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10.现有下列命题:①若$5^x=25$,则$5^{2x}=50$；②若$a＞b$,则$\frac{a}{c^2+1}＞\frac{b}{c^2+1}$；③若$x^2=y^2$,则$x=y$.其中真命题有()
A.3个
B.2个
C.1个
D.0个
A.3个
B.2个
C.1个
D.0个
答案
C
解析
【分析】
解题时需逐个判断3个命题的真假，真命题即条件成立时结论一定成立的命题，假命题可通过计算推导或举反例验证：①结合幂的乘方法则计算判断；②结合不等式的性质，先判断分母的正负再推导；③结合平方的性质，考虑互为相反数的两个数平方也相等，举反例判断即可。
【解析】
我们逐个分析三个命题：
1. 对于命题①：根据幂的乘方法则$a^{mn}=(a^m)^n$，可得$5^{2x}=(5^x)^2$。已知$5^x=25$，代入得$5^{2x}=25^2=625≠50$，故①是假命题。
2. 对于命题②：由平方的非负性可知$c^2≥0$，因此$c^2+1≥1＞0$，为正数。根据不等式的性质：不等式两边同时除以同一个正数，不等号方向不变。已知$a＞b$，两边同时除以$c^2+1$，可得$\frac{a}{c^2+1}＞\frac{b}{c^2+1}$，故②是真命题。
3. 对于命题③：若$x^2=y^2$，则$x=y$或$x=-y$，例如$x=2$，$y=-2$时，$x^2=y^2=4$，但$x≠ y$，故③是假命题。
综上，真命题只有1个。
【答案】
C
【知识点】
幂的乘方法则；不等式的性质；平方的性质
【点评】
本题属于基础概念辨析题，判断假命题时可通过举反例快速验证，要求熟练掌握幂的运算、不等式的性质以及平方的相关特征。
【难度系数】
0.7
解题时需逐个判断3个命题的真假，真命题即条件成立时结论一定成立的命题，假命题可通过计算推导或举反例验证：①结合幂的乘方法则计算判断；②结合不等式的性质，先判断分母的正负再推导；③结合平方的性质，考虑互为相反数的两个数平方也相等，举反例判断即可。
【解析】
我们逐个分析三个命题：
1. 对于命题①：根据幂的乘方法则$a^{mn}=(a^m)^n$，可得$5^{2x}=(5^x)^2$。已知$5^x=25$，代入得$5^{2x}=25^2=625≠50$，故①是假命题。
2. 对于命题②：由平方的非负性可知$c^2≥0$，因此$c^2+1≥1＞0$，为正数。根据不等式的性质：不等式两边同时除以同一个正数，不等号方向不变。已知$a＞b$，两边同时除以$c^2+1$，可得$\frac{a}{c^2+1}＞\frac{b}{c^2+1}$，故②是真命题。
3. 对于命题③：若$x^2=y^2$，则$x=y$或$x=-y$，例如$x=2$，$y=-2$时，$x^2=y^2=4$，但$x≠ y$，故③是假命题。
综上，真命题只有1个。
【答案】
C
【知识点】
幂的乘方法则；不等式的性质；平方的性质
【点评】
本题属于基础概念辨析题，判断假命题时可通过举反例快速验证，要求熟练掌握幂的运算、不等式的性质以及平方的相关特征。
【难度系数】
0.7
11.计算:
(1)$(-2a^2b)^2 · (-2a^2b^2)^3$；
(2)$(-2x^2y)^3 + 8(x^2)^2 · (-x)^2 · (-y)^3$；
(3)$(-3a^3)^2 · a^3 + (-4a)^2 · a^7 - (5a^3)^3$。
(1)$(-2a^2b)^2 · (-2a^2b^2)^3$；
(2)$(-2x^2y)^3 + 8(x^2)^2 · (-x)^2 · (-y)^3$；
(3)$(-3a^3)^2 · a^3 + (-4a)^2 · a^7 - (5a^3)^3$。
答案
解：
(1) 原式$=(-2)^2 · (a^2)^2 · b^2 · (-2)^3 · (a^2)^3 · (b^2)^3$
$=4a^4b^2 · (-8a^6b^6)$
$=4×(-8) · a^{4+6} · b^{2+6}$
$=-32a^{10}b^8$
(2) 原式$=(-2)^3 · (x^2)^3 · y^3 + 8 · (x^2)^2 · (-x)^2 · (-y)^3$
$=-8x^6y^3 + 8 · x^4 · x^2 · (-y^3)$
$=-8x^6y^3 -8x^6y^3$
$=-16x^6y^3$
(3) 原式$=(-3)^2 · (a^3)^2 · a^3 + (-4)^2 · a^2 · a^7 - 5^3 · (a^3)^3$
$=9a^6 · a^3 + 16a^2 · a^7 - 125a^9$
$=9a^9 + 16a^9 -125a^9$
$=-100a^9$
(1) 原式$=(-2)^2 · (a^2)^2 · b^2 · (-2)^3 · (a^2)^3 · (b^2)^3$
$=4a^4b^2 · (-8a^6b^6)$
$=4×(-8) · a^{4+6} · b^{2+6}$
$=-32a^{10}b^8$
(2) 原式$=(-2)^3 · (x^2)^3 · y^3 + 8 · (x^2)^2 · (-x)^2 · (-y)^3$
$=-8x^6y^3 + 8 · x^4 · x^2 · (-y^3)$
$=-8x^6y^3 -8x^6y^3$
$=-16x^6y^3$
(3) 原式$=(-3)^2 · (a^3)^2 · a^3 + (-4)^2 · a^2 · a^7 - 5^3 · (a^3)^3$
