2. 如图 8 是某区域的平面示意图，码头 A 在观测站 B 的正东方向，码头 A 的北偏西$60°$方向上有一小岛 C，小岛 C 在观测站 B 的北偏西$15°$方向上，码头 A 到小岛 C 的距离 AC 为 10 海里。
(1)求$∠ BAC$和$∠ C$的度数；
(2)求观测站 B 到 AC 的距离 BP 的长度(结果保留根号)。

解：
(1) 根据题意：
$∠ BAC = 90° - 60° = 30°$，
$∠ ABC = 90° + 15° = 105°$，
在$△ ABC$中，由三角形内角和定理：
$∠ C = 180° - ∠ BAC - ∠ ABC = 180° - 30° - 105° = 45°$。
(2) 设$BP = x$海里，
$\because BP ⊥ AC$，
$\therefore ∠ BPA = ∠ BPC = 90°$，
在$\mathrm{Rt}△ BPC$中，$∠ C = 45°$，
$\therefore ∠ PBC = 45°$，故$CP = BP = x$，
在$\mathrm{Rt}△ ABP$中，$∠ BAC = 30°$，
由$\tan∠ BAC = \frac{BP}{AP}$，得$\tan30° = \frac{x}{AP}$，
$\therefore AP = \frac{x}{\tan30°} = \frac{x}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \sqrt{3}x$，
$\because AC = AP + CP = 10$，
$\therefore \sqrt{3}x + x = 10$，
$x(\sqrt{3} + 1) = 10$，
$x = \frac{10}{\sqrt{3} + 1} = \frac{10(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = 5(\sqrt{3} - 1)$。
答：(1) $∠ BAC$的度数为$30°$，$∠ C$的度数为$45°$；
(2) 观测站B到AC的距离BP的长度为$5(\sqrt{3} - 1)$海里。

3. 木兰灯塔是亚洲最高、世界第二高的航标灯塔，位于海南岛的最北端，是海南岛东北部最重要的航标。某天，一艘渔船自西向东(沿 AC 方向)以每小时 10 海里的速度在琼州海峡航行，如图 9 所示。
航行记录
记录一：上午 8 时，渔船到达木兰灯塔 P 北偏西$60°$方向上的 A 处。

记录二：上午 8 时 30 分，渔船到达木兰灯塔 P 北偏西$45°$方向上的 B 处。
记录三：根据气象观测，当天凌晨 4 时到上午 9 时，受天文大潮和天气影响，琼州海峡 C 点周围 5 海里内，会出现异常海况，点 C 位于木兰灯塔 P 北偏东$15°$方向。
请你根据以上信息解决下列问题：
(1)填空：$∠ PAB$=，$∠ APC$=，AB=海里。
(2)若该渔船不改变航线与速度，是否会进入“异常海况”区？请计算说明。
(参考数据：$\sqrt{2} \approx 1.41$，$\sqrt{3} \approx 1.73$，$\sqrt{6} \approx 2.45$)

解：
(1) $\boldsymbol{30°}$，$\boldsymbol{75°}$，$\boldsymbol{5}$。
(2) 过点$P$作$PD⊥ AC$于点$D$，设$PD=x$海里。
在$Rt△ PAD$中，$∠ PAD=30°$，
$\because \tan30°=\frac{PD}{AD}$，$\therefore AD=\frac{PD}{\tan30°}=x\sqrt{3}$。
在$Rt△ PBD$中，$∠ PBD=45°$，
$\because \tan45°=\frac{PD}{BD}$，$\therefore BD=PD=x$。
由$AD-BD=AB$，得$x\sqrt{3}-x=5$，
解得$x=\frac{5}{\sqrt{3}-1}=\frac{5(\sqrt{3}+1)}{2}$。
$\because$ 点$C$在$P$的北偏东$15°$方向，$∠ APD=60°$，$∠ APC=75°$，
$\therefore ∠ CPD=∠ APC-∠ APD=75°-60°=15°$。
在$Rt△ PDC$中，$\tan15°=\frac{CD}{PD}$，$\tan15°=2-\sqrt{3}$，
$\therefore CD=PD·\tan15°=\frac{5(\sqrt{3}+1)}{2}×(2-\sqrt{3})=\frac{5(\sqrt{3}-1)}{2}$。
$\therefore AC=AD+CD=x\sqrt{3}+\frac{5(\sqrt{3}-1)}{2}=5(1+\sqrt{3})\approx13.65$海里。
上午9时，渔船行驶的路程为$10×1=10$海里，
此时渔船距$C$点的距离为$13.65-10=3.65$海里，
$\because 3.65＜5$，且此时在凌晨4时到上午9时的异常海况时段内，
答：该渔船会进入“异常海况”区。