘，先按同底数幂乘法法则合并，再依次计算幂的乘方、积的乘方即可。
【解析】
(1) 原式$=(-\dfrac{1}{2})^2 · (a^3)^2 · b^2$
$=\dfrac{1}{4}a^6b^2$
(2) 原式$=-[(-3)^4 · (a^2)^4 · (b^3)^4]$
$=-(81a^8b^{12})$
$=-81a^8b^{12}$
(3) 原式$=(-1)^5 · (x^3)^5 · (y^2)^5$
$=-x^{15}y^{10}$
(4) 原式$=[(-x^2y)^{3+2}]^3$
$=[(-x^2y)^5]^3$
$=(-x^2y)^{15}$
$=(-1)^{15} · (x^2)^{15} · y^{15}$
$=-x^{30}y^{15}$
【答案】
(1)$\dfrac{1}{4}a^6b^2$；(2)$-81a^8b^{12}$；(3)$-x^{15}y^{10}$；(4)$-x^{30}y^{15}$
【知识点】
积的乘方运算；幂的乘方运算；同底数幂的乘法
【点评】
本题是幂的运算的基础巩固题，核心考查各类幂的运算法则的应用，解题时需格外注意符号的判断以及各类指数运算规则的区分，避免因法则混淆或符号失误丢分，熟练掌握法则即可快速准确求解。
【难度系数】
0.85
例3 计算：
(1)$(3× 10^2)^3 × [(-10)^3]^4$；
(2)$[(m+n)^2]^3[-2(m+n)^3]^2$；
(3)$(-2xy^2)^6 + (-3x^2y^4)^3$；
(4)$(-2a)^6 - (-3a^2)^3 + [-(2a)^2]^3$。
【思路导析】解题的关键是明确运算顺序：
先算积的乘方，再算幂的乘方、同底数幂相乘，最后算加减，有括号的先算括号里面的。
【请你解答】
(1)$(3× 10^2)^3 × [(-10)^3]^4$；
(2)$[(m+n)^2]^3[-2(m+n)^3]^2$；
(3)$(-2xy^2)^6 + (-3x^2y^4)^3$；
(4)$(-2a)^6 - (-3a^2)^3 + [-(2a)^2]^3$。
【思路导析】解题的关键是明确运算顺序：
先算积的乘方，再算幂的乘方、同底数幂相乘，最后算加减，有括号的先算括号里面的。
【请你解答】
答案
解：
(1)
原式$=3^3×(10^2)^3×(-10)^{3×4}$
$=27×10^6×10^{12}$
$=27×10^{18}$
$=2.7×10^{19}$
(2)
原式$=(m+n)^{2×3}×(-2)^2×(m+n)^{3×2}$
$=(m+n)^6×4×(m+n)^6$
$=4(m+n)^{6+6}$
$=4(m+n)^{12}$
(3)
原式$=(-2)^6· x^6· (y^2)^6 + (-3)^3· (x^2)^3· (y^4)^3$
$=64x^6y^{12} - 27x^6y^{12}$
$=37x^6y^{12}$
(4)
原式$=(-2)^6· a^6 - (-3)^3· (a^2)^3 + (-1)^3· (2a)^{2×3}$
$=64a^6 +27a^6 - 64a^6$
$=27a^6$
(1)
原式$=3^3×(10^2)^3×(-10)^{3×4}$
$=27×10^6×10^{12}$
$=27×10^{18}$
$=2.7×10^{19}$
(2)
原式$=(m+n)^{2×3}×(-2)^2×(m+n)^{3×2}$
$=(m+n)^6×4×(m+n)^6$
$=4(m+n)^{6+6}$
$=4(m+n)^{12}$
(3)
原式$=(-2)^6· x^6· (y^2)^6 + (-3)^3· (x^2)^3· (y^4)^3$
$=64x^6y^{12} - 27x^6y^{12}$
$=37x^6y^{12}$
(4)
原式$=(-2)^6· a^6 - (-3)^3· (a^2)^3 + (-1)^3· (2a)^{2×3}$
$=64a^6 +27a^6 - 64a^6$
$=27a^6$
解析
【分析】