$=9a^6 · a^3 + 16a^2 · a^7 - 125a^9$
$=9a^9 + 16a^9 -125a^9$
$=-100a^9$
解析
【分析】
这三道题均为幂的运算类整式混合运算，解题遵循“先乘方，再乘除，最后加减”的顺序：首先计算积的乘方，将积中每个因式分别乘方后再把所得幂相乘，注意系数符号的运算；接着计算幂的乘方，遵循底数不变、指数相乘的规则；之后计算同底数幂的乘法，遵循底数不变、指数相加的规则；最后合并同类项得到结果。计算时需注意区分不同幂运算的指数运算法则，避免混淆，同时注意符号不要出错。
【解析】
(1) 原式$=(-2)^2 · (a^2)^2 · b^2 · (-2)^3 · (a^2)^3 · (b^2)^3$
$=4a^4b^2 · (-8a^6b^6)$
$=4×(-8) · a^{4+6} · b^{2+6}$
$=-32a^{10}b^8$
(2) 原式$=(-2)^3 · (x^2)^3 · y^3 + 8 · (x^2)^2 · (-x)^2 · (-y)^3$
$=-8x^6y^3 + 8 · x^4 · x^2 · (-y^3)$
$=-8x^6y^3 -8x^6y^3$
$=-16x^6y^3$
(3) 原式$=(-3)^2 · (a^3)^2 · a^3 + (-4)^2 · a^2 · a^7 - 5^3 · (a^3)^3$
$=9a^6 · a^3 + 16a^2 · a^7 - 125a^9$
$=9a^9 + 16a^9 -125a^9$
$=-100a^9$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-32a^{10}b^8}$；(2) $\boldsymbol{-16x^6y^3}$；(3) $\boldsymbol{-100a^9}$
【知识点】
积的乘方运算、幂的乘方运算、同底数幂的乘法运算
【点评】
本题是幂的运算法则的综合基础练习题，重点考查对各类幂运算法则的掌握和应用能力，计算时需格外注意符号判断以及指数运算规则的区分，避免因粗心混淆运算法则导致错误。
【难度系数】
0.75
这三道题均为幂的运算类整式混合运算，解题遵循“先乘方，再乘除，最后加减”的顺序：首先计算积的乘方，将积中每个因式分别乘方后再把所得幂相乘，注意系数符号的运算；接着计算幂的乘方，遵循底数不变、指数相乘的规则；之后计算同底数幂的乘法，遵循底数不变、指数相加的规则；最后合并同类项得到结果。计算时需注意区分不同幂运算的指数运算法则，避免混淆，同时注意符号不要出错。
【解析】
(1) 原式$=(-2)^2 · (a^2)^2 · b^2 · (-2)^3 · (a^2)^3 · (b^2)^3$
$=4a^4b^2 · (-8a^6b^6)$
$=4×(-8) · a^{4+6} · b^{2+6}$
$=-32a^{10}b^8$
(2) 原式$=(-2)^3 · (x^2)^3 · y^3 + 8 · (x^2)^2 · (-x)^2 · (-y)^3$
$=-8x^6y^3 + 8 · x^4 · x^2 · (-y^3)$
$=-8x^6y^3 -8x^6y^3$
$=-16x^6y^3$
(3) 原式$=(-3)^2 · (a^3)^2 · a^3 + (-4)^2 · a^2 · a^7 - 5^3 · (a^3)^3$
$=9a^6 · a^3 + 16a^2 · a^7 - 125a^9$
$=9a^9 + 16a^9 -125a^9$
$=-100a^9$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-32a^{10}b^8}$；(2) $\boldsymbol{-16x^6y^3}$；(3) $\boldsymbol{-100a^9}$
【知识点】
积的乘方运算、幂的乘方运算、同底数幂的乘法运算
【点评】
本题是幂的运算法则的综合基础练习题，重点考查对各类幂运算法则的掌握和应用能力，计算时需格外注意符号判断以及指数运算规则的区分，避免因粗心混淆运算法则导致错误。
【难度系数】
0.75
12.计算：
$0.125^{9} × (-8)^{10} + (\dfrac{3}{4})^{11} × (1\dfrac{1}{3})^{12}.$
$0.125^{9} × (-8)^{10} + (\dfrac{3}{4})^{11} × (1\dfrac{1}{3})^{12}.$
答案
解：
原式$=0.125^9 × (-8)^9 × (-8) + (\dfrac{3}{4})^{11} × (\dfrac{4}{3})^{11} × \dfrac{4}{3}$
$=[0.125 × (-8)]^9 × (-8) + (\dfrac{3}{4} × \dfrac{4}{3})^{11} × \dfrac{4}{3}$
$=(-1)^9 × (-8) + 1^{11} × \dfrac{4}{3}$
$=(-1) × (-8) + 1 × \dfrac{4}{3}$
$=8 + \dfrac{4}{3}$
$=\dfrac{28}{3}$
原式$=0.125^9 × (-8)^9 × (-8) + (\dfrac{3}{4})^{11} × (\dfrac{4}{3})^{11} × \dfrac{4}{3}$
