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例1 计算：
(1)$3ab^2 · (-\dfrac{1}{3}a^2b) · 2abc$；
(2)$(-2x^{n-1}y^n) · (-3xy) · (-\dfrac{1}{2}x^2z)$；
(3)$-6m^2n · (x-y)^3 · \dfrac{1}{3}mn^2 · (y-x)^2$。
【思路导析】单项式乘法运算的基本步骤：
一、确定积的符号；
二、把它们的系数、同底数幂分别相乘作为积的因式。
【请你解答】
(1)$3ab^2 · (-\dfrac{1}{3}a^2b) · 2abc$；
(2)$(-2x^{n-1}y^n) · (-3xy) · (-\dfrac{1}{2}x^2z)$；
(3)$-6m^2n · (x-y)^3 · \dfrac{1}{3}mn^2 · (y-x)^2$。
【思路导析】单项式乘法运算的基本步骤：
一、确定积的符号；
二、把它们的系数、同底数幂分别相乘作为积的因式。
【请你解答】
答案
解：
(1) 原式$=[3×(-\dfrac{1}{3})×2] · a^{1+2+1} · b^{2+1+1} · c$
$=-2a^4b^4c$
(2) 原式$=[(-2)×(-3)×(-\dfrac{1}{2})] · x^{n-1+1+2} · y^{n+1} · z$
$=-3x^{n+2}y^{n+1}z$
(3) 原式$=(-6×\dfrac{1}{3}) · m^{2+1} · n^{1+2} · (x-y)^3 · (x-y)^2$
$=-2m^3n^3(x-y)^5$
(1) 原式$=[3×(-\dfrac{1}{3})×2] · a^{1+2+1} · b^{2+1+1} · c$
$=-2a^4b^4c$
(2) 原式$=[(-2)×(-3)×(-\dfrac{1}{2})] · x^{n-1+1+2} · y^{n+1} · z$
$=-3x^{n+2}y^{n+1}z$
(3) 原式$=(-6×\dfrac{1}{3}) · m^{2+1} · n^{1+2} · (x-y)^3 · (x-y)^2$
$=-2m^3n^3(x-y)^5$
解析
【分析】
本题考查单项式的乘法运算，解题思路如下：1. 先确定积的符号：负因数的个数为奇数时积为负，偶数时积为正；2. 计算所有系数的乘积，作为积的系数；3. 同底数幂分别相乘，遵循底数不变、指数相加的规则；4. 仅在一个单项式中出现的字母，连同它的指数一起作为积的因式；5. 遇到$(x-y)$和$(y-x)$这类互为相反数的底数，可利用偶次幂的性质转化为同底数幂后再计算。
【解析】
(1) 先判断符号：含1个负因数，积为负，再计算系数乘积：$3×(-\dfrac{1}{3})×2=-2$，同底数幂计算：$a$的指数为$1+2+1=4$，$b$的指数为$2+1+1=4$，单独字母$c$照抄，因此：
原式$=[3×(-\dfrac{1}{3})×2] · a^{1+2+1} · b^{2+1+1} · c=-2a^4b^4c$
(2) 先判断符号：含3个负因数，积为负，再计算系数乘积：$(-2)×(-3)×(-\dfrac{1}{2})=-3$，同底数幂计算：$x$的指数为$(n-1)+1+2=n+2$，$y$的指数为$n+1$，单独字母$z$照抄，因此：
原式$=[(-2)×(-3)×(-\dfrac{1}{2})] · x^{n-1+1+2} · y^{n+1} · z=-3x^{n+2}y^{n+1}z$
(3) 先利用偶次幂性质变形：$(y-x)^2=(x-y)^2$，统一底数为$(x-y)$；再判断符号：含1个负因数，积为负，计算系数乘积：$-6×\dfrac{1}{3}=-2$，同底数幂计算：$m$的指数为$2+1=3$，$n$的指数为$1+2=3$，$(x-y)$的指数为$3+2=5$，因此：
原式$=(-6×\dfrac{1}{3}) · m^{2+1} · n^{1+2} · (x-y)^3 · (x-y)^2=-2m^3n^3(x-y)^5$
