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9. 如图,钢架桥的设计中采用了三角形的结构,其数学道理是.
答案
三角形的稳定性
解析
钢架桥中采用的三角形结构是利用了三角形的稳定性，三角形在几何形状中是最稳定的一种形状，因为一旦三角形的三边长度确定，其形状就无法改变。因此，在工程设计中，三角形结构常被用来增强稳定性。
10. 在“三角尺拼角”实验中,小明同学把一副三角尺按如图所示的方式放置,则∠1 = .
答案
75°
解析
一副三角尺的角度分别为 90°、60°、30°和 90°、45°、45°。由图可知，∠1 是一个平角减去三角尺的 60°角和 45°角，即∠1 = 180° - 60° - 45° = 75°。
11. 如图所示的地面由正五边形和正 n 边形两种地砖镶嵌而成,则∠ABC 的度数为°.
答案
108
解析
正五边形内角为[(5-2)×180°]/5=108°。镶嵌时顶点处内角和为360°，设正n边形内角为x，由题意得2×108°+x=360°，解得x=144°。正n边形内角公式[(n-2)×180°]/n=144°，解得n=10。∠ABC为正五边形内角，故∠ABC=108°。
12. 如图,D,E 分别是△ABC 边 AB,BC 上的点,AD = 2BD,BE = CE,设△ADF 的面积为 S₁,△CEF 的面积为 S₂,若$ S_{△ABC} = 12,$则 S₁ - S₂ 的值为.
答案
2
解析
∵AD=2BD，S△ABC=12，∴S△ADC=2/3S△ABC=8，S△BDC=1/3S△ABC=4。
∵BE=CE，∴E为BC中点，故S△AEC=1/2S△ABC=6，S△CDE=1/2S△BDC=2。
设S△ADF=S₁，S△CEF=S₂。
△ADE面积：S△AEB - S△BDE=6 - 2=4（S△AEB=6，S△BDE=1/2S△BDC=2）。
△ADE=△ADF + △DFE，即S₁ + S△DFE=4。
△CDE=△DFE + △CEF，即S△DFE + S₂=2，故S△DFE=2 - S₂。
代入S₁ + (2 - S₂)=4，得S₁ - S₂=2。
∵BE=CE，∴E为BC中点，故S△AEC=1/2S△ABC=6，S△CDE=1/2S△BDC=2。
设S△ADF=S₁，S△CEF=S₂。
△ADE面积：S△AEB - S△BDE=6 - 2=4（S△AEB=6，S△BDE=1/2S△BDC=2）。
△ADE=△ADF + △DFE，即S₁ + S△DFE=4。
△CDE=△DFE + △CEF，即S△DFE + S₂=2，故S△DFE=2 - S₂。
代入S₁ + (2 - S₂)=4，得S₁ - S₂=2。
三、解答题(本大题共 5 小题,共 48 分)
13. (8 分)(1)已知 a,b,c 为三角形的三边,化简:|c - a - b|+|b + c - a|;
(2)如图,∠A = 40°,∠B = 55°,∠C = 25°,求∠ADC 的度数.
13. (8 分)(1)已知 a,b,c 为三角形的三边,化简:|c - a - b|+|b + c - a|;
(2)如图,∠A = 40°,∠B = 55°,∠C = 25°,求∠ADC 的度数.
答案
(1)2b；(2)60°
解析
(1)∵a,b,c为三角形三边，∴a+b＞c,b+c＞a.∴c-a-b＜0,b+c-a＞0.∴原式=(a+b-c)+(b+c-a)=2b.
(2)延长AD交BC于点E.在△ABE中，∠AEB=180°-∠A-∠B=180°-40°-55°=85°.∵∠AEB是△CDE的外角，∴∠AEB=∠C+∠CDE.∴∠CDE=∠AEB-∠C=85°-25°=60°.∵∠ADC=∠CDE,∴∠ADC=60°.
(2)延长AD交BC于点E.在△ABE中，∠AEB=180°-∠A-∠B=180°-40°-55°=85°.∵∠AEB是△CDE的外角，∴∠AEB=∠C+∠CDE.∴∠CDE=∠AEB-∠C=85°-25°=60°.∵∠ADC=∠CDE,∴∠ADC=60°.
14. (9 分)如图,AD 为△ABC 的中线,BE 为△ABD 的中线.
(1)∠ABE = 15°,∠BAD = 35°,求∠BED 的度数;
(2)作△BED 中 BD 边上的高线;
(3)若△ABC 的面积为 60,BD = 5,则点 E 到 BC 边的距离为多少?
(1)∠ABE = 15°,∠BAD = 35°,求∠BED 的度数;
(2)作△BED 中 BD 边上的高线;
(3)若△ABC 的面积为 60,BD = 5,则点 E 到 BC 边的距离为多少?
答案
(1)50°；(2)见解析；(3)6
解析
(1)在△ABE中，∠ABE=15°，∠BAE=∠BAD=35°，根据三角形内角和定理，∠AEB=180°-∠ABE-∠BAE=180°-15°-35°=130°。∵∠AEB+∠BED=180°（邻补角定义），∴∠BED=180°-130°=50°。
(2)过点E作EF⊥BD于点F，线段EF即为△BED中BD边上的高线。
(3)∵AD是△ABC中线，∴S△ABD=1/2S△ABC=1/2×60=30。∵BE是△ABD中线，∴S△BED=1/2S△ABD=1/2×30=15。设点E到BC边距离为h，∵BD=5，S△BED=1/2×BD×h，∴1/2×5×h=15，解得h=6。
(2)过点E作EF⊥BD于点F，线段EF即为△BED中BD边上的高线。
(3)∵AD是△ABC中线，∴S△ABD=1/2S△ABC=1/2×60=30。∵BE是△ABD中线，∴S△BED=1/2S△ABD=1/2×30=15。设点E到BC边距离为h，∵BD=5，S△BED=1/2×BD×h，∴1/2×5×h=15，解得h=6。
15. (9 分)如图,小明从点 A 出发,前进 10 m 后向右转 20°,再前进 10 m 后又向右转 20°,这样一直下去,直到他再一次回到出发点 A 为止,他所走的路径构成了一个多边形.
(1)小明一共走了多少米?
(2)这个多边形的内角和是多少度?
(1)小明一共走了多少米?
(2)这个多边形的内角和是多少度?
答案
(1) $180$ 米；
(2) $2880°$
(2) $2880°$
解析
(1) 小明每次转 $20°$，直到回到出发点，说明他走了一个正多边形的路径。
设正多边形的边数为 $n$，则：
$n × 20° = 360°$，
解得：$n = \frac{360°}{20°} = 18$，
小明一共走了 18 条边，每条边长为 10 m，因此总路程为：
$18 × 10 = 180 \mathrm{ m}$。
(2) 正多边形的内角和公式为：
$(n - 2) × 180°$，
代入 $n = 18$：
$(18 - 2) × 180° = 16 × 180° = 2880°$。