$=[0.125 × (-8)]^9 × (-8) + (\dfrac{3}{4} × \dfrac{4}{3})^{11} × \dfrac{4}{3}$
$=(-1)^9 × (-8) + 1^{11} × \dfrac{4}{3}$
$=(-1) × (-8) + 1 × \dfrac{4}{3}$
$=8 + \dfrac{4}{3}$
$=\dfrac{28}{3}$
解析
【分析】
本题考查幂的运算的简便计算，解题思路如下：1. 观察两个乘方乘积项的底数特征：0.125与-8相乘得-1，$\frac{3}{4}$与$1\frac{1}{3}$（即$\frac{4}{3}$）相乘得1，适合用积的乘方的逆运算简化计算；2. 把指数较高的幂拆成与另一项同指数的幂乘剩余底数的形式：将$(-8)^{10}$拆为$(-8)^9×(-8)$，将$(1\frac{1}{3})^{12}$拆为$(\frac{4}{3})^{11}×\frac{4}{3}$；3. 逆用积的乘方公式$a^n·b^n=(ab)^n$分别计算两部分，再求和即可。
【解析】
原式$=0.125^9 × (-8)^9 × (-8) + (\dfrac{3}{4})^{11} × (\dfrac{4}{3})^{11} × \dfrac{4}{3}$
$=[0.125 × (-8)]^9 × (-8) + (\dfrac{3}{4} × \dfrac{4}{3})^{11} × \dfrac{4}{3}$
$=(-1)^9 × (-8) + 1^{11} × \dfrac{4}{3}$
$=(-1) × (-8) + 1 × \dfrac{4}{3}$
$=8 + \dfrac{4}{3}$
$=\dfrac{28}{3}$
【答案】
$\dfrac{28}{3}$
【知识点】
积的乘方的逆用、有理数的混合运算
【点评】
本题是幂的运算的典型简便计算题，核心技巧是通过拆分高次幂，凑出底数互为倒数（或乘积为±1）的同指数幂，逆用积的乘方公式大幅简化计算，避免直接计算高次幂的复杂运算。
【难度系数】
0.7
本题考查幂的运算的简便计算，解题思路如下：1. 观察两个乘方乘积项的底数特征：0.125与-8相乘得-1，$\frac{3}{4}$与$1\frac{1}{3}$（即$\frac{4}{3}$）相乘得1，适合用积的乘方的逆运算简化计算；2. 把指数较高的幂拆成与另一项同指数的幂乘剩余底数的形式：将$(-8)^{10}$拆为$(-8)^9×(-8)$，将$(1\frac{1}{3})^{12}$拆为$(\frac{4}{3})^{11}×\frac{4}{3}$；3. 逆用积的乘方公式$a^n·b^n=(ab)^n$分别计算两部分，再求和即可。
【解析】
原式$=0.125^9 × (-8)^9 × (-8) + (\dfrac{3}{4})^{11} × (\dfrac{4}{3})^{11} × \dfrac{4}{3}$
$=[0.125 × (-8)]^9 × (-8) + (\dfrac{3}{4} × \dfrac{4}{3})^{11} × \dfrac{4}{3}$
$=(-1)^9 × (-8) + 1^{11} × \dfrac{4}{3}$
$=(-1) × (-8) + 1 × \dfrac{4}{3}$
$=8 + \dfrac{4}{3}$
$=\dfrac{28}{3}$
【答案】
$\dfrac{28}{3}$
【知识点】
积的乘方的逆用、有理数的混合运算
【点评】
本题是幂的运算的典型简便计算题，核心技巧是通过拆分高次幂，凑出底数互为倒数（或乘积为±1）的同指数幂，逆用积的乘方公式大幅简化计算，避免直接计算高次幂的复杂运算。
【难度系数】
0.7
13. 已知$[(\dfrac{1}{2})^{x+2y}]^2=\dfrac{1}{1024}$，$(\dfrac{1}{2})^{2x}=\dfrac{1}{16}$，求$(\dfrac{1}{2})^{4y}$的值。
答案
解：
由幂的乘方法则可得：
$[(\dfrac{1}{2})^{x+2y}]^2 = (\dfrac{1}{2})^{2(x+2y)} = (\dfrac{1}{2})^{2x+4y}$
由已知得$(\dfrac{1}{2})^{2x+4y}=\dfrac{1}{1024}$，又$\dfrac{1}{1024}=(\dfrac{1}{2})^{10}$，因此：
$(\dfrac{1}{2})^{2x+4y} = (\dfrac{1}{2})^{10}$
根据同底数幂的乘法法则，变形得：
$(\dfrac{1}{2})^{2x} · (\dfrac{1}{2})^{4y} = (\dfrac{1}{2})^{10}$
将$(\dfrac{1}{2})^{2x}=\dfrac{1}{16}$代入上式：
$\dfrac{1}{16} · (\dfrac{1}{2})^{4y} = \dfrac{1}{1024}$
计算得：
$(\dfrac{1}{2})^{4y} = \dfrac{1}{1024} ÷ \dfrac{1}{16} = \dfrac{1}{64}$
由幂的乘方法则可得：
$[(\dfrac{1}{2})^{x+2y}]^2 = (\dfrac{1}{2})^{2(x+2y)} = (\dfrac{1}{2})^{2x+4y}$
由已知得$(\dfrac{1}{2})^{2x+4y}=\dfrac{1}{1024}$，又$\dfrac{1}{1024}=(\dfrac{1}{2})^{10}$，因此：