【答案】
(1) $-2a^4b^4c$；(2) $-3x^{n+2}y^{n+1}z$；(3) $-2m^3n^3(x-y)^5$
【知识点】
单项式乘单项式，同底数幂的乘法，偶次幂的性质
【点评】
本题是整式乘法的基础运算题，核心是熟练掌握单项式乘法的运算步骤，运算时优先判断符号可有效降低符号错误率，遇到互为相反数的多项式底数时，可利用幂的性质统一底数后再运算，注意区分指数相加和系数相乘的规则，避免混淆出错。
【难度系数】
0.8
本题考查单项式的乘法运算，解题思路如下：1. 先确定积的符号：负因数的个数为奇数时积为负，偶数时积为正；2. 计算所有系数的乘积，作为积的系数；3. 同底数幂分别相乘，遵循底数不变、指数相加的规则；4. 仅在一个单项式中出现的字母，连同它的指数一起作为积的因式；5. 遇到$(x-y)$和$(y-x)$这类互为相反数的底数，可利用偶次幂的性质转化为同底数幂后再计算。
【解析】
(1) 先判断符号：含1个负因数，积为负，再计算系数乘积：$3×(-\dfrac{1}{3})×2=-2$，同底数幂计算：$a$的指数为$1+2+1=4$，$b$的指数为$2+1+1=4$，单独字母$c$照抄，因此：
原式$=[3×(-\dfrac{1}{3})×2] · a^{1+2+1} · b^{2+1+1} · c=-2a^4b^4c$
(2) 先判断符号：含3个负因数，积为负，再计算系数乘积：$(-2)×(-3)×(-\dfrac{1}{2})=-3$，同底数幂计算：$x$的指数为$(n-1)+1+2=n+2$，$y$的指数为$n+1$，单独字母$z$照抄，因此：
原式$=[(-2)×(-3)×(-\dfrac{1}{2})] · x^{n-1+1+2} · y^{n+1} · z=-3x^{n+2}y^{n+1}z$
(3) 先利用偶次幂性质变形：$(y-x)^2=(x-y)^2$，统一底数为$(x-y)$；再判断符号：含1个负因数，积为负，计算系数乘积：$-6×\dfrac{1}{3}=-2$，同底数幂计算：$m$的指数为$2+1=3$，$n$的指数为$1+2=3$，$(x-y)$的指数为$3+2=5$，因此：
原式$=(-6×\dfrac{1}{3}) · m^{2+1} · n^{1+2} · (x-y)^3 · (x-y)^2=-2m^3n^3(x-y)^5$
【答案】
(1) $-2a^4b^4c$；(2) $-3x^{n+2}y^{n+1}z$；(3) $-2m^3n^3(x-y)^5$
【知识点】
单项式乘单项式，同底数幂的乘法，偶次幂的性质
【点评】
本题是整式乘法的基础运算题，核心是熟练掌握单项式乘法的运算步骤，运算时优先判断符号可有效降低符号错误率，遇到互为相反数的多项式底数时，可利用幂的性质统一底数后再运算，注意区分指数相加和系数相乘的规则，避免混淆出错。
【难度系数】
0.8
例2 计算:
(1)$(0.3x^3y^4)^2 · (-0.2x^4y^3)^2$；
(2)$5a^3b · (-3b)^2 + (-6ab)^2 · (-ab) - ab^3 · (-4a)^2$；
(3)$-4(-a^2bc)^2 · 3a · (bc)^3 - (-abc)^3 · (-abc)^2$.
【思路导析】本例三个小题是混合运算,要注意运算顺序,应先算乘方,再算乘法,最后算加减.
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
典例探究 单项式乘法的实际应用
(1)$(0.3x^3y^4)^2 · (-0.2x^4y^3)^2$；
(2)$5a^3b · (-3b)^2 + (-6ab)^2 · (-ab) - ab^3 · (-4a)^2$；
(3)$-4(-a^2bc)^2 · 3a · (bc)^3 - (-abc)^3 · (-abc)^2$.
【思路导析】本例三个小题是混合运算,要注意运算顺序,应先算乘方,再算乘法,最后算加减.