解答本题需遵循幂的运算规则和整式运算顺序思考：首先明确运算顺序为“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内的运算”；计算乘方时，积的乘方要将每个因式分别乘方，幂的乘方遵循“底数不变，指数相乘”的法则，同底数幂相乘遵循“底数不变，指数相加”的法则，最后同类项要合并。对于第(2)题，可将$(m+n)$看作整体作为幂的底数直接运算，无需展开；计算过程中要注意负号的符号判断，负数的偶次幂为正、奇次幂为负，最终结果需化简到最简形式。
【解析】
(1)
原式$=3^3×(10^2)^3×(-10)^{3×4}$
$=27×10^6×10^{12}$
$=27×10^{18}$
$=2.7×10^{19}$
(2)
原式$=(m+n)^{2×3}×(-2)^2×(m+n)^{3×2}$
$=(m+n)^6×4×(m+n)^6$
$=4(m+n)^{6+6}$
$=4(m+n)^{12}$
(3)
原式$=(-2)^6· x^6· (y^2)^6 + (-3)^3· (x^2)^3· (y^4)^3$
$=64x^6y^{12} - 27x^6y^{12}$
$=37x^6y^{12}$
(4)
原式$=(-2)^6· a^6 - (-3)^3· (a^2)^3 + (-1)^3· (2a)^{2×3}$
$=64a^6 +27a^6 - 64a^6$
$=27a^6$
【答案】
(1) $\boxed{2.7×10^{19}}$；(2) $\boxed{4(m+n)^{12}}$；(3) $\boxed{37x^6y^{12}}$；(4) $\boxed{27a^6}$
【知识点】
幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘法
【点评】
本题综合考查幂的相关运算法则的应用，解题时要严格遵循运算顺序，准确处理负号的运算，熟练掌握各类幂的运算规则是解题的关键，也为后续整式的混合运算打下基础。
【难度系数】
0.7
解答本题需遵循幂的运算规则和整式运算顺序思考：首先明确运算顺序为“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内的运算”；计算乘方时，积的乘方要将每个因式分别乘方，幂的乘方遵循“底数不变，指数相乘”的法则，同底数幂相乘遵循“底数不变，指数相加”的法则，最后同类项要合并。对于第(2)题，可将$(m+n)$看作整体作为幂的底数直接运算，无需展开；计算过程中要注意负号的符号判断，负数的偶次幂为正、奇次幂为负，最终结果需化简到最简形式。
【解析】
(1)
原式$=3^3×(10^2)^3×(-10)^{3×4}$
$=27×10^6×10^{12}$
$=27×10^{18}$
$=2.7×10^{19}$
(2)
原式$=(m+n)^{2×3}×(-2)^2×(m+n)^{3×2}$
$=(m+n)^6×4×(m+n)^6$
$=4(m+n)^{6+6}$
$=4(m+n)^{12}$
(3)
原式$=(-2)^6· x^6· (y^2)^6 + (-3)^3· (x^2)^3· (y^4)^3$
$=64x^6y^{12} - 27x^6y^{12}$
$=37x^6y^{12}$
(4)
原式$=(-2)^6· a^6 - (-3)^3· (a^2)^3 + (-1)^3· (2a)^{2×3}$
$=64a^6 +27a^6 - 64a^6$
$=27a^6$
【答案】
(1) $\boxed{2.7×10^{19}}$；(2) $\boxed{4(m+n)^{12}}$；(3) $\boxed{37x^6y^{12}}$；(4) $\boxed{27a^6}$
【知识点】
幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘法
【点评】
本题综合考查幂的相关运算法则的应用，解题时要严格遵循运算顺序，准确处理负号的运算，熟练掌握各类幂的运算规则是解题的关键，也为后续整式的混合运算打下基础。