$(\dfrac{1}{2})^{2x+4y} = (\dfrac{1}{2})^{10}$
根据同底数幂的乘法法则，变形得：
$(\dfrac{1}{2})^{2x} · (\dfrac{1}{2})^{4y} = (\dfrac{1}{2})^{10}$
将$(\dfrac{1}{2})^{2x}=\dfrac{1}{16}$代入上式：
$\dfrac{1}{16} · (\dfrac{1}{2})^{4y} = \dfrac{1}{1024}$
计算得：
$(\dfrac{1}{2})^{4y} = \dfrac{1}{1024} ÷ \dfrac{1}{16} = \dfrac{1}{64}$
解析
【分析】
解题时首先利用幂的乘方法则对第一个已知等式的左边进行化简，将其转化为底数为$\frac{1}{2}$、指数为$2x+4y$的幂；再把等式右边的$\frac{1}{1024}$转化为以$\frac{1}{2}$为底的幂，利用同底数幂的乘法法则，把$(\frac{1}{2})^{2x+4y}$拆成$(\frac{1}{2})^{2x} · (\frac{1}{2})^{4y}$的形式，最后将已知的$(\frac{1}{2})^{2x}$的值整体代入，即可求出$(\frac{1}{2})^{4y}$的值，不需要单独计算x、y的数值，简化运算。
【解析】
解：根据幂的乘方法则（底数不变，指数相乘）可得：
$[(\dfrac{1}{2})^{x+2y}]^2 = (\dfrac{1}{2})^{2(x+2y)} = (\dfrac{1}{2})^{2x+4y}$
结合已知条件得$(\dfrac{1}{2})^{2x+4y}=\dfrac{1}{1024}$，又$\dfrac{1}{1024}=(\dfrac{1}{2})^{10}$，因此：
$(\dfrac{1}{2})^{2x+4y} = (\dfrac{1}{2})^{10}$
根据同底数幂的乘法法则（同底数幂相乘，底数不变，指数相加），将左边变形得：
$(\dfrac{1}{2})^{2x} · (\dfrac{1}{2})^{4y} = (\dfrac{1}{2})^{10}$
将已知$(\dfrac{1}{2})^{2x}=\dfrac{1}{16}$代入上式：
$\dfrac{1}{16} · (\dfrac{1}{2})^{4y} = \dfrac{1}{1024}$
计算得：
$(\dfrac{1}{2})^{4y} = \dfrac{1}{1024} ÷ \dfrac{1}{16} = \dfrac{1}{64}$
【答案】
$\dfrac{1}{64}$
【知识点】
幂的乘方运算；同底数幂的乘法；有理数乘方化简
【点评】
本题侧重考查幂的运算法则的灵活应用，解题的关键是熟练掌握幂的相关运算公式，学会通过整体代换的方法建立已知条件和所求代数式之间的联系，避免单独求解未知数，降低运算量。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用幂的乘方法则对第一个已知等式的左边进行化简，将其转化为底数为$\frac{1}{2}$、指数为$2x+4y$的幂；再把等式右边的$\frac{1}{1024}$转化为以$\frac{1}{2}$为底的幂，利用同底数幂的乘法法则，把$(\frac{1}{2})^{2x+4y}$拆成$(\frac{1}{2})^{2x} · (\frac{1}{2})^{4y}$的形式，最后将已知的$(\frac{1}{2})^{2x}$的值整体代入，即可求出$(\frac{1}{2})^{4y}$的值，不需要单独计算x、y的数值，简化运算。
【解析】
解：根据幂的乘方法则（底数不变，指数相乘）可得：
$[(\dfrac{1}{2})^{x+2y}]^2 = (\dfrac{1}{2})^{2(x+2y)} = (\dfrac{1}{2})^{2x+4y}$
结合已知条件得$(\dfrac{1}{2})^{2x+4y}=\dfrac{1}{1024}$，又$\dfrac{1}{1024}=(\dfrac{1}{2})^{10}$，因此：
$(\dfrac{1}{2})^{2x+4y} = (\dfrac{1}{2})^{10}$
根据同底数幂的乘法法则（同底数幂相乘，底数不变，指数相加），将左边变形得：
$(\dfrac{1}{2})^{2x} · (\dfrac{1}{2})^{4y} = (\dfrac{1}{2})^{10}$
将已知$(\dfrac{1}{2})^{2x}=\dfrac{1}{16}$代入上式：
$\dfrac{1}{16} · (\dfrac{1}{2})^{4y} = \dfrac{1}{1024}$
计算得：
$(\dfrac{1}{2})^{4y} = \dfrac{1}{1024} ÷ \dfrac{1}{16} = \dfrac{1}{64}$
【答案】
$\dfrac{1}{64}$
【知识点】
幂的乘方运算；同底数幂的乘法；有理数乘方化简
【点评】
本题侧重考查幂的运算法则的灵活应用，解题的关键是熟练掌握幂的相关运算公式，学会通过整体代换的方法建立已知条件和所求代数式之间的联系，避免单独求解未知数，降低运算量。
【难度系数】
0.7
14.化简,再求值:$a^3(-b^3)^2 + (-\frac{1}{2}ab^2)^3$，其中$a=\frac{1}{4},b=4.$