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
典例探究 单项式乘法的实际应用
答案
解：
(1) 原式$=0.09x^6y^8 · 0.04x^8y^6$
$=(0.09×0.04)x^{6+8}y^{8+6}$
$=0.0036x^{14}y^{14}$
(2) 原式$=5a^3b · 9b^2 + 36a^2b^2 · (-ab) - ab^3 · 16a^2$
$=45a^3b^3 - 36a^3b^3 - 16a^3b^3$
$=-7a^3b^3$
(3) 原式$=-4 · a^4b^2c^2 · 3a · b^3c^3 - (-abc)^5$
$=-12a^5b^5c^5 - (-a^5b^5c^5)$
$=-12a^5b^5c^5 + a^5b^5c^5$
$=-11a^5b^5c^5$
(1) 原式$=0.09x^6y^8 · 0.04x^8y^6$
$=(0.09×0.04)x^{6+8}y^{8+6}$
$=0.0036x^{14}y^{14}$
(2) 原式$=5a^3b · 9b^2 + 36a^2b^2 · (-ab) - ab^3 · 16a^2$
$=45a^3b^3 - 36a^3b^3 - 16a^3b^3$
$=-7a^3b^3$
(3) 原式$=-4 · a^4b^2c^2 · 3a · b^3c^3 - (-abc)^5$
$=-12a^5b^5c^5 - (-a^5b^5c^5)$
$=-12a^5b^5c^5 + a^5b^5c^5$
$=-11a^5b^5c^5$
解析
【分析】
这三道题属于整式的混合运算，解题时严格遵循运算顺序：①先算乘方：运用积的乘方法则（每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘）、幂的乘方法则（底数不变，指数相乘）计算所有乘方项，注意符号的处理，负数的偶次幂为正，奇次幂为负；②再算乘法：按照单项式乘单项式的法则，系数相乘作为新的系数，同底数幂分别相乘（底数不变，指数相加），只在一个单项式里含有的字母连同它的指数作为积的一个因式；③最后算加减：如果有同类项就合并同类项，合并时只把系数相加减，字母和字母的指数不变。计算时注意区分幂的几种运算法则，避免指数运算混淆，同时注意符号不要出错。
【解析】
(1) 原式$=0.09x^6y^8 · 0.04x^8y^6$
$=(0.09×0.04)x^{6+8}y^{8+6}$
$=0.0036x^{14}y^{14}$
(2) 原式$=5a^3b · 9b^2 + 36a^2b^2 · (-ab) - ab^3 · 16a^2$
$=45a^3b^3 - 36a^3b^3 - 16a^3b^3$
$=-7a^3b^3$
(3) 原式$=-4 · a^4b^2c^2 · 3a · b^3c^3 - (-abc)^5$
$=-12a^5b^5c^5 - (-a^5b^5c^5)$
$=-12a^5b^5c^5 + a^5b^5c^5$
$=-11a^5b^5c^5$
【答案】
(1) $\boxed{0.0036x^{14}y^{14}}$；(2) $\boxed{-7a^3b^3}$；(3) $\boxed{-11a^5b^5c^5}$
【知识点】
积的乘方运算，单项式乘单项式，合并同类项
【点评】
本题是整式乘法的基础运算题，重点考查运算顺序和幂的相关运算法则的应用，解题的易错点在于符号判断和指数运算混淆，熟练掌握各类运算法则、计算时细心即可正确求解。
【难度系数】
0.7
这三道题属于整式的混合运算，解题时严格遵循运算顺序：①先算乘方：运用积的乘方法则（每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘）、幂的乘方法则（底数不变，指数相乘）计算所有乘方项，注意符号的处理，负数的偶次幂为正，奇次幂为负；②再算乘法：按照单项式乘单项式的法则，系数相乘作为新的系数，同底数幂分别相乘（底数不变，指数相加），只在一个单项式里含有的字母连同它的指数作为积的一个因式；③最后算加减：如果有同类项就合并同类项，合并时只把系数相加减，字母和字母的指数不变。计算时注意区分幂的几种运算法则，避免指数运算混淆，同时注意符号不要出错。
【解析】
(1) 原式$=0.09x^6y^8 · 0.04x^8y^6$
$=(0.09×0.04)x^{6+8}y^{8+6}$
$=0.0036x^{14}y^{14}$
(2) 原式$=5a^3b · 9b^2 + 36a^2b^2 · (-ab) - ab^3 · 16a^2$
$=45a^3b^3 - 36a^3b^3 - 16a^3b^3$
$=-7a^3b^3$
(3) 原式$=-4 · a^4b^2c^2 · 3a · b^3c^3 - (-abc)^5$
$=-12a^5b^5c^5 - (-a^5b^5c^5)$
$=-12a^5b^5c^5 + a^5b^5c^5$
$=-11a^5b^5c^5$
【答案】
(1) $\boxed{0.0036x^{14}y^{14}}$；(2) $\boxed{-7a^3b^3}$；(3) $\boxed{-11a^5b^5c^5}$
【知识点】
积的乘方运算，单项式乘单项式，合并同类项
【点评】
本题是整式乘法的基础运算题，重点考查运算顺序和幂的相关运算法则的应用，解题的易错点在于符号判断和指数运算混淆，熟练掌握各类运算法则、计算时细心即可正确求解。
【难度系数】
0.7
例3 纳米是一种长度单位，1米等于$10^9$纳米，试计算长为5米、宽为4米、高为3米的长方体的体积是多少立方纳米.
【思路导析】长方体体积=长×宽×高.
【示范解答】5米=$5×10^9$纳米，4米=$4×10^9$纳米，3米=$3×10^9$纳米.
