二、填空题
1. 轮船航行到 C 处时，观测到小岛 B 的方向是北偏西$35°$，那么此时从小岛 B 观测到轮船的方向应是。

解：
根据方向角的相对性，观测点互换后，观测方向相反，角度相等。
由于轮船在C处观测小岛B的方向是北偏西$35°$，
因此从小岛B观测到轮船的方向是南偏东$35°$。
答：南偏东$35°$。

2. 一个人从山下沿$30°$角的坡路登上山顶，共走了 500 m，那么这山的高度是。

250米

设山的高度为$ h $米，由题意可知，人行走的坡路为直角三角形的斜边，长度为500m，坡角为30°。根据正弦函数的定义，$\sin30°=\frac{h}{500}$，又$\sin30°=\frac{1}{2}$，则$ h=500×\frac{1}{2}=250 $米。

3. 如图 4，某河堤的横断面是梯形 ABCD，迎水斜坡 AB 长 10 米，河堤的高 BE 为 6 米，斜坡的坡角为$∠ BAE$，则$\tan∠ BAE$=。

$\frac{3}{4}$

在Rt△ABE中，∠AEB=90°，已知AB=10米，BE=6米。
由勾股定理可得：$AE=\sqrt{AB^2 - BE^2}=\sqrt{10^2 - 6^2}=8$米。
根据正切的定义，$\tan∠ BAE=\frac{BE}{AE}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$。

4. 如图 5，小明在东西方向的环海路 A 处，测得海中灯塔 P 在北偏东$60°$方向上，在距 A 处正东 500 米的 B 处，测得灯塔 P 在北偏东$30°$方向上，则灯塔 P 到环海路的距离 PC=米(结果保留根号)。

$250\sqrt{3}$

1. 由题意得，$∠ PAC = 90° - 60° = 30°$，$∠ PBC = 90° - 30° = 60°$；
2. 因为$∠ PBC$是$△ ABP$的外角，所以$∠ APB = ∠ PBC - ∠ PAC = 60° - 30° = 30°$，故$AB = BP = 500$米；
3. 在$\mathrm{Rt}△ PBC$中，$∠ PCB=90°$，$\sin60°=\frac{PC}{BP}$，则$PC = BP·\sin60° = 500×\frac{\sqrt{3}}{2}=250\sqrt{3}$米。

5. 如图 6，机器人从 A 点出发，沿着西南方向，行了$4\sqrt{2}$个单位到达 B 点后，观察到原点 O 在它的南偏东$60°$的方向上，则 A 点的坐标为(结果保留根号)。

$\boldsymbol{(0, 4+\frac{4\sqrt{3}}{3})}$

过点B作BC⊥y轴于点C。
1. 由西南方向可知∠BAC=45°，在Rt△ABC中，AB=$4\sqrt{2}$，计算得AC=BC=AB·sin45°=$4\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=4$，即BC=4，AC=4。
2. 由O在B的南偏东60°方向，在Rt△OBC中，tan60°=$\frac{BC}{OC}$，代入BC=4，解得OC=$\frac{4}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$。
3. 因为OA=OC+AC，所以OA=$\frac{4\sqrt{3}}{3}+4$，又A在y轴上，故A点坐标为$(0, 4+\frac{4\sqrt{3}}{3})$。

三、解答题
1. 如图 7，梯形 ABCD 是拦水坝的横断面图(图中$i = 1:\sqrt{3}$是指坡面的铅直高度 DE 与水平宽度 CE 的比)，$∠ B = 60°$，$AB = 6$，$AD = 4$，求拦水坝的横断面 ABCD 的面积(结果精确到 0.1)。

解：
过点A作AF⊥BC于点F，
∵ DE⊥BC，AD//BC，
∴ 四边形AFED是矩形，
∴ AF=DE，FE=AD=4。
在Rt△ABF中，∠B=60°，AB=6，
AF=AB·sin60°=6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$，
BF=AB·cos60°=6×$\frac{1}{2}$=3。
∵ 坡面i=$\frac{DE}{CE}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，DE=AF=3$\sqrt{3}$，
∴ CE=$\sqrt{3}$·DE=$\sqrt{3}$×3$\sqrt{3}$=9。
∵ BC=BF+FE+CE=3+4+9=16，
∴ 梯形ABCD的面积S=$\frac{1}{2}$×(AD+BC)×AF
=$\frac{1}{2}$×(4+16)×3$\sqrt{3}$
=30$\sqrt{3}$≈51.9。
答：拦水坝的横断面ABCD的面积约为51.9。