4. 如图10，在大楼$AB$的正前方有一斜坡$CD$，$CD = 4$米，坡角$∠ DCE = 30°$，小红在斜坡下的点$C$处测得楼顶$B$的仰角为$60°$，在斜坡上的点$D$处测得楼顶$B$的仰角为$45°$，其中点$A$，$C$，$E$在同一直线上.
(1)求斜坡$CD$的高度$DE$；
(2)求大楼$AB$的高度(结果保留根号).

解：
(1) 在$Rt△ DEC$中，$∠ E=90°$，$∠ DCE=30°$，$CD=4$米，
$DE = CD·\sin30° = 4×\frac{1}{2}=2$（米）
(2) 过点$D$作$DF⊥ AB$于点$F$，
则四边形$DEAF$是矩形，
$\therefore AF=DE=2$米，$DF=AE$，
设$AB=x$米，
在$Rt△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$∠ ACB=60°$，
$AC=\frac{AB}{\tan60°}=\frac{x}{\sqrt{3}}$米，
在$Rt△ DEC$中，$CE=CD·\cos30°=4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$（米），
$\therefore DF=AE=AC+CE=\frac{x}{\sqrt{3}}+2\sqrt{3}$，
在$Rt△ BDF$中，$∠ BFD=90°$，$∠ BDF=45°$，
$\therefore BF=DF$，
$\because BF=AB-AF=x-2$，
$\therefore x-2=\frac{x}{\sqrt{3}}+2\sqrt{3}$，
解得$x=6+4\sqrt{3}$
答：(1) 斜坡$CD$的高度$DE$为2米；
(2) 大楼$AB$的高度为$(6+4\sqrt{3})$米。

一、选择题
1. 测得某坡面垂直高度为 2 m，水平宽度为 4 m，则坡度为()
A. $1:\dfrac{\sqrt{5}}{2}$
B. $1:\sqrt{5}$
C. $2:1$
D. $1:2$

解：
根据坡度的定义，坡度为坡面垂直高度与水平宽度的比，
则该坡面的坡度为$2:4=1:2$。
故选D。

2. 如图 1，上午 9 时，一条船从 A 处出发以 20 里/时的速度向正北航行，11 时到达 B 处，从 A，B 望灯塔 C，测得$∠ NAC = 36°$，$∠ NBC = 72°$，那么从 B 处到灯塔 C 的距离是()

A.20 里
B.36 里
C.72 里
D.40 里

D

1. 计算AB的长度：船从A到B用时$11-9=2$小时，速度为20里/时，因此$AB=20×2=40$里。
2. 利用三角形外角性质：$∠ NBC$是$△ ABC$的外角，故$∠ C=∠ NBC - ∠ NAC=72°-36°=36°$，可得$∠ C=∠ NAC$。
3. 根据等腰三角形等角对等边，得出$BC=AB=40$里。

3. 如图 2，在坡度为$1:2$的山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是 6 米，则斜坡上相邻两树间的坡面距离是()

A.6 米
B.$3\sqrt{5}$米
C.3 米
D.12 米

B

已知山坡坡度为1:2，即垂直高度与水平距离的比为1:2。因为相邻两树间水平距离为6米，所以垂直高度为$6×\frac{1}{2}=3$米。根据勾股定理，坡面距离为$\sqrt{6^2 + 3^2}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$米。

4. 如图 3，王英同学从 A 地沿北偏西 60 度方向走 100 m 到 B 地，再从 B 地向正南方向走 200 m 到 C 地，此时王英同学离 A 地()

A.$50\sqrt{3}$m
B.100 m
C.150 m
D.$100\sqrt{3}$m

D

1. 由题意可知，∠BAD=30°，AB=100m，BC=200m，∠ADB=90°。
2. 在Rt△ABD中，计算得$BD=AB·sin30°=100×\frac{1}{2}=50m$，$AD=AB·cos30°=100×\frac{\sqrt{3}}{2}=50\sqrt{3}m$。
3. 则$DC=BC-BD=200-50=150m$。
4. 在Rt△ADC中，由勾股定理得$AC=\sqrt{AD^2+DC^2}=\sqrt{(50\sqrt{3})^2+150^2}=100\sqrt{3}m$。