答案
解：
先化简原式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=a^3· (b^3)^2 + (-\frac{1}{2})^3· a^3· (b^2)^3\\&=a^3b^6 - \frac{1}{8}a^3b^6\\&=\frac{7}{8}a^3b^6\end{aligned}$
将$a=\frac{1}{4}$，$b=4$代入：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{7}{8}× (\frac{1}{4})^3 × 4^6\\&=\frac{7}{8}× (\frac{1}{4})^3 × 4^3 × 4^3\\&=\frac{7}{8}× (\frac{1}{4}× 4)^3 × 64\\&=\frac{7}{8}× 64\\&=56\end{aligned}$
最终结果为$\boldsymbol{56}$。
先化简原式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=a^3· (b^3)^2 + (-\frac{1}{2})^3· a^3· (b^2)^3\\&=a^3b^6 - \frac{1}{8}a^3b^6\\&=\frac{7}{8}a^3b^6\end{aligned}$
将$a=\frac{1}{4}$，$b=4$代入：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{7}{8}× (\frac{1}{4})^3 × 4^6\\&=\frac{7}{8}× (\frac{1}{4})^3 × 4^3 × 4^3\\&=\frac{7}{8}× (\frac{1}{4}× 4)^3 × 64\\&=\frac{7}{8}× 64\\&=56\end{aligned}$
最终结果为$\boldsymbol{56}$。
解析
【分析】
本题属于整式化简求值类题目，解题思路分为两步：第一步先化简整式，首先运用积的乘方、幂的乘方的运算法则分别计算原式中的两个项，再合并同类项得到最简整式；第二步代入数值计算，代入时可利用积的乘方的逆运算简化计算过程，降低运算量和出错概率。
【解析】
先化简原式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=a^3· (b^3)^2 + (-\frac{1}{2})^3· a^3· (b^2)^3\\&=a^3b^6 - \frac{1}{8}a^3b^6\\&=\frac{7}{8}a^3b^6\end{aligned}$
将$a=\frac{1}{4}$，$b=4$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{7}{8}× (\frac{1}{4})^3 × 4^6\\&=\frac{7}{8}× (\frac{1}{4})^3 × 4^3 × 4^3\\&=\frac{7}{8}× (\frac{1}{4}× 4)^3 × 64\\&=\frac{7}{8}× 64\\&=56\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{56}$
【知识点】
幂的乘方运算，积的乘方运算，整式化简求值
【点评】
本题重点考查幂的相关运算性质的应用，化简过程中要注意负号的处理和指数的运算规则，代入求值时灵活运用运算性质的逆运算，可大幅简化计算，避免不必要的计算错误。
【难度系数】
0.7
本题属于整式化简求值类题目，解题思路分为两步：第一步先化简整式，首先运用积的乘方、幂的乘方的运算法则分别计算原式中的两个项，再合并同类项得到最简整式；第二步代入数值计算，代入时可利用积的乘方的逆运算简化计算过程，降低运算量和出错概率。
【解析】
先化简原式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=a^3· (b^3)^2 + (-\frac{1}{2})^3· a^3· (b^2)^3\\&=a^3b^6 - \frac{1}{8}a^3b^6\\&=\frac{7}{8}a^3b^6\end{aligned}$
将$a=\frac{1}{4}$，$b=4$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{7}{8}× (\frac{1}{4})^3 × 4^6\\&=\frac{7}{8}× (\frac{1}{4})^3 × 4^3 × 4^3\\&=\frac{7}{8}× (\frac{1}{4}× 4)^3 × 64\\&=\frac{7}{8}× 64\\&=56\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{56}$
【知识点】
幂的乘方运算，积的乘方运算，整式化简求值
【点评】
本题重点考查幂的相关运算性质的应用，化简过程中要注意负号的处理和指数的运算规则，代入求值时灵活运用运算性质的逆运算，可大幅简化计算，避免不必要的计算错误。
【难度系数】
0.7
15.若$(x+y)^m · (y+x)^n=(x+y)^5$，且$(x-y)^{m+5} · (x-y)^{5-n}=(x-y)^9$，求$m^n · n^n$的值.
