例 1 计算：
(1) $(a + b)^2(a - b)^2$；
(2) $(a + b + 3)(a + b - 3)$.

(1)
$(a + b)^2(a - b)^2$
$ = [(a + b)(a - b)]^2$
$ = (a^2 - b^2)^2$
$ = a^4 - 2a^2b^2 + b^4$
(2)
$(a + b + 3)(a + b - 3)$
$ = [(a + b) + 3][(a + b) - 3]$
$ = (a + b)^2 - 3^2$
$ = a^2 + 2ab + b^2 - 9$

例 2 已知 $x + y = 3$，$xy = 1$，求下列各式的值：
(1) $x^2 + y^2$；
(2) $x^2 - xy + y^2$；
(3) $(x - y)^2$.
训练与提高

(1)
由完全平方公式$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，可得$x^2 + y^2=(x + y)^2 - 2xy$。
已知$x + y = 3$，$xy = 1$，将其代入上式可得：
$x^2 + y^2=3^2 - 2×1=9 - 2 = 7$。
(2)
由(1)已求得$x^2 + y^2 = 7$，又已知$xy = 1$，将其代入$x^2 - xy + y^2$可得：
$x^2 - xy + y^2=(x^2 + y^2)-xy=7 - 1 = 6$。
(3)
由完全平方公式$(a - b)^2=a^2 - 2ab + b^2=(a + b)^2 - 4ab$。
已知$x + y = 3$，$xy = 1$，将其代入可得：
$(x - y)^2=(x + y)^2 - 4xy=3^2 - 4×1=9 - 4 = 5$。
综上，答案依次为：(1)$7$；(2)$6$；(3)$5$。

1. 有下列运算：① $(a + 2b)(a - 2b) = a^2 - 2b^2$；② $(x - 2y)^2 = x^2 - 2xy + 4y^2$；③ $(-3a - 2b)^2 = -(3a + 2b)^2 = -9a^2 - 12ab - 4b^2$.其中，正确的有()

A.0 个
B.1 个
C.2 个
D.3 个

A

①根据平方差公式，$(a + 2b)(a - 2b) = a^{2} - (2b)^{2} = a^{2} - 4b^{2}$，与题目给出的$a^{2} - 2b^{2}$不同，故①错误；
②根据完全平方公式，$(x - 2y)^{2} = x^{2} - 4xy + 4y^{2}$，与题目给出的$x^{2} - 2xy + 4y^{2}$不同，故②错误；
③根据完全平方公式，$(-3a - 2b)^{2} = (3a + 2b)^{2} = 9a^{2} + 12ab + 4b^{2}$，与题目给出的$-9a^{2} - 12ab - 4b^{2}$不同，故③错误。
综上，三个运算均错误。

2. $(-x^2 - y)^2$运算结果等于()

A.$-x^2 - 2xy + y^2$
B.$-x^4 - 2x^2y - y^2$
C.$x^4 + 2x^2y + y^2$
D.$x^4 - 2x^2y - y^2$

C

将表达式 $(-x^2 - y)^2$ 视为一个整体的平方，根据平方公式 $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，其中 $a = -x^2$，$b = -y$，代入公式得：
$(-x^2 - y)^2 = (-x^2)^2 + 2(-x^2)(-y) + (-y)^2$，
计算各项得：
$x^4 + 2x^2y + y^2$，
与选项进行对比，可以发现这与选项C相匹配。

3. (1) $(x - \frac{1}{2}y)^2 =$；
(2) $(a + 2b)^2 +$()$= (a - 2b)^2$.

(1)
根据完全平方公式$(m - n)^2=m^2 - 2mn + n^2$，在$(x-\frac{1}{2}y)^2$中$m = x$，$n=\frac{1}{2}y$，则有：
$(x - \frac{1}{2}y)^2=x^2-2× x×\frac{1}{2}y+(\frac{1}{2}y)^2=x^2 - xy+\frac{1}{4}y^2$
(2)
先根据完全平方公式将$(a - 2b)^2$和$(a + 2b)^2$展开：
$(a - 2b)^2=a^2-4ab + 4b^2$
$(a + 2b)^2=a^2+4ab+4b^2$
设括号内的数为$M$，则$a^2 + 4ab+4b^2+M=a^2-4ab + 4b^2$，移项可得$M=(a^2-4ab + 4b^2)-(a^2 + 4ab+4b^2)$
$M=a^2-4ab + 4b^2-a^2 - 4ab-4b^2=-8ab$
故答案依次为：(1)$x^2 - xy+\frac{1}{4}y^2$；(2)$-8ab$。

4. 若 $4x^2 + mx + 49$ 是一个完全平方式，则 $m$ 可以是.

因为$4x^2 + mx + 49$是完全平方式，且$4x^2=(2x)^2$，$49=7^2$，所以$4x^2 + mx + 49=(2x\pm7)^2$。
展开$(2x + 7)^2 = 4x^2 + 28x + 49$，则$m = 28$；
展开$(2x - 7)^2 = 4x^2 - 28x + 49$，则$m = -28$。
综上，$m = \pm28$。
$\pm28$