【难度系数】
0.7
例4 用简便方法计算：
(1) $(-1 \dfrac{2}{5})^{6} × 0.25^{4} × (\dfrac{5}{7})^{6} × (-4)^{4}$；
(2) $0.125^{2024} × (-8)^{2025}$。
【思路导析】(1)观察该式的特点可知，需利用乘法的交换律和结合律，并逆用积的乘方法则计算。
(2)$8^{2025}=8^{2024} × 8$，故该式应逆用同底数幂的乘法法则和积的乘方法则计算。
【请你解答】
互动探究 $△right△right$ 探究解题规律 总结方法技巧
(1) $(-1 \dfrac{2}{5})^{6} × 0.25^{4} × (\dfrac{5}{7})^{6} × (-4)^{4}$；
(2) $0.125^{2024} × (-8)^{2025}$。
【思路导析】(1)观察该式的特点可知，需利用乘法的交换律和结合律，并逆用积的乘方法则计算。
(2)$8^{2025}=8^{2024} × 8$，故该式应逆用同底数幂的乘法法则和积的乘方法则计算。
【请你解答】
互动探究 $△right△right$ 探究解题规律 总结方法技巧
答案
解：
(1) 先将$-1\dfrac{2}{5}$化为$-\dfrac{7}{5}$，
$\begin{aligned}原式&=(-\dfrac{7}{5})^6 × 0.25^4 × (\dfrac{5}{7})^6 × (-4)^4\\&=[(-\dfrac{7}{5})^6 × (\dfrac{5}{7})^6] × [0.25^4 × (-4)^4]\\&=[(-\dfrac{7}{5})× \dfrac{5}{7}]^6 × [0.25× (-4)]^4\\&=(-1)^6 × (-1)^4\\&=1×1\\&=1\end{aligned}$
(2) 逆用同底数幂乘法法则，将$(-8)^{2025}$变形为$(-8)^{2024}×(-8)$，
$\begin{aligned}原式&=0.125^{2024} × (-8)^{2024} × (-8)\\&=[0.125× (-8)]^{2024} × (-8)\\&=(-1)^{2024} × (-8)\\&=1× (-8)\\&=-8\end{aligned}$
(1) 先将$-1\dfrac{2}{5}$化为$-\dfrac{7}{5}$，
$\begin{aligned}原式&=(-\dfrac{7}{5})^6 × 0.25^4 × (\dfrac{5}{7})^6 × (-4)^4\\&=[(-\dfrac{7}{5})^6 × (\dfrac{5}{7})^6] × [0.25^4 × (-4)^4]\\&=[(-\dfrac{7}{5})× \dfrac{5}{7}]^6 × [0.25× (-4)]^4\\&=(-1)^6 × (-1)^4\\&=1×1\\&=1\end{aligned}$
(2) 逆用同底数幂乘法法则，将$(-8)^{2025}$变形为$(-8)^{2024}×(-8)$，
$\begin{aligned}原式&=0.125^{2024} × (-8)^{2024} × (-8)\\&=[0.125× (-8)]^{2024} × (-8)\\&=(-1)^{2024} × (-8)\\&=1× (-8)\\&=-8\end{aligned}$
解析
【分析】
第(1)题：观察式子发现$(-1\frac{2}{5})^6$与$(\frac{5}{7})^6$指数相同，$0.25^4$与$(-4)^4$指数相同，先将带分数化为假分数，再利用乘法交换律、结合律将同指数的幂分组，逆用积的乘方法则$a^n· b^n=(ab)^n$分别计算两组的结果，最后相乘即可。
第(2)题：观察到0.125与-8相乘得整数，但两者指数不同，先逆用同底数幂的乘法法则，将$(-8)^{2025}$拆分为$(-8)^{2024}×(-8)$，再将指数相同的$0.125^{2024}$与$(-8)^{2024}$结合，逆用积的乘方法则计算，最后乘以剩余的-8得到结果。