答案
解：
由同底数幂的乘法法则，得
$(x+y)^m · (x+y)^n = (x+y)^{m+n} = (x+y)^5$
因此 $m + n = 5$
同理，$(x-y)^{m+5} · (x-y)^{5-n} = (x-y)^{(m+5)+(5-n)} = (x-y)^9$
因此 $m + 5 + 5 - n = 9$，整理得 $m - n = -1$
联立方程组：
$\begin{cases} m + n = 5 \\ m - n = -1 \end{cases}$
解得：$\begin{cases} m = 2 \\ n = 3 \end{cases}$
则 $m^n · n^n = 2^3 · 3^3 = (2 × 3)^3 = 6^3 = 216$
由同底数幂的乘法法则，得
$(x+y)^m · (x+y)^n = (x+y)^{m+n} = (x+y)^5$
因此 $m + n = 5$
同理，$(x-y)^{m+5} · (x-y)^{5-n} = (x-y)^{(m+5)+(5-n)} = (x-y)^9$
因此 $m + 5 + 5 - n = 9$，整理得 $m - n = -1$
联立方程组：
$\begin{cases} m + n = 5 \\ m - n = -1 \end{cases}$
解得：$\begin{cases} m = 2 \\ n = 3 \end{cases}$
则 $m^n · n^n = 2^3 · 3^3 = (2 × 3)^3 = 6^3 = 216$
解析
【分析】
解题时首先回忆同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。观察题目中的两个等式，均为同底数幂相乘的形式，先对两个等式分别应用同底数幂的乘法法则，得到关于m、n的两个等量关系，联立得到二元一次方程组，求解得到m、n的值，最后代入所求代数式，可逆用积的乘方的运算法则简化计算得到结果。
【解析】
由同底数幂的乘法法则，得
$(x+y)^m · (y+x)^n = (x+y)^m · (x+y)^n = (x+y)^{m+n} = (x+y)^5$
因此 $m + n = 5$
同理，$(x-y)^{m+5} · (x-y)^{5-n} = (x-y)^{(m+5)+(5-n)} = (x-y)^9$
因此 $m + 5 + 5 - n = 9$，整理得 $m - n = -1$
联立方程组：
$\begin{cases} m + n = 5 \\ m - n = -1 \end{cases}$
解得：$\begin{cases} m = 2 \\ n = 3 \end{cases}$
则 $m^n · n^n = 2^3 · 3^3 = (2 × 3)^3 = 6^3 = 216$
【答案】
216
【知识点】
同底数幂的乘法；解二元一次方程组；积的乘方逆用
【点评】
本题是幂的运算与二元一次方程组的综合基础题，解题的核心是熟练运用同底数幂的乘法法则列出关于m、n的方程，计算时代数式求值逆用积的乘方可有效简化计算步骤，降低出错率。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。观察题目中的两个等式，均为同底数幂相乘的形式，先对两个等式分别应用同底数幂的乘法法则，得到关于m、n的两个等量关系，联立得到二元一次方程组，求解得到m、n的值，最后代入所求代数式，可逆用积的乘方的运算法则简化计算得到结果。
【解析】
由同底数幂的乘法法则，得
$(x+y)^m · (y+x)^n = (x+y)^m · (x+y)^n = (x+y)^{m+n} = (x+y)^5$
因此 $m + n = 5$
同理，$(x-y)^{m+5} · (x-y)^{5-n} = (x-y)^{(m+5)+(5-n)} = (x-y)^9$
因此 $m + 5 + 5 - n = 9$，整理得 $m - n = -1$
联立方程组：
$\begin{cases} m + n = 5 \\ m - n = -1 \end{cases}$
解得：$\begin{cases} m = 2 \\ n = 3 \end{cases}$
则 $m^n · n^n = 2^3 · 3^3 = (2 × 3)^3 = 6^3 = 216$
【答案】
216
【知识点】
同底数幂的乘法；解二元一次方程组；积的乘方逆用
【点评】
本题是幂的运算与二元一次方程组的综合基础题，解题的核心是熟练运用同底数幂的乘法法则列出关于m、n的方程，计算时代数式求值逆用积的乘方可有效简化计算步骤，降低出错率。
【难度系数】
0.7
16.若$3^{2n-1}+9^n=108$，求$(2n-2)^n$的值.