$V=(5×10^9)×(4×10^9)×(3×10^9)$
$=(5×4×3)×(10^9×10^9×10^9)$
$=60×10^{27}$
$=6×10^{28}$（立方纳米）.
故长为5米、宽为4米、高为3米的长方体的体积是$6×10^{28}$立方纳米.
【思路导析】长方体体积=长×宽×高.
【示范解答】5米=$5×10^9$纳米，4米=$4×10^9$纳米，3米=$3×10^9$纳米.
$V=(5×10^9)×(4×10^9)×(3×10^9)$
$=(5×4×3)×(10^9×10^9×10^9)$
$=60×10^{27}$
$=6×10^{28}$（立方纳米）.
故长为5米、宽为4米、高为3米的长方体的体积是$6×10^{28}$立方纳米.
答案
解：
5米=$5×10^9$纳米，4米=$4×10^9$纳米，3米=$3×10^9$纳米。
长方体体积$V=(5×10^9)×(4×10^9)×(3×10^9)$
$=(5×4×3)×(10^9×10^9×10^9)$
$=60×10^{27}$
$=6×10^{28}$（立方纳米）
答：长为5米、宽为4米、高为3米的长方体的体积是$6×10^{28}$立方纳米。
5米=$5×10^9$纳米，4米=$4×10^9$纳米，3米=$3×10^9$纳米。
长方体体积$V=(5×10^9)×(4×10^9)×(3×10^9)$
$=(5×4×3)×(10^9×10^9×10^9)$
$=60×10^{27}$
$=6×10^{28}$（立方纳米）
答：长为5米、宽为4米、高为3米的长方体的体积是$6×10^{28}$立方纳米。
解析
【分析】
要计算以立方纳米为单位的长方体体积，首先明确解题步骤：第一步统一单位，利用1米=$10^9$纳米的换算关系，将长、宽、高的单位从米转换为纳米；第二步代入长方体体积公式（体积=长×宽×高）列式；第三步计算时利用乘法运算律将系数和同底数幂分别相乘，再依据同底数幂乘法法则计算幂的部分；最后将结果整理为规范的科学记数法形式（满足$1≤ a＜10$）即可。
【解析】
解：因为1米=$10^9$纳米，所以：
5米=$5×10^9$纳米，4米=$4×10^9$纳米，3米=$3×10^9$纳米。
根据长方体体积公式可得：
$V=(5×10^9)×(4×10^9)×(3×10^9)$
$=(5×4×3)×(10^9×10^9×10^9)$
$=60×10^{27}$
$=6×10^{28}$（立方纳米）
答：长为5米、宽为4米、高为3米的长方体的体积是$6×10^{28}$立方纳米。
【答案】
$6×10^{28}$立方纳米
【知识点】
同底数幂的乘法，科学记数法，长方体体积计算
【点评】
本题结合长度单位换算考查整式乘法的实际应用，解题关键是先统一单位，再按运算法则计算，最后要注意科学记数法的书写规范，避免出现系数大于等于10的不规范形式。
【难度系数】
0.8
要计算以立方纳米为单位的长方体体积，首先明确解题步骤：第一步统一单位，利用1米=$10^9$纳米的换算关系，将长、宽、高的单位从米转换为纳米；第二步代入长方体体积公式（体积=长×宽×高）列式；第三步计算时利用乘法运算律将系数和同底数幂分别相乘，再依据同底数幂乘法法则计算幂的部分；最后将结果整理为规范的科学记数法形式（满足$1≤ a＜10$）即可。
【解析】
解：因为1米=$10^9$纳米，所以：
5米=$5×10^9$纳米，4米=$4×10^9$纳米，3米=$3×10^9$纳米。
根据长方体体积公式可得：
$V=(5×10^9)×(4×10^9)×(3×10^9)$
$=(5×4×3)×(10^9×10^9×10^9)$
$=60×10^{27}$
$=6×10^{28}$（立方纳米）
答：长为5米、宽为4米、高为3米的长方体的体积是$6×10^{28}$立方纳米。
【答案】
$6×10^{28}$立方纳米
【知识点】
同底数幂的乘法，科学记数法，长方体体积计算
【点评】
本题结合长度单位换算考查整式乘法的实际应用，解题关键是先统一单位，再按运算法则计算，最后要注意科学记数法的书写规范，避免出现系数大于等于10的不规范形式。
【难度系数】
0.8
变式探究
(1)“三角”
表示$3xyz$，“方框”
表示$-4a^b d^c$，则
×
=.
(2)若$1+2+3+\dots +n=m$，则$(ab^n)·(a^2b^{n-1})\dots(a^{n-1}b^2)·(a^n b)=$.