【解析】
(1) 先将$-1\dfrac{2}{5}$化为$-\dfrac{7}{5}$，
$\begin{aligned}原式&=(-\dfrac{7}{5})^6 × 0.25^4 × (\dfrac{5}{7})^6 × (-4)^4\\&=[(-\dfrac{7}{5})^6 × (\dfrac{5}{7})^6] × [0.25^4 × (-4)^4]\\&=[(-\dfrac{7}{5})× \dfrac{5}{7}]^6 × [0.25× (-4)]^4\\&=(-1)^6 × (-1)^4\\&=1×1\\&=1\end{aligned}$
(2) 逆用同底数幂乘法法则，将$(-8)^{2025}$变形为$(-8)^{2024}×(-8)$，
$\begin{aligned}原式&=0.125^{2024} × (-8)^{2024} × (-8)\\&=[0.125× (-8)]^{2024} × (-8)\\&=(-1)^{2024} × (-8)\\&=1× (-8)\\&=-8\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{1}$；(2) $\boxed{-8}$
【知识点】
1. 积的乘方逆运算
2. 乘法运算律
3. 同底数幂乘法逆运算
【点评】
这两道题是幂的运算的典型简便计算题型，解题核心是观察式子中底数的乘积特征，结合指数的特点，灵活逆用相关运算律和幂的运算法则，将复杂的高次幂运算转化为简单的整数运算，大幅降低计算量。
【难度系数】
0.7
第(1)题：观察式子发现$(-1\frac{2}{5})^6$与$(\frac{5}{7})^6$指数相同，$0.25^4$与$(-4)^4$指数相同，先将带分数化为假分数，再利用乘法交换律、结合律将同指数的幂分组，逆用积的乘方法则$a^n· b^n=(ab)^n$分别计算两组的结果，最后相乘即可。
第(2)题：观察到0.125与-8相乘得整数，但两者指数不同，先逆用同底数幂的乘法法则，将$(-8)^{2025}$拆分为$(-8)^{2024}×(-8)$，再将指数相同的$0.125^{2024}$与$(-8)^{2024}$结合，逆用积的乘方法则计算，最后乘以剩余的-8得到结果。
【解析】
(1) 先将$-1\dfrac{2}{5}$化为$-\dfrac{7}{5}$，
$\begin{aligned}原式&=(-\dfrac{7}{5})^6 × 0.25^4 × (\dfrac{5}{7})^6 × (-4)^4\\&=[(-\dfrac{7}{5})^6 × (\dfrac{5}{7})^6] × [0.25^4 × (-4)^4]\\&=[(-\dfrac{7}{5})× \dfrac{5}{7}]^6 × [0.25× (-4)]^4\\&=(-1)^6 × (-1)^4\\&=1×1\\&=1\end{aligned}$
(2) 逆用同底数幂乘法法则，将$(-8)^{2025}$变形为$(-8)^{2024}×(-8)$，
$\begin{aligned}原式&=0.125^{2024} × (-8)^{2024} × (-8)\\&=[0.125× (-8)]^{2024} × (-8)\\&=(-1)^{2024} × (-8)\\&=1× (-8)\\&=-8\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{1}$；(2) $\boxed{-8}$
【知识点】
1. 积的乘方逆运算
2. 乘法运算律
3. 同底数幂乘法逆运算
【点评】
这两道题是幂的运算的典型简便计算题型，解题核心是观察式子中底数的乘积特征，结合指数的特点，灵活逆用相关运算律和幂的运算法则，将复杂的高次幂运算转化为简单的整数运算，大幅降低计算量。
【难度系数】
0.7
例5 已知$ m^a =25, m^b=8 $，求$ m^{3a} · m^{3b} $的值.