答案
解：
$\because 9^n=(3^2)^n=3^{2n}$
$\therefore 3^{2n-1}+9^n=\frac{1}{3}×3^{2n}+3^{2n}=108$
合并同类项得：$\frac{4}{3}×3^{2n}=108$
$\therefore 3^{2n}=108×\frac{3}{4}=81=3^4$
$\therefore 2n=4$，解得$n=2$
将$n=2$代入$(2n-2)^n$：
$(2×2-2)^2=2^2=4$
最终结果为4。
$\because 9^n=(3^2)^n=3^{2n}$
$\therefore 3^{2n-1}+9^n=\frac{1}{3}×3^{2n}+3^{2n}=108$
合并同类项得：$\frac{4}{3}×3^{2n}=108$
$\therefore 3^{2n}=108×\frac{3}{4}=81=3^4$
$\therefore 2n=4$，解得$n=2$
将$n=2$代入$(2n-2)^n$：
$(2×2-2)^2=2^2=4$
最终结果为4。
解析
【分析】
解题时首先观察到等式左边两项的底数分别是3和9，而9是3的平方，因此可以利用幂的乘方法则将$9^n$转化为底数为3的幂，实现底数统一；再根据同底数幂的运算性质把$3^{2n-1}$转化为含$3^{2n}$的形式，此时等式左边可合并为同类项，合并后求出$3^{2n}$的值，进而求出n的取值，最后代入目标代数式计算即可。
【解析】
$\because 9^n=(3^2)^n=3^{2n}$
$\therefore 3^{2n-1}+9^n=\frac{1}{3}×3^{2n}+3^{2n}=108$
合并同类项得：$\frac{4}{3}×3^{2n}=108$
$\therefore 3^{2n}=108×\frac{3}{4}=81=3^4$
$\therefore 2n=4$，解得$n=2$
将$n=2$代入$(2n-2)^n$：
$(2×2-2)^2=2^2=4$
【答案】
4
【知识点】
幂的乘方、同底数幂运算、代数式求值
【点评】
本题核心是运用“统一底数”的思想处理不同底数的幂的运算，解题关键是熟练掌握幂的相关运算法则，将等式转化为可求解的形式，是幂的运算章节的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察到等式左边两项的底数分别是3和9，而9是3的平方，因此可以利用幂的乘方法则将$9^n$转化为底数为3的幂，实现底数统一；再根据同底数幂的运算性质把$3^{2n-1}$转化为含$3^{2n}$的形式，此时等式左边可合并为同类项，合并后求出$3^{2n}$的值，进而求出n的取值，最后代入目标代数式计算即可。
【解析】
$\because 9^n=(3^2)^n=3^{2n}$
$\therefore 3^{2n-1}+9^n=\frac{1}{3}×3^{2n}+3^{2n}=108$
合并同类项得：$\frac{4}{3}×3^{2n}=108$
$\therefore 3^{2n}=108×\frac{3}{4}=81=3^4$
$\therefore 2n=4$，解得$n=2$
将$n=2$代入$(2n-2)^n$：
$(2×2-2)^2=2^2=4$
【答案】
4
【知识点】
幂的乘方、同底数幂运算、代数式求值
【点评】
本题核心是运用“统一底数”的思想处理不同底数的幂的运算，解题关键是熟练掌握幂的相关运算法则，将等式转化为可求解的形式，是幂的运算章节的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
17.已知关于$x,y$的方程组$\begin{cases}x - y = 4k - 6, \\x + 2y = -5k\end{cases}$的解为$x,y$.
(1)$x=$,$y=$;(用含$k$的式子表示)
(2)若$x,y$互为相反数,求$k$的值;
(3)若$2^y × 3^y × 6^{3x}=36^m$,求$m$的值.
(1)$x=$,$y=$;(用含$k$的式子表示)
(2)若$x,y$互为相反数,求$k$的值;
(3)若$2^y × 3^y × 6^{3x}=36^m$,求$m$的值.
答案
解：
(1) 解方程组$\begin{cases}x - y = 4k - 6 ①\\x + 2y = -5k ②\end{cases}$
②$-$①，得$3y=-9k+6$，解得$y=-3k+2$
把$y=-3k+2$代入①，得$x-(-3k+2)=4k-6$，解得$x=k-4$
$x=\boldsymbol{k-4}$，$y=\boldsymbol{-3k+2}$；
(2) 因为$x,y$互为相反数，所以$x+y=0$
将$x=k-4$，$y=-3k+2$代入得：
$(k-4)+(-3k+2)=0$
$-2k-2=0$
解得$k=-1$；
(3) 对等式变形：
左边：$2^y × 3^y × 6^{3x}=(2×3)^y × 6^{3x}=6^y × 6^{3x}=6^{3x+y}$
右边：$36^m=(6^2)^m=6^{2m}$
因此$6^{3x+y}=6^{2m}$，可得$3x+y=2m$
将$x=k-4$，$y=-3k+2$代入得：
$3x+y=3(k-4)+(-3k+2)=3k-12-3k+2=-10$
即$2m=-10$，解得$m=-5$。
(1) 解方程组$\begin{cases}x - y = 4k - 6 ①\\x + 2y = -5k ②\end{cases}$
②$-$①，得$3y=-9k+6$，解得$y=-3k+2$