(1)“三角”
表示$3xyz$，“方框”表示$-4a^b d^c$，则×=.(2)若$1+2+3+\dots +n=m$，则$(ab^n)·(a^2b^{n-1})\dots(a^{n-1}b^2)·(a^n b)=$.
答案
(1) $\boldsymbol{-36m^6n^3}$；(2) $\boldsymbol{a^mb^m(或(ab)^m)}$
解析
【分析】
第(1)题属于新定义运算类题目，解题时首先要准确理解题目给出的“三角”“方框”对应的代数式规则，分别写出两个图形表示的单项式，再按照单项式乘单项式的运算法则计算：系数相乘作为积的系数，相同字母的幂分别相乘（同底数幂相乘，底数不变，指数相加），最终得到运算结果。
第(2)题考查同底数幂的乘法运算，解题时先将原式中所有含a的因式、含b的因式分别合并，计算a的总指数和b的总指数，结合已知条件$1+2+3+\dots +n=m$，且倒序相加可知$n+(n-1)+\dots+1=m$，代入即可得到化简结果。
【解析】
(1) 根据题意的新定义：
“三角”表示$3xyz$，可得[插图3]对应的代数式为$3· 3m· m^2· n=9m^3n$；
“方框”表示$-4a^b d^c$，可得[插图4]对应的代数式为$-4m^3n^2$；
两式相乘：$9m^3n × (-4m^3n^2) = [9×(-4)] · (m^3· m^3) · (n· n^2) = -36m^6n^3$。
(2) 根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
对原式整理可得：
$(ab^n)·(a^2b^{n-1})\dots(a^{n-1}b^2)·(a^n b)$
$= a^{1+2+\dots+(n-1)+n} · b^{n+(n-1)+\dots+2+1}$
已知$1+2+3+\dots +n=m$，且$n+(n-1)+\dots+1=1+2+\dots+n=m$，代入得：
原式$=a^m b^m=(ab)^m$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-36m^6n^3}$；(2) $\boldsymbol{a^mb^m(或(ab)^m)}$
【知识点】
新定义运算，单项式乘单项式，同底数幂的乘法
【点评】
两道题均围绕整式乘法的基础规则设计，第(1)题结合新定义考查规则理解能力和基础运算能力，需要注意系数的符号和指数的运算规则；第(2)题侧重对同底数幂乘法法则的灵活运用，需要清晰拆分相同底数的指数求和，整体侧重基础，是整式乘法章节的典型基础题。
【难度系数】
0.7
第(1)题属于新定义运算类题目，解题时首先要准确理解题目给出的“三角”“方框”对应的代数式规则，分别写出两个图形表示的单项式，再按照单项式乘单项式的运算法则计算：系数相乘作为积的系数，相同字母的幂分别相乘（同底数幂相乘，底数不变，指数相加），最终得到运算结果。
第(2)题考查同底数幂的乘法运算，解题时先将原式中所有含a的因式、含b的因式分别合并，计算a的总指数和b的总指数，结合已知条件$1+2+3+\dots +n=m$，且倒序相加可知$n+(n-1)+\dots+1=m$，代入即可得到化简结果。
【解析】
(1) 根据题意的新定义：
“三角”表示$3xyz$，可得[插图3]对应的代数式为$3· 3m· m^2· n=9m^3n$；
“方框”表示$-4a^b d^c$，可得[插图4]对应的代数式为$-4m^3n^2$；
两式相乘：$9m^3n × (-4m^3n^2) = [9×(-4)] · (m^3· m^3) · (n· n^2) = -36m^6n^3$。
(2) 根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
对原式整理可得：
$(ab^n)·(a^2b^{n-1})\dots(a^{n-1}b^2)·(a^n b)$
$= a^{1+2+\dots+(n-1)+n} · b^{n+(n-1)+\dots+2+1}$
已知$1+2+3+\dots +n=m$，且$n+(n-1)+\dots+1=1+2+\dots+n=m$，代入得：
原式$=a^m b^m=(ab)^m$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-36m^6n^3}$；(2) $\boldsymbol{a^mb^m(或(ab)^m)}$
【知识点】
新定义运算，单项式乘单项式，同底数幂的乘法
【点评】
两道题均围绕整式乘法的基础规则设计，第(1)题结合新定义考查规则理解能力和基础运算能力，需要注意系数的符号和指数的运算规则；第(2)题侧重对同底数幂乘法法则的灵活运用，需要清晰拆分相同底数的指数求和，整体侧重基础，是整式乘法章节的典型基础题。
【难度系数】
0.7