【思路导析】若把$ m^a, m^b $分别作为一个整体,可以逆用幂的运算法则把$ m^{3a} · m^{3b} $化为$ (m^a)^3 · (m^b)^3 = (m^a · m^b)^3 $,再代入$ m^a, m^b $的值.
【示范解答】当$ m^a =25, m^b=8 $时,$ m^{3a} · m^{3b} = (m^a)^3 · (m^b)^3 = (m^a · m^b)^3 = (25 × 8)^3 = 200^3 = 8000000 $.
【思路导析】若把$ m^a, m^b $分别作为一个整体,可以逆用幂的运算法则把$ m^{3a} · m^{3b} $化为$ (m^a)^3 · (m^b)^3 = (m^a · m^b)^3 $,再代入$ m^a, m^b $的值.
【示范解答】当$ m^a =25, m^b=8 $时,$ m^{3a} · m^{3b} = (m^a)^3 · (m^b)^3 = (m^a · m^b)^3 = (25 × 8)^3 = 200^3 = 8000000 $.
答案
解：
$\because m^a=25, m^b=8$，
$\therefore m^{3a} · m^{3b}$
$=(m^a)^3 · (m^b)^3$
$=(m^a · m^b)^3$
$=(25 × 8)^3$
$=200^3$
$=8000000$
$\because m^a=25, m^b=8$，
$\therefore m^{3a} · m^{3b}$
$=(m^a)^3 · (m^b)^3$
$=(m^a · m^b)^3$
$=(25 × 8)^3$
$=200^3$
$=8000000$
解析
【分析】
解题时先观察所求代数式的结构，其指数均为3与a、b的乘积，首先联想到逆用幂的乘方法则$m^{xy}=(m^x)^y$，将$m^{3a}$转化为$(m^a)^3$，$m^{3b}$转化为$(m^b)^3$；接下来观察变形后的式子是两个立方的乘积，可进一步逆用积的乘方法则$a^3b^3=(ab)^3$，将式子整理为$(m^a·m^b)^3$，最后将已知的$m^a$、$m^b$的值整体代入计算即可，不需要分别计算两个立方再相乘，能简化运算过程。
【解析】
$\because m^a=25, m^b=8$，
$\therefore m^{3a} · m^{3b}$
$=(m^a)^3 · (m^b)^3$
$=(m^a · m^b)^3$
$=(25 × 8)^3$
$=200^3$
$=8000000$
【答案】
$8000000$
【知识点】
幂的乘方逆运算，积的乘方逆运算，整体代入求值
【点评】
本题是幂运算的常见基础题型，核心考查幂的运算法则的灵活逆用，通过整体代入已知条件的方式可大幅简化计算，有效降低运算出错概率。
【难度系数】
0.8
解题时先观察所求代数式的结构，其指数均为3与a、b的乘积，首先联想到逆用幂的乘方法则$m^{xy}=(m^x)^y$，将$m^{3a}$转化为$(m^a)^3$，$m^{3b}$转化为$(m^b)^3$；接下来观察变形后的式子是两个立方的乘积，可进一步逆用积的乘方法则$a^3b^3=(ab)^3$，将式子整理为$(m^a·m^b)^3$，最后将已知的$m^a$、$m^b$的值整体代入计算即可，不需要分别计算两个立方再相乘，能简化运算过程。
【解析】
$\because m^a=25, m^b=8$，
$\therefore m^{3a} · m^{3b}$
$=(m^a)^3 · (m^b)^3$
$=(m^a · m^b)^3$
$=(25 × 8)^3$
$=200^3$
$=8000000$
【答案】
$8000000$
【知识点】
幂的乘方逆运算，积的乘方逆运算，整体代入求值
【点评】
本题是幂运算的常见基础题型，核心考查幂的运算法则的灵活逆用，通过整体代入已知条件的方式可大幅简化计算，有效降低运算出错概率。
【难度系数】
0.8