把$y=-3k+2$代入①，得$x-(-3k+2)=4k-6$，解得$x=k-4$
$x=\boldsymbol{k-4}$，$y=\boldsymbol{-3k+2}$；
(2) 因为$x,y$互为相反数，所以$x+y=0$
将$x=k-4$，$y=-3k+2$代入得：
$(k-4)+(-3k+2)=0$
$-2k-2=0$
解得$k=-1$；
(3) 对等式变形：
左边：$2^y × 3^y × 6^{3x}=(2×3)^y × 6^{3x}=6^y × 6^{3x}=6^{3x+y}$
右边：$36^m=(6^2)^m=6^{2m}$
因此$6^{3x+y}=6^{2m}$，可得$3x+y=2m$
将$x=k-4$，$y=-3k+2$代入得：
$3x+y=3(k-4)+(-3k+2)=3k-12-3k+2=-10$
即$2m=-10$，解得$m=-5$。
解析
【分析】
(1) 本题是解含参数k的二元一次方程组，观察方程组中两个方程x的系数均为1，可采用加减消元法，用第二个方程减去第一个方程消去x，先求出y的表达式，再将y代入第一个方程即可求出x的表达式。
(2) 利用相反数的性质：互为相反数的两个数之和为0，可得x+y=0，将(1)中得到的x、y的表达式代入该等式，解关于k的一元一次方程即可得到k的值。
(3) 先利用幂的运算性质对等式左右两边变形：左边逆用积的乘方将$2^y×3^y$化为$6^y$，再结合同底数幂的乘法法则合并为$6^{3x+y}$；右边将36转化为$6^2$，利用幂的乘方法则化为$6^{2m}$。根据同底数幂相等时指数相等，可得$3x+y=2m$，将x、y的表达式代入$3x+y$，可消去参数k得到常数，进而求出m的值。
【解析】
(1) 解方程组$\begin{cases}x - y = 4k - 6 ①\\x + 2y = -5k ②\end{cases}$
②$-$①，得$3y=-9k+6$，解得$y=-3k+2$
把$y=-3k+2$代入①，得$x-(-3k+2)=4k-6$，解得$x=k-4$
(2) 因为$x,y$互为相反数，所以$x+y=0$
将$x=k-4$，$y=-3k+2$代入得：
$(k-4)+(-3k+2)=0$
$-2k-2=0$
解得$k=-1$
(3) 对等式变形：
左边：$2^y × 3^y × 6^{3x}=(2×3)^y × 6^{3x}=6^y × 6^{3x}=6^{3x+y}$
右边：$36^m=(6^2)^m=6^{2m}$
因此$6^{3x+y}=6^{2m}$，可得$3x+y=2m$
将$x=k-4$，$y=-3k+2$代入得：
$3x+y=3(k-4)+(-3k+2)=3k-12-3k+2=-10$
即$2m=-10$，解得$m=-5$
【答案】
(1) $k-4$，$-3k+2$；(2) $k=-1$；(3) $m=-5$
【知识点】
1. 二元一次方程组的解法
2. 相反数的性质
3. 幂的乘方与积的乘方
【点评】
本题是综合类基础题，结合了方程与幂运算的相关知识，前两问难度较低，第三问的核心是将等式两边转化为同底数幂，利用指数相等建立等量关系，计算过程中参数k会自然抵消，无需单独求解，考查了对幂运算性质的灵活运用能力和整体代入的思想。
【难度系数】
0.7
(1) 本题是解含参数k的二元一次方程组，观察方程组中两个方程x的系数均为1，可采用加减消元法，用第二个方程减去第一个方程消去x，先求出y的表达式，再将y代入第一个方程即可求出x的表达式。
(2) 利用相反数的性质：互为相反数的两个数之和为0，可得x+y=0，将(1)中得到的x、y的表达式代入该等式，解关于k的一元一次方程即可得到k的值。
(3) 先利用幂的运算性质对等式左右两边变形：左边逆用积的乘方将$2^y×3^y$化为$6^y$，再结合同底数幂的乘法法则合并为$6^{3x+y}$；右边将36转化为$6^2$，利用幂的乘方法则化为$6^{2m}$。根据同底数幂相等时指数相等，可得$3x+y=2m$，将x、y的表达式代入$3x+y$，可消去参数k得到常数，进而求出m的值。
【解析】
(1) 解方程组$\begin{cases}x - y = 4k - 6 ①\\x + 2y = -5k ②\end{cases}$
②$-$①，得$3y=-9k+6$，解得$y=-3k+2$
把$y=-3k+2$代入①，得$x-(-3k+2)=4k-6$，解得$x=k-4$
(2) 因为$x,y$互为相反数，所以$x+y=0$
将$x=k-4$，$y=-3k+2$代入得：
$(k-4)+(-3k+2)=0$
$-2k-2=0$
解得$k=-1$
(3) 对等式变形：
左边：$2^y × 3^y × 6^{3x}=(2×3)^y × 6^{3x}=6^y × 6^{3x}=6^{3x+y}$
右边：$36^m=(6^2)^m=6^{2m}$
因此$6^{3x+y}=6^{2m}$，可得$3x+y=2m$
将$x=k-4$，$y=-3k+2$代入得：
$3x+y=3(k-4)+(-3k+2)=3k-12-3k+2=-10$
即$2m=-10$，解得$m=-5$
【答案】
(1) $k-4$，$-3k+2$；(2) $k=-1$；(3) $m=-5$
【知识点】
1. 二元一次方程组的解法
2. 相反数的性质
3. 幂的乘方与积的乘方
【点评】
本题是综合类基础题，结合了方程与幂运算的相关知识，前两问难度较低，第三问的核心是将等式两边转化为同底数幂，利用指数相等建立等量关系，计算过程中参数k会自然抵消，无需单独求解，考查了对幂运算性质的灵活运用能力和整体代入的思想。
【难度系数】
0.7
