2. 下列计算结果等于$x^{2} - 25y^{2}$的是()

A.$(x + 5y)(-x + 5y)$
B.$(-x - 5y)(-x + 5y)$
C.$(x - y)(x + 25y)$
D.$(x - 5y)(5y - x)$

B

根据平方差公式$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，对各选项逐一分析：
选项A：$(x + 5y)(-x + 5y)=(5y + x)(5y - x)=(5y)^{2}-x^{2}=25y^{2}-x^{2}$，该选项错误。
选项B：$(-x - 5y)(-x + 5y)=(-x)^{2}-(5y)^{2}=x^{2}-25y^{2}$，该选项正确。
选项C：$(x - y)(x + 25y)=x^{2}+25xy-xy - 25y^{2}=x^{2}+24xy - 25y^{2}$，该选项错误。
选项D：$(x - 5y)(5y - x)=-(x - 5y)(x - 5y)=-(x - 5y)^{2}=-x^{2}+10xy - 25y^{2}$，该选项错误。

3. $(2m + 5)(2m - 5) = 15$，则$m^{2} =$.

由已知，根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$，
在$(2m + 5)(2m - 5) = 15$中，$a = 2m$，$b = 5$，
则$(2m)^{2}-5^{2}=15$，
即$4m^{2}-25 = 15$，
移项可得$4m^{2}=15 + 25$，
即$4m^{2}=40$，
两边同时除以$4$，解得$m^{2}=10$。
故答案为$10$。

4. (1)$(a + 2)$( )$= a^{2} - 4$；(2)$(5a - 3b)$( )$= 9b^{2} - 25a^{2}$.

(1)
根据平方差公式$(x+y)(x - y)=x^{2}-y^{2}$，在$a^{2}-4=(a + 2)(\_\_\_\_\_\_)$中，$x = a$，$y = 2$，因为$(a + 2)(a-2)=a^{2}-4$，所以横线处应填$a - 2$。
(2)
先将$9b^{2}-25a^{2}$变形为$(3b)^{2}-(5a)^{2}$，根据平方差公式$(x+y)(x - y)=x^{2}-y^{2}$，这里$x = 3b$，$y = 5a$，则$(3b)^{2}-(5a)^{2}=(3b + 5a)(3b-5a)=-(5a - 3b)(5a+3b)$，所以$(5a - 3b)(-5a - 3b)=9b^{2}-25a^{2}$，横线处应填$-5a - 3b$。
故答案依次为：(1)$a - 2$；(2)$-5a - 3b$。

5. 运用平方差公式计算：
(1)$(5 + a)(5 - a)$；
(2)$(2a - 3b)(2a + 3b)$；
(3)$(-1 + 3x)(-1 - 3x)$；
(4)$(\frac{1}{3}x - y)(-\frac{1}{3}x - y)$.

(1)
根据平方差公式$(m + n)(m - n) = m^2 - n^2$，在$(5 + a)(5 - a)$中，$m = 5$，$n = a$，则：
$(5 + a)(5 - a)=5^{2}-a^{2}=25 - a^{2}$
(2)
在$(2a - 3b)(2a + 3b)$中，$m = 2a$，$n = 3b$，根据平方差公式可得：
$(2a - 3b)(2a + 3b)=(2a)^{2}-(3b)^{2}=4a^{2}-9b^{2}$
(3)
在$(-1 + 3x)(-1 - 3x)$中，$m = - 1$，$n = 3x$，根据平方差公式可得：
$(-1 + 3x)(-1 - 3x)=(-1)^{2}-(3x)^{2}=1 - 9x^{2}$
(4)
对$(\frac{1}{3}x - y)(-\frac{1}{3}x - y)$变形为$(-y+\frac{1}{3}x)(-y - \frac{1}{3}x)$，此时$m = - y$，$n=\frac{1}{3}x$，根据平方差公式可得：
$(\frac{1}{3}x - y)(-\frac{1}{3}x - y)=(-y)^{2}-(\frac{1}{3}x)^{2}=y^{2}-\frac{1}{9}x^{2}$

6. 计算：
(1)$x(x - 3) - (x - 7)(x + 7)$；
(2)$(x + 3)(x - 3)(x^{2} + 9)$.

(1)
$x(x - 3) - (x - 7)(x + 7)$
$=x(x - 3)-(x^2-49)$
$=x^2 - 3x - x^2 + 49$
$=- 3x + 49$
(2)
$(x + 3)(x - 3)(x^{2} + 9)$
$=(x^2 - 9)(x^2 + 9)$
$=x^4 - 81$

7. 用简便方法计算：
(1)$9.9×10.1$；
(2)$2 025^{2} - 2 024×2 026$.
拓展与延伸

(1)
$9.9 × 10.1$
$=(10 - 0.1)(1 0 + 0.1)$
$=10^2 - 0.1^2$
$=100 - 0.01$
$= 99.99$
(2)
$2025^2 - 2024 × 2026$
$=2025^2 - (2025 - 1)(2025 + 1)$
$=2025^2 - (2025^2 - 1)$
$=2025^2 - 2025^2 + 1$
$= 1$

8. 先化简，再求值：$(m + n)(m - n)(-m^{2} - n^{2}) - (-2m + n)(-2m - n)(4m^{2} + n^{2})$，其中$m = 1$，$n = -2$.

15

化简过程：
1. 计算$(m + n)(m - n)(-m^{2} - n^{2})$：
$(m + n)(m - n) = m^{2} - n^{2}$（平方差公式），
则原式变为$(m^{2} - n^{2})(-m^{2} - n^{2}) = - (m^{2} - n^{2})(m^{2} + n^{2})$，
又$(m^{2} - n^{2})(m^{2} + n^{2}) = m^{4} - n^{4}$（平方差公式），
故$- (m^{4} - n^{4}) = -m^{4} + n^{4}$。
2. 计算$(-2m + n)(-2m - n)(4m^{2} + n^{2})$：
$(-2m + n)(-2m - n) = (-2m)^{2} - n^{2} = 4m^{2} - n^{2}$（平方差公式），
则原式变为$(4m^{2} - n^{2})(4m^{2} + n^{2}) = 16m^{4} - n^{4}$（平方差公式）。
3. 整体化简原式：
$(-m^{4} + n^{4}) - (16m^{4} - n^{4}) = -m^{4} + n^{4} - 16m^{4} + n^{4} = -17m^{4} + 2n^{4}$。
代入求值：
当$m = 1$，$n = -2$时，
$-17m^{4} + 2n^{4} = -17×1^{4} + 2×(-2)^{4} = -17 + 2×16 = -17 + 32 = 15